理論力學(xué)-第五章

圓盤的運(yùn)動(dòng)分析§5－1剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若體內(nèi)或其外延部分上有一點(diǎn)在空間的位置保持不變，則這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。1.運(yùn)動(dòng)方程以定點(diǎn)O為原點(diǎn)，取定坐標(biāo)系Oxyz

另取與剛體固結(jié)的動(dòng)坐標(biāo)系ON－－節(jié)線－－進(jìn)動(dòng)角－－自轉(zhuǎn)角－－章動(dòng)角歐拉角－－剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程歐拉角的定義歐拉定理2.歐拉定理繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的剛體，從某一位置到另一位置的任何位移可以繞通過定點(diǎn)的某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)一次而實(shí)現(xiàn)。證明：3.瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸·角速度·角加速度矢量沿瞬軸，指向按右手法則規(guī)定一般狀況下與不共線方向沿角速度矢量的矢端曲線的切線。4.剛體上各點(diǎn)的速度和加速度－－轉(zhuǎn)動(dòng)加速度大小為方向垂直于和指向如上圖。－－向軸加速度其大小為方向垂直于和指向瞬軸。

剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于繞瞬軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與矢徑的矢量積；該點(diǎn)的加速度等于繞瞬軸的向軸加速度與繞角加速度矢的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度的矢量和。例5－1求：齒輪上點(diǎn)M的速度和加速度。設(shè)OA=l，已知：行星錐齒輪的軸OA以勻角速度,繞鉛直軸OB轉(zhuǎn)動(dòng)AC=r。解：齒輪中心點(diǎn)A的速度為點(diǎn)A繞定點(diǎn)O在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)繞瞬軸OC轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的大小為=常量它沿著OC

指向如圖所示點(diǎn)M的速度為它的方向垂直于平面OMC指向如圖行星齒輪的角速度為因?yàn)橹桓淖兎较虿桓淖兇笮《宜蛕軸間夾角β的大小保持不變，所以它的矢端曲線是水平的圓周。沿此圓周的切線，指向轉(zhuǎn)動(dòng)的一方的大小為現(xiàn)在計(jì)算點(diǎn)M的加速度。轉(zhuǎn)動(dòng)加速度的大小為它垂直由和OM形成的平面，指向如圖向軸加速度的大小為它的方向自M指向點(diǎn)E（在鉛直平面OAC內(nèi)）將值代入上式，并留意到和得§5－2自由剛體的運(yùn)動(dòng)－－自由剛體運(yùn)動(dòng)方程自由剛體內(nèi)任一點(diǎn)M的速度設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在動(dòng)坐標(biāo)系中的矢徑為剛體繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)角速度為則自由剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度公式為由于牽連運(yùn)動(dòng)為平移，自由剛體內(nèi)任一點(diǎn)的加速度合成式為其中為剛體繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)角加速度自由剛體內(nèi)任一點(diǎn)的加速度公式為§5－3剛體運(yùn)動(dòng)的合成剛體的任何困難運(yùn)動(dòng)都可以由幾個(gè)簡(jiǎn)潔運(yùn)動(dòng)的合成而得到。1.平移與平移的合成小車上任一點(diǎn)的速度：當(dāng)剛體同時(shí)作兩個(gè)平移時(shí)，剛體的合成運(yùn)動(dòng)仍為平移。加速度：2.繞兩個(gè)平行軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成齒輪II上任一點(diǎn)M的速度牽連速度的大小為方向垂直于相對(duì)速度的大小為方向垂直于這時(shí)點(diǎn)M的速度等于與的矢量和。瞬軸與兩軸間的距離分別為和在點(diǎn)C

與同向的情形如圖齒輪繞瞬軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為方向根據(jù)的方向確定當(dāng)剛體同時(shí)繞兩平行軸同向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的合成運(yùn)動(dòng)為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，確定角速度等于牽連角速度與相對(duì)角速度的和；瞬軸的位置內(nèi)分兩軸間的距離，內(nèi)分比與兩個(gè)角速度成反比。當(dāng)和反向時(shí)如圖確定角速度的轉(zhuǎn)向，與中較大的一個(gè)相同。當(dāng)剛體同時(shí)繞兩平行軸反向轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體的合成運(yùn)動(dòng)為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，確定角速度等于牽連角速度與相對(duì)加速度之差，它的轉(zhuǎn)向與較大的角速度的轉(zhuǎn)向相同；瞬軸的位置外分兩軸間的距離，在較大角速度的軸的外側(cè)，外分與兩個(gè)角速度成反比。當(dāng)和等值而反向時(shí)當(dāng)剛體以同樣大小的角速度，同時(shí)繞兩平行軸而反向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的合成運(yùn)動(dòng)為平移，這種運(yùn)動(dòng)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)偶。轉(zhuǎn)動(dòng)偶3.繞相交軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成點(diǎn)C的確定速度等于零。直線OC是剛體的瞬軸。角速度的指向可由點(diǎn)A的速度方向確定。

當(dāng)剛體同時(shí)繞兩相交軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，合成運(yùn)動(dòng)為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，繞瞬軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度等于繞兩軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的矢量和。假如剛體繞相交于一點(diǎn)的3個(gè)軸或更多的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)

當(dāng)剛體同時(shí)繞相交于一點(diǎn)的多軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，合成運(yùn)動(dòng)為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。繞瞬軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度等于繞各軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的矢量和，而瞬軸則沿此合矢量方向。4.平移與轉(zhuǎn)動(dòng)的合成（1）平移速度矢與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢垂直的情形繞瞬軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度等于繞動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度（2）平移速度矢與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢平行的情形剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)又沿軸向運(yùn)動(dòng)－－螺旋運(yùn)動(dòng)。平移速度與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的比值－－螺旋率。若以s表示剛體沿軸的軸向位移為剛體繞軸的轉(zhuǎn)角螺旋率可寫成一般狀況下，螺旋率為一恒值，上式積分一次：s表示剛體轉(zhuǎn)過一周沿軸前進(jìn)的距離－－螺距。（3）平移速度矢與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢成隨意角的情形剛體以角速度繞動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)又以速度平移，和之間的夾角為θ。剛體的運(yùn)動(dòng)成為以的平移，和以繞瞬軸CC的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)－－瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)。例5－2已知：如圖所示，系桿以角速度繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，半徑為的行星齒輪活動(dòng)地套在與系桿一端固結(jié)的軸上，并與半徑為的固定齒輪相嚙合。求：行星齒輪的絕對(duì)角速度。以及它相對(duì)于系桿的角速度。解：行星齒輪相對(duì)于系桿的角速度為行星齒輪的確定角速度為2、以逆時(shí)針為正1、例5－3已知：行星齒輪II與固定錐齒輪I相嚙合，可繞動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，而動(dòng)軸以角速度繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)在點(diǎn)C處輪I的半徑為，輪II的半徑為。求：錐齒輪II相對(duì)于動(dòng)軸的角速度。解：2、研究齒輪I和II相對(duì)于動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)如圖所示兩齒輪相對(duì)于動(dòng)軸的角速度分別為和傳動(dòng)比將代入上式得1、例5－4已知：框架K和軸A一起以角速度ω繞軸I－II轉(zhuǎn)動(dòng)，半徑為和彼此相固結(jié)的兩個(gè)傘齒輪B和C可在軸

A上自由轉(zhuǎn)動(dòng)。傘齒輪B與軸I上半徑為的傘齒輪

D相嚙合，傘齒輪C與軸II上半徑為的傘齒輪E相嚙合。軸I的角速度和軸II的角速度。求：框架的角速度ω和齒輪B相對(duì)于框架的角速度。解：齒輪的傳動(dòng)關(guān)系如下和中必定有一個(gè)的轉(zhuǎn)向與圖示的轉(zhuǎn)向相反例5－5求：t=1s時(shí)陀螺繞瞬軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。已知：陀螺繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖所示3個(gè)歐拉角表示的運(yùn)動(dòng)方程為式中t以s計(jì)以rad計(jì)解：當(dāng)t=1s時(shí)因?yàn)椤?－4陀螺儀近似理論陀螺現(xiàn)象工程中把具有一個(gè)固定點(diǎn)，并繞自身的對(duì)稱軸高速轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體－－陀螺。設(shè)陀螺以繞對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸又以角速度繞定軸Oz轉(zhuǎn)動(dòng)自轉(zhuǎn)進(jìn)動(dòng)在一般情況下，與自轉(zhuǎn)軸不重合。其中是陀螺對(duì)于對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)量矩矢近似與對(duì)稱軸重合其大小等于－－質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的運(yùn)動(dòng)學(xué)說明賴柴定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩矢端的速度等于外力對(duì)同一點(diǎn)的主矩。1.自由陀螺保持自身對(duì)稱軸在慣性參考系中的方位不變不計(jì)摩擦，外力對(duì)其質(zhì)心O的力矩為零－－自由陀螺恒量2.陀螺受力矩的作用，當(dāng)力矩矢與對(duì)稱軸不重合，對(duì)稱軸將進(jìn)動(dòng)依據(jù)賴柴定理在重力的持續(xù)作用下，對(duì)稱軸將繞Oz

轉(zhuǎn)動(dòng)這種運(yùn)動(dòng)稱為進(jìn)動(dòng)3.陀螺效應(yīng)和陀螺力矩陀螺效應(yīng)是在高速轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械中，當(dāng)轉(zhuǎn)子的對(duì)稱軸的方位變更時(shí)發(fā)生的一種物理現(xiàn)象。它的動(dòng)量矩矢方向沿此對(duì)稱軸。如果軸z以角速度繞軸y轉(zhuǎn)動(dòng)則動(dòng)量矩矢端點(diǎn)A獲得速度陀螺力矩－－當(dāng)機(jī)械中高速轉(zhuǎn)度部件的對(duì)稱軸被迫在空間變更方位時(shí)，即對(duì)稱軸被迫進(jìn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)部件必對(duì)約束作用一個(gè)附加力偶，這種現(xiàn)象稱為陀螺效應(yīng)。例5－6已知：海輪上的汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)軸沿船的縱軸x，轉(zhuǎn)子對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，轉(zhuǎn)子的角速度為。如果海輪繞橫軸y擺動(dòng)，設(shè)擺動(dòng)的規(guī)律是諧振動(dòng)：擺幅為，周期為T。兩軸承之間的距離為l。求：汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子的陀螺力矩和對(duì)軸