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文檔簡介
2022年四川省德陽市普通高校對口單招高等數(shù)學(xué)一自考預(yù)測試題(含答案)學(xué)校:________班級:________姓名:________考號:________
一、單選題(20題)1.
2.A.A.連續(xù)點(diǎn)
B.
C.
D.
3.微分方程y"+y'=0的通解為
A.y=Ce-x
B.y=e-x+C
C.y=C1e-x+C2
D.y=e-x
4.
5.
6.
7.方程x=z2表示的二次曲面是A.A.球面B.橢圓拋物面C.柱面D.圓錐面
8.
9.
10.
11.
12.函數(shù)y=ex+arctanx在區(qū)間[-1,1]上
A.單調(diào)減少B.單調(diào)增加C.無最大值D.無最小值13.A.有一個(gè)拐點(diǎn)B.有三個(gè)拐點(diǎn)C.有兩個(gè)拐點(diǎn)D.無拐點(diǎn)
14.
15.A.A.較高階的無窮小量B.等價(jià)無窮小量C.同階但不等價(jià)無窮小量D.較低階的無窮小量16.微分方程y'+y=0的通解為()。A.y=ex
B.y=e-x
C.y=Cex
D.y=Ce-x
17.
18.
19.
20.函數(shù)y=sinx在區(qū)間[0,n]上滿足羅爾定理的ξ=A.A.0B.π/4C.π/2D.π二、填空題(20題)21.
22.
23.24.25.設(shè)y=x+ex,則y'______.26.
27.
28.29.設(shè)區(qū)域D為y=x2,x=y2圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域,則=______.30.設(shè)y=1nx,則y'=__________.31.
32.
33.
34.
35.設(shè)f(x)=x(x-1),則f'(1)=__________。36.37.設(shè)z=ln(x2+y),則全微分dz=__________。
38.
39.40.三、計(jì)算題(20題)41.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B,在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi),以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示).設(shè)梯形上底CD長為2x,面積為
S(x).
(1)寫出S(x)的表達(dá)式;
(2)求S(x)的最大值.
42.
43.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間,并求該曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線l的方程.44.45.求微分方程的通解.46.47.48.研究級數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對收斂,何時(shí)條件收斂,何時(shí)發(fā)散,其中常數(shù)a>0.49.
50.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù).
51.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p,當(dāng)p=10時(shí),若價(jià)格上漲1%,需求量增(減)百分之幾?
52.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
53.證明:54.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無窮小量,則55.求曲線在點(diǎn)(1,3)處的切線方程.56.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.57.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).
58.
59.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值.60.
四、解答題(10題)61.
62.
63.
64.(本題滿分8分)設(shè)y=x+sinx,求y.
65.66.在曲線y=x2(x≥0)上某點(diǎn)A(a,a2)處作切線,使該切線與曲線及x軸所圍成的圖形的面積為1/12.試求:(1)切點(diǎn)A的坐標(biāo)((a,a2).(2)過切點(diǎn)A的切線方程.67.68.
69.求由曲線y=1-x2在點(diǎn)(1/2,3/4]處的切線與該曲線及x軸所圍圖形的面積A。
70.
五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.求微分方程y+2xy=xe-x2滿足y|x=0=1的特解。
六、解答題(0題)72.
參考答案
1.B
2.C解析:
3.C解析:y"+y'=0,特征方程為r2+r=0,特征根為r1=0,r2=-1;方程的通解為y=C1e-x+C1,可知選C。
4.C
5.A
6.A
7.C方程x=z2中缺少坐標(biāo)y,是以xOy坐標(biāo)面上的拋物線x=z2為準(zhǔn)線,平行于y軸的直線為母線的拋物柱面。所以選C。
8.B
9.B
10.C
11.C
12.B本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的知識點(diǎn),
因y'=ex+1/(1+x2)>0處處成立,于是函數(shù)在(-∞,+∞)內(nèi)都是單調(diào)增加的,故在[-1,1]上單調(diào)增加。
13.D本題考查了曲線的拐點(diǎn)的知識點(diǎn)
14.D
15.C本題考查的知識點(diǎn)為無窮小量階的比較.
16.D可以將方程認(rèn)作可分離變量方程;也可以將方程認(rèn)作一階線性微分方程;還可以仿二階線性常系數(shù)齊次微分方程,并作為特例求解。解法1將方程認(rèn)作可分離變量方程。分離變量
兩端分別積分
或y=Ce-x解法2將方程認(rèn)作一階線性微分方程.由通解公式可得解法3認(rèn)作二階常系數(shù)線性齊次微分方程特例求解:特征方程為r+1=0,特征根為r=-1,方程通解為y=Ce-x。
17.D
18.A
19.A
20.Cy=sinx在[0,π]上連續(xù),在(0,π)內(nèi)可導(dǎo),sin0=sinπ=0,可
知y=sinx在[0,π]上滿足羅爾定理,由于(sinx)'=cosx,可知ξ=π/2時(shí),cosξ=0,因此選C。
21.
22.x=-3
23.<0
24.
本題考查的知識點(diǎn)為初等函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算.
本題需利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解.
本題中常見的錯(cuò)誤有
這是由于誤將sin2認(rèn)作sinx,事實(shí)上sin2為-個(gè)常數(shù),而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,即
請考生注意,不論以什么函數(shù)形式出現(xiàn),只要是常數(shù),它的導(dǎo)數(shù)必定為0.25.1+ex本題考查的知識點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算.
y'=(x+ex)'=x'+(ex)'=1+ex.26.1/2
本題考查的知識點(diǎn)為計(jì)算二重積分.
其積分區(qū)域如圖1—1陰影區(qū)域所示.
可利用二重積分的幾何意義或?qū)⒍胤e分化為二次積分解之.
解法1
解法2化為先對y積分,后對x積分的二次積分.
作平行于y軸的直線與區(qū)域D相交,沿Y軸正向看,人口曲線為y=x,作為積分下限;出口曲線為y=1,作為積分上限,因此
x≤y≤1.
區(qū)域D在x軸上的投影最小值為x=0,最大值為x=1,因此
0≤x≤1.
可得知
解法3化為先對x積分,后對y積分的二次積分.
作平行于x軸的直線與區(qū)域D相交,沿x軸正向看,入口曲線為x=0,作為積分下限;出口曲線為x=y(tǒng),作為積分上限,因此
0≤x≤y.
區(qū)域D在y軸上投影的最小值為y=0,最大值為y=1,因此
0≤y≤1.
可得知
27.f(x)+Cf(x)+C解析:
28.x-arctanx+C29.1/3;本題考查的知識點(diǎn)為二重積分的計(jì)算.
30.
31.
32.2/32/3解析:
33.0
34.3
35.36.本題考查的知識點(diǎn)為定積分的基本公式。
37.
38.-2sin2-2sin2解析:39.1
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.由一階線性微分方程通解公式有
50.
51.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p
∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,
∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%
52.解:原方程對應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0,
53.
54.由等價(jià)無窮小量的定義可知55.曲線方程為,點(diǎn)(1,3)在曲線上.
因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0.
如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在,則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)
(x0,fx0))處存在切線,且切線的斜率為f′(x0).切線方程為
56.由二重積分物理意義知
57.
列表:
說明
58.
59.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
注意
60.
則
61.
62.
63.解
64.由導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則可知
65.
66.由于y=x2,則y'=2x,曲線y=x2上過點(diǎn)A(a,a2)的切線方程為y-a2=2a(x-a),即y=2ax-a2,曲線y=x2,其過點(diǎn)A(a,a2)的切線及x軸圍成的平面圖形的面積
由題設(shè)S=1/12,可得a=1,因此A點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1).過A點(diǎn)的切線方程為y-1=2(x-1)或y=2x-1.解析:本題考查的知識點(diǎn)為定積分的幾何意義和曲線的
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