備戰(zhàn)2022年高考數學二輪復習培優(yōu)專題 第17講 離散型隨機變量及分布列

第十七講離散型隨機變量及分布列、均值與方差A組一選擇題1.隨機變量的分布列為024P0.40.30.3，則()A．13B．11C．2.2 D．2.3【答案】A【解析】由已知得：，∴2.帶活動門的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，現隨機地放出5只做實驗，表示放出的蜂中工蜂的只數，則時的概率是()A. B.C. D.【答案】B【解析】服從超幾何分布，3.隨機變量的分布列如下：－101其中成等差數列，則()A. B.C. D.【答案】B【解析】∵成等差數列，∴又，∴，∴4.已知隨機變量的分布列為：則等于()A. B.C. D.【答案】C【解析】，解得，.二填空題5.某一離散型隨機變量的概率分布如下，且，則（）．01230.10.1【答案】0【解析】由分布列的性質知：，∴．又即解得，∴．6.設，則【答案】；【解析】由分布列的概率和為1，有，又，即解得三解答題7.一盒中裝有零件12個，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個零件，直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數的期望．【解析】設取得正品之前已取出的次品數為，顯然所有可能取的值為0，1，2，3當時，即第一次取得正品，試驗停止，則當時，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗停止，則當時，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗停止，則當時，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗停止，則∴分布列為0123∴8.某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km時租車費為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計費(超出不足lkm的部分按lkm計)．從這個城市的民航機場到某賓館的路程為15km．某司機經常駕車在機場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉換成行車路程(這個城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計費)，這個司機一次接送旅客的行車路程是一個隨機變量．設他所收租車費為(Ⅰ)求租車費關于行車路程ξ的關系式；(Ⅱ)若隨機變量的分布列為151617180.10.50.30.1求所收租車費的數學期望．(Ⅲ)已知某旅客實付租車費38元，而出租汽車實際行駛了15km，問出租車在途中因故停車累計最多幾分鐘?【解析】(Ⅰ)依題意得，即；(Ⅱ)∵∴（元）故所收租車費的數學期望為34.8元．(Ⅲ)由，得所以出租車在途中因故停車累計最多15分鐘9.某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分．假設這名同學回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．（1）求這名同學回答這三個問題的總得分的概率分布和數學期望；（2）求這名同學總得分不為負分（即）的概率．【解析】的可能取值為－300，－100，100，300．，，．所以的概率分布為－300－1001003000.0080.0960.3840.512∴．（2）這名同學總得分不為負分的概率為．10.設是一個離散型隨機變量，其概率分布如下表，試求和D（X）．－101【解析】由概率分布的性質，得：，得?！?，。11．（2017年高考北京卷理）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標x和y的數據，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機學科網.選出兩人，記為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數，求的分布列和數學期望E（）；（Ⅲ）試判斷這100名患者中服藥者指標y數據的方差與未服藥者指標y數據的方差的大小.（只需寫出結論）【解析】（Ⅰ）由圖知，在服藥的50名患者中，指標的值小于60的有15人，所以從服藥的50名患者中隨機選出一人，此人指標的值小于60的概率為.（Ⅱ）由圖知，A,B,C,D四人中，指標的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值為0,1,2..所以的分布列為012故的期望.（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標數據的方差大于未服藥者指標數據的方差.B組一選擇題1.節(jié)日期間，某種鮮花進貨價是每束2.5元，銷售價每束5元；節(jié)后賣不出去的鮮花以每束1.6元價格處理．根據前五年銷售情況預測，節(jié)日期間這種鮮花的需求量服從如下表所示的分布，若進這種鮮花500束，則期望利潤是2003004005000.200.350.300.15A.706元 B．690元C．754元 D．720元【答案】A節(jié)日期間預售的量：則期望的利潤：，∴∴期望利潤為706元．2.設某項試驗的成功率為失敗率的2倍，用隨機變量去描述1次試驗的成功次數，則的值為()A．1 B.C D.【答案】C【解析】設的分布列為：01“”表示試驗失敗，“”表示試驗成功，設失敗的概率為，成功的概率為.由，則.3.在4次獨立重復試驗中，隨機事件恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生2次的概率，則事件在一次試驗中發(fā)生的概率的取值范圍是()A．[0.4,1)B．(0,0.6]C．(0,0.4]D．[0.6,1)【答案】A【解析】：，即，∴又∵，∴.4..離散型隨機變量的概率分布規(guī)律為，其中是常數，則的值為()A B.C. D【答案】D【解析】由，知，解得.故.二填空題5.某射手射擊所得環(huán)數的分布列如下：78910x0.10.3y已知的期望，則的值為________．【答案】0.4【解析】依題得即由此解得某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需要再補種2粒，補種的種子數記為，則的數學期望為_______.【答案】200【解析】種子發(fā)芽率為0.9，不發(fā)芽率為0.1，每粒種子發(fā)芽與否相互獨立，故設沒有發(fā)芽的種子數為，則，∴，故三解答題7.甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分是兩個隨機變量，分別記為和，它們的概率分布分別為0120120.10.40.20.2（1）求的值；（2）計算和的數學期望和方差，并以此分析甲、乙兩射手的技術狀況．【解析】（1）由分布列的性質知，，即。（2），，，。由上述計算的結果可知，乙的平均水平較甲好一點，但乙的穩(wěn)定性不如甲．8.有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：甲單位不同職位月工資/元1200140016001800獲得相應職位的概率0.40.30.20.1乙單位不同職位月工資/元1000140018002200獲得相應職位的概率0.40.30.20.1根據工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？【答案】根據月工資的分布列，利用計算器可算得，，因為，所以兩家單位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資相對分散．這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位．9.某項選拔共有三輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考試，否則即被淘汰，已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、、，且各輪問題能否正確回答互不影響.（Ⅰ）求該選手被淘汰的概率；（Ⅱ）該選手在選拔中回答問題的個數記為，求隨機變量的分布列與數數期望.（注：本小題結果可用分數表示）（Ⅰ）解法一：記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則，該選手被淘汰的概率．（Ⅰ）解法二：記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則．該選手被淘汰的概率．（Ⅱ）的可能值為，，，．的分布列為123∴．10.某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))和,系統(tǒng)和在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和.(Ⅰ)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為,求的值;(Ⅱ)設系統(tǒng)在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數為隨機變量,求的概率分布列及數學期望.[解析](1)設:“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件,那么,解得由題意,所以,隨機變量的概率分布列為:0123 故隨機變量X的數學期望為:.C組一選擇題1.某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學，這個同學再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學．若小組內同學甲猜對成語的概率是0.4，同學乙猜對成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對得1分，猜不對得0分，則這兩個同學各猜1次，得分之和(單位：分)的數學期望為()A．0.9 B．0.8C．1.2 D．1.1【答案】A【解析】依題意得，得分之和的可能取值分別是0,1,2，且，，，因此，這兩個同學各猜1次，得分之和(單位：分)的數學期望為.2.體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設學生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數為，若的數學期望，則的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】C【解析】發(fā)球次數地分布列如下表：123所以期望，解得(舍去)或，又，則.3.袋中裝有大小完全相同，標號分別為1,2,3，…，9的九個球．現從袋中隨機取出3個球．設為這3個球的標號相鄰的組數(例如：若取出球的標號為3,4,5，則有兩組相鄰的標號3,4和4,5，此時的值是2)．則隨機變量的數學期望為()A B.C. D.【答案】D【解析】依題意得，的所有可能取值是，且，，，因此4.設.隨機變量取值的概率均為0.2,隨機變量取值的概率也為0.2.若記分別為、的方差,則 （）A．. B．. C．.D．與的大小關系與的取值有關.【答案】A【解析】,,記,同理得,只要比較與有大小,,所以,選.二填空題某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為eq\f(2,3)，得到乙、丙兩公司面試的概率均為，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的．記為該畢業(yè)生得到面試的公司個數．若，則隨機變量X的數學期望EX＝________.【答案】eq\f(5,3)【解析】∵，∴，隨機變量的可能值為0,1,2,3，因此，，，，因此答案：6.某個部件由三個元件按下圖方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作,設三個電子元件的使用壽命(單位:小時)均服從正態(tài)分布,且各個元件能否正常相互獨立,那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為_________【答案】【解析】使用壽命超過1000小時的概率為三個電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布得:三個電子元件的使用壽命超過1000小時的概率為超過1000小時時元件1或元件2正常工作的概率那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為三解答題7.在一次人才招聘會上，有三種不同的技工面向社會招聘．已知某技術人員應聘三種技工被錄用的概率分別是0.8,0.5,0.2(允許受聘人員同時被多種技工錄用)．(1)求該技術人員被錄用的概率；(2)設表示該技術人員被錄用的工種數與未被錄用的工種數的積．①求的分布列和數學期望；②“設函數是偶函數”為事件D，求事件D發(fā)生的概率．．解：記該技術人員被三種技工分別錄用的事件為，則(1)該技術人員被錄用的概率.(2)設該技術人員被錄用的工種數為，則，所以的所有可能取值為0,2.①；所以的分布列為020.160.84所以.②當時，，則函數f(x)是奇函數，當時，，則函數f(x)是偶函數．所以所求的概率.8.設隨機變量的概率分布為12……求。解法一：，解法二：由解法一可求得。又，∴。9.某單位有三輛汽車參加某種事故保險，單位年初向保險公司繳納每輛900元的保險金，對在一年內發(fā)生此種事故的每輛汽車，單位可獲9000元的賠償（假設每輛車最多只賠償一次），設這三輛車在一年內發(fā)生此種事故的概率分別為，且各車是否發(fā)生事故相互獨立，求一年內該單位在此保險中：（1）獲賠的概率；（2）獲賠金額的分布列與期望．【解析】設表示第輛車在一年內發(fā)生此種事故， 由題意知獨立，且. （Ⅰ）該單位一年內獲賠的概率為 . （Ⅱ）的所有可能值為. ， . 綜上知，的分布列為 090001800027000 求的期望有兩種解法： 解法一：由的分布列得 （元） 解法二：設表示第輛車一年內的獲