備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題 第08講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第八講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用A組一、選擇題1．已知定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若，且，則不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集是（）A．B．C．D．答案C解析：設(shè)，則，∵，∴，∴，∴在定義域上單調(diào)遞增，∵，∴，又∵，∴，∴，∴不等式的解集為故選：C.2．設(shè)函數(shù)，其中，若僅有一個(gè)整數(shù)，使得，則的取值范圍是（）A．B．C．D．答案D.解析：，由題意得，的單調(diào)性為先遞減后遞增，故，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又∵，，∴只需，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選D.3．（2017年高考全國(guó)3卷文）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a=A.B.C.D.1【答案】C【解析】函數(shù)的零點(diǎn)滿足，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，為.設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，為，若，函數(shù)與函數(shù)沒有交點(diǎn)；若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和有一個(gè)交點(diǎn)，即，解得.故選C.4.曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）A．B．C．D．答案A解析:因,故切線的斜率,切線方程，令得；令得，故圍成的三角形的面積為，應(yīng)選A。5.曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）A．B．C．D．答案A解析：，，，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，故選A.二、填空題6．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則。答案解析：依題意關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，時(shí)為奇函數(shù)，符合題意。7．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．答案解析：，由題意在上有兩個(gè)根，設(shè)，若，則在為增函數(shù)，最多只能有一解，不合題意，故，當(dāng)或者時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，因此，由題意，所以．三、解答題8．已知函數(shù)其中.（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).（只需寫出結(jié)論）.解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，，所以切線方程為.（2）的定義域：，，令，，當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，的增區(qū)間為，的減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，或；，，所以的增區(qū)間為，，的減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，，或，，，所以的增區(qū)間為，，的減區(qū)間為.（3）當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.9．設(shè)函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且），曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若對(duì)任意，與有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．解析：（Ⅰ）由，得，由題意得，∵，∴；（Ⅱ）令，則任意，與有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)在有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，由，得，①當(dāng)時(shí)，由得，由得，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，，（或當(dāng)時(shí)，亦可），∴要使得在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則只需，即，②當(dāng)時(shí)，由得或，由得，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．此時(shí)，∴此時(shí)在至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，③當(dāng)時(shí)，由得或，由得，此時(shí)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，∴在至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，綜上所述，的取值范圍為．10．已知，函數(shù)，.（1）求的極小值；（2）若在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；（3）設(shè)，若在（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上至少存在一個(gè)，使得成立，求的取值范圍.解析：（1）由題意，，，所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故.（2）因?yàn)?，所以，由于在?nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范圍是.（3）構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由得，，所以在上不存在一個(gè)，使得.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以，，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，，所以要在上存在一個(gè)，使得，必須且只需，解得，故的取值范圍是.另外：（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得.令，則，所以在上遞減，.綜上，要在上存在一個(gè)，使得，必須且只需.11．對(duì)于函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在區(qū)間，同時(shí)滿足下列條件：①在上是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，值域也是，則稱區(qū)間是函數(shù)的“區(qū)間”．對(duì)于函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)存在“區(qū)間”，求的取值范圍．解析：（1）時(shí)，，則，∴函數(shù)在處的切線方程為，即．（2），列表如下：0減增極大值減設(shè)函數(shù)存在“區(qū)間”是（i）當(dāng)時(shí)，由上表可知，兩式相減得，即，所以，代入，得，欲使此關(guān)于的方程組在時(shí)有解，需使與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，且，所以此時(shí)滿足存在“區(qū)間”的的取值范圍是．（ii）當(dāng)時(shí)，由上表可知，，即，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，欲使此關(guān)于的方程有兩解，需使與在有兩個(gè)交點(diǎn)，所以有，解得．所以此時(shí)滿足存在“區(qū)間”的的取值范圍是．（iii）當(dāng)時(shí)，由上表可知，，兩式相減得，，此式不可能成立，所以此時(shí)不存在“區(qū)間”．綜上所述，函數(shù)存在“區(qū)間”的的取值范圍是．B組選擇題1．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則的極大值為（）A．2B．3C．D．答案D解析：因,即,故題設(shè),所以,由于,因此當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,所以函數(shù)在處取極大值,應(yīng)選D.2．設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，則使得成立的的取值范圍是（）A．B．C．D．答案A解析：令，由得，所以在定義域上遞增，即是，可得，使得成立的的取值范圍是，故選A。3．定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．答案A解析：構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞增，則,同理,由,可知.故本題選A．4．己知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且為偶函數(shù)，，則不等式的解集為（）A．B．C．D．答案D解析：因?yàn)楹瘮?shù)滿足為偶函數(shù)且，所以且，令，則在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以由，得，即不等式的解集為；故選D．二、填空題5．若直線是曲線的一條切線，則______．答案解析：，設(shè)切點(diǎn)為，則將①代入②得，即，或，（舍去）或．6．已知函數(shù)若與的圖象上分別存在點(diǎn)使得關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．答案解析：設(shè),由題意,即在上有意義,即在上有意義,令,求導(dǎo),當(dāng)時(shí),,則,即.三、解答題7．已知函數(shù)。（1）曲線在處的切線與直線垂直，求的值；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值。解析：（1）切線的斜率∴，∴。（2）由題意，設(shè)①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以關(guān)于的不等式不能恒成立，②當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)?，得，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，故函數(shù)的最大值為令，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，又因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，。所以整數(shù)的最小值為2。8．已知函數(shù)，直線為曲線的切線（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，若函數(shù)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解析：（1）對(duì)求導(dǎo)得．設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，則，解得，所以的值為1.（2）記函數(shù)，下面考察函數(shù)的符號(hào)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，，從而∴在上恒成立，故在上單調(diào)遞減．，∴，又曲線在上連續(xù)不間斷，所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知唯一的，使．∴；，，∴，從而，∴，由函數(shù)為增函數(shù)，且曲線在上連續(xù)不斷知在，上恒成立．①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即在上恒成立，記，則，當(dāng)變化時(shí)，變化情況列表如下：30極小值∴，故“在上恒成立”只需，即．②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，綜合①②知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)．故實(shí)數(shù)的取值范圍是9．已知函數(shù)為常數(shù)）的圖象在處的切線方程為.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知,且,若對(duì)任意,任意與中恰有一個(gè)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析:（1）由的定義域?yàn)?可得,由條件可得,把代入可得,,,在上遞減.（2）由（1）可知,在上單調(diào)遞減,在上的最小值為,最大值為,只需或,即對(duì)恒成立，或?qū)愠闪?令,則,令可得.而恒成立,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.最大值為,而,顯然,在上最大值為.又或,即或,實(shí)數(shù)的取值范圍是.10．已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，其中b為實(shí)常數(shù)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．解析：（1），因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以，解得：（2），等價(jià)于，注意令，所以（i）當(dāng)所以H（x）無(wú)零點(diǎn)，即F定義域內(nèi)無(wú)零點(diǎn)。（ii）當(dāng)，當(dāng)x<0時(shí)，因?yàn)樯蠁握{(diào)遞增，而又又因?yàn)?，其中，取，所以，由此由零點(diǎn)存在定理知，在上存在唯一零點(diǎn)（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增。所以當(dāng)時(shí)，H（x）有極小值也是最小值，。（1）當(dāng)（2）當(dāng)（3）當(dāng)而又因?yàn)榱?，其中所以，從而，，故綜上所述：C組選擇題1．已知函數(shù)，設(shè)兩曲線有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，則時(shí)，實(shí)數(shù)的最大值是（）A．B．C．D．答案D解析：設(shè)切點(diǎn)為，則由切點(diǎn)處的斜率相同且切線相同得，……①，……②。因?yàn)?，所以由①?并將其代入②得，．設(shè),利用導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以,則．選D．2．已知直線是曲線：與曲線：的一條公切線，若直線與曲線的切點(diǎn)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足（）A．B．C．D．答案D解析：記直線與曲線的切點(diǎn)為因?yàn)?則直線的方程為,又直線的方程為,從而且,消去得,即,設(shè),則,令解得,則函數(shù)在上遞增，又，無(wú)零點(diǎn)，得在上單調(diào)遞減，可得，所以，故選D.3．已知函數(shù),若,且對(duì)任意的恒成立,則的最大值為（）A．B．C．D．答案B解析：由題設(shè)可得,令,則.令.則函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn).設(shè)并記極值點(diǎn)為,則,由于,故,而且不難驗(yàn)證當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以,因此,由于且,所以,故應(yīng)選B.4．已知函數(shù)，，若對(duì)恒成立（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的取值范圍是（）A.B．（-1,0）C．D．答案A解析：當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,故當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減.故在上函數(shù)取最大值.而當(dāng)時(shí)，設(shè),可得，故不等式可化為,即不等式在恒成立，令，也即不等式在上恒成立。當(dāng)對(duì)稱軸時(shí),只需，即時(shí)不等式恒成立;當(dāng)時(shí)，只需，但這不可能；當(dāng)時(shí)，則只需，這也不可能.所以綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是,應(yīng)選A。二、填空題5．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.答案.解析：當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)且恒成立，由解得即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由解得即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則解得，即當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，滿足條件．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，令，則則在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)則，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.6．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為，則．答案解析：因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以在上恒成立，即，即；因?yàn)?，若，即時(shí)，在單調(diào)遞減，則（舍），當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增，且，所以，即，解得；故填．三、解答題7．設(shè)函數(shù)．（1）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的，總有，求的取值范圍．解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋睿瑒t．①當(dāng)時(shí)，，所以，從而；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以?3\*GB3③當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（不妨設(shè)）．因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，從而；當(dāng)或時(shí)，，從而．綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，其中．（2），即．在區(qū)間上，．令，則．令，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以存在唯一的，使得，且時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即．所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此在上，．因?yàn)椋?，即．故?dāng)時(shí)，．因此．故實(shí)數(shù)的取值范圍是．8．已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：，不等式恒成立．解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，若，在上單調(diào)遞增②若，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增．（Ⅱ）等價(jià)于令，則由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，，即.所以，則在上單調(diào)遞增，所以即有時(shí)，9．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若存在，使得（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍．解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，又因?yàn)?，所以函?shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（2）由（1），，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，總有在上是增函數(shù)．又，所以不等式的解集為，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．（3）因?yàn)榇嬖?，使得成立，而?dāng)時(shí)，，所以只要即可又因?yàn)榈淖兓闆r如下表所示：00減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的最小值．的最大值為和中的最大值．因?yàn)?，令，因?yàn)?，所以在上是增函?shù)，而，故當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即．所以，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上是增函數(shù)，解得；當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上是減函數(shù)，解得．綜上可知，所求的取值范圍為．10．設(shè)函數(shù)（1）若函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，試比較當(dāng)時(shí)，與的大??；（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，不等式成立．解析：（1）∵又函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)．∴或在上恒成立若在上恒成立，即函數(shù)是定義域上的單調(diào)地增函數(shù)，則