上海市徐匯區(qū)位育中學高二上學期期末數(shù)學試卷與解析

121212121212222121212121212222學年上海市徐匯位育中學二（上）期數(shù)學試卷一、填題（本大題分40分，共有題，要求接填寫果，每題填得4分，否一律得零分1分）若直x﹣2y+5=0與直線2x+my﹣互相垂直，則實m=

．2分）直線

關于直線x=1對稱的直線方程是．3分）直線2ρcosθ=1與圓ρ=2cosθ相交的弦長為．4分）若θ∈R，則直線θ?x2的傾斜角的取值范圍是．5分已知雙曲線則C的方程為．

的焦距為10點（1在C的漸近線上，6分）若|z|=z|，且|z+z|=2

，則|z﹣z|=

．7分）在直角坐標系中，已知曲線C：

（t為參數(shù)）與曲C：（θ為參數(shù)，a0）有一個公共點在軸上，則a等于．8分）已知F、分別為雙曲線：

的左、右焦點，點A∈C，點M的坐標為（20為∠FAF的平分線，則AF|=

．9分）已知直線：+﹣9=0和圓M：+2y﹣8x﹣8y﹣1=0，A在直線L上，B、為圓M上兩點，在△ABC中，∠BAC=45°，過圓心，則點A橫坐標范圍為．10分）橢圓+

=1（＞b0）上任意兩點，Q，若OP⊥，則乘積|OP|?||的最小值為．二、選題（本大題分16分，共有題，每題給出四結論，其中且只有一個論是正確的必須把確結論的代寫在題的圓括號內(nèi)選對得分，否一律得零分第1頁（共19頁）

022222111111分）在復平面內(nèi)，復數(shù)0222221111

（i是虛數(shù)單位）所對應的點位于（）A．第一象限

B．第二象限

．第三象限

D．第四象限12分）已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M（2，y點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM=（）A．

B．

．4D13分）設m，∈，若直線（m+1x+（n1﹣2=0與圓（﹣1+（y﹣1）=1相切，則m+的取值范圍是（）A．[1

，1+

]﹣∞，1]∪[1，+∞）．[2﹣2

，2+2

]D∞，22

]∪[22

，+∞）14分）直線：+=1與橢圓：

+

=1相交于A，B兩點，該橢圓上存在點P，使得△PAB的面積于3，則這樣的點P共有（）A．1個．2個．3個．4個三、解題（本大題分44分，共有4題，解答列各題須寫出必要驟15分）已知復數(shù)滿足|z﹣=2，∈R，求16分）已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點（﹣10和B（4線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且CD|=4（1）求直線CD的方程；（2）求圓P的方程．

．17分）已知橢圓G：

=1，過點（，0作圓x+y=1的切線L交橢圓G于A，B兩點．（1）求橢圓G的焦點坐標和離心率；（2）求m的取值范圍；（3）將|AB|表示為m的函數(shù)，并求||的最大值．18分）過拋物y（P＞0的對稱軸上一（a0＞的直線與拋物線相交于MN兩點，自MN向直線l：x=﹣作垂線，垂足分別M，N．（1）當a=時，求證：AM⊥AN；第2頁（共19頁）

1111232213（2）記△AMM，△AMN，△的面積分別為，S，S，是否存在，使得對任意的a＞0均有S=λSS成立，若存在，求出λ的值；若不存在1111232213四、附題19．設橢E：

=1（b0）經(jīng)過點（2，（，為坐標原點．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ是否存在圓心在原點的圓使得該圓的任意一條切線與橢圓恒在兩個交點、B且在，說明理由．

？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍；若不存第3頁（共19頁）

22222222年海徐區(qū)育學（期數(shù)學卷參考答案與試題解析一、填題（本大題分40分，共有題，要求接填寫果，每題填得4分，否一律得零分1分）若直線x﹣2y+5=0與直線2x+﹣6=0互相垂直，則實數(shù)m=1【解答】解：直線x﹣2y+5=0的斜率為直線2x+my﹣的斜率為∵兩直線垂直∴解得m=1故答案為：1

．2分）直線

關于直線x=1對稱的直線方程是

x+2y﹣2=0

．【解答解線

關于直線x=1對稱可知對稱直線的斜為2，0）點，所求直線方程為：x+﹣2=0．故答案為：x+﹣2=0．3分）直線2ρcosθ=1與圓ρ=2cos相交的弦長為【解答】解：由2ρcosθ=1，可得直線方程為x=，

．由ρ=2cos，得ρ

2

=2ρcos，即x

+y

=2x，化為標準方程得（x﹣1

+y

=1如圖，第4頁（共19頁）

∴弦AB的長為故答案為：．

．4分θ∈R直線y=sinθ?x+2的傾斜角的取值范圍是[0）．【解答】解：直線y=sinθ?x+2的斜率為sinθ，設直線的傾斜角為α則tanα=sinθ∈[﹣1，1∴α∈[0，]∪[，π

]∪[，故答案為：[0，

]∪[，5分已知雙曲線則C的方程為．【解答】解：∵雙曲線上，∴，解得，a=2

的焦距為10點（1在C的漸近線上，的焦距為10點P（，1）在C的漸近線∴雙曲線的方程為第5頁（共19頁）

1212121212112121211212121212112121212212故答案為：，得6分）若|z|=z|，且|z+z|=2【解答】解：由|z+z|，即2zz=4∴

，則|z﹣z|=2，

．∴|z﹣z|故答案為：2．7分）在直角坐標系中，已知曲線C：（t為參數(shù)）與曲線C：（θ為參數(shù)，a0）有一個公共點在軸上，則a等于

．【解答】解：曲C：

（t為參數(shù)）化為普通方程2x+y﹣3=0，y=0，可得x=曲線C：（θ為參數(shù)，a＞0）化為普通方程：∵兩曲線有一個公共點在x軸上，∴∴a=故答案為：8分）已知F、分別為雙曲線：

的左、右焦點，點A∈C，點M的坐標為（20為∠FAF的平分線，則AF|=6【解答】解：不妨設A在雙曲線的右支上∵AM為∠FAF的平分線第6頁（共19頁）

．

12222222221222222222∴

=又∵|AF|﹣|AF|=2a=6解得|AF|=6故答案為69分）已知直線：+﹣9=0和圓M：+2y﹣8x﹣8y﹣1=0，A在直線L上，B、為圓M上兩點，在△ABC中，∠BAC=45°，過圓心，則點A橫坐標范圍為[3，6]．【解答解M+﹣8x﹣8y﹣1=0方程可化x﹣2y﹣

）2

，設A點的橫坐標為a．則縱坐標為9﹣a①當a≠2時，k=

，設AC的斜率為k，把∠BAC看作AB到AC的角，則可得k=

，直線AC的方程為y﹣（a）=

（x﹣）即5x﹣（2a9﹣2a+22a81=0，又點C在圓M上，所以只需圓心到AC的距離小于等于圓的半徑，即

≤，化簡得a﹣9a18≤0，解得3≤a6②當a=2時，則A（2，與直線x=2成45°角的直線為y﹣﹣2即x﹣+5=0，M到它的距離d=這樣點C不在圓M上，還有x+﹣9=0，顯然也不滿足條件，綜上：A點的橫坐標范圍為[3，]．故答案為：[3，6]．

=

＞，第7頁（共19頁）

0010分）橢圓+

=1（＞b0）上任意兩點，Q，若OP⊥，則乘積|OP|?||的最小值為．【解答解意可設點|OP|cosθOP|sin|（θ±（θ±

OQ|由P、Q在橢圓上，得：

=

+，①+=①+②，得∴當|OP|=||=

+

，②+，=時，乘積|OP|?|最小值為

．故答案為：．二、選題（本大題分16分，共有題，每題給出四結論，其中且只有一個論是正確的必須把確結論的代寫在題的圓括號內(nèi)選對得分，否一律得零分

11分）在復平面內(nèi)，復數(shù)

（i是虛數(shù)單位）所對應的點位于（）A．第一象限

B．第二象限

．第三象限

D．第四象限【解答】解：∵

=

=

．∴復數(shù)

所對應的點的坐標為（

位于第二象限．故選：B．12分）已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M（2，y點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM=（）第8頁（共19頁）

202022212A．202022212

B．

．4D【解答解由題意拋物線關于x軸對稱開口向右設方程為yp0）∵點M2y）到該拋物線焦點的距離為3，∴2+=3∴p=2∴拋物線方程為y=4x∵M2y）∴∴|OM|=故選：B．13分）設m，∈，若直線（m+1x+（n1﹣2=0與圓（﹣1

2

+（y﹣1）=1相切，則m+的取值范圍是（）A．[1

，1+

]﹣∞，1]∪[1，+∞）．[2﹣2

，2+2

]D∞，22

]∪[22

，+∞）【解答】解：由圓的方程（x﹣1）

2

+（﹣1

2

=1得到圓心坐標為（，1徑r=1，∵直線（m+1x+（n+﹣2=0與圓相切，∴圓心到直線的距離d==1，整理得：m+n+1=mn≤

，設m+n=x則有+1

，即x

﹣4x﹣40∵x﹣4x﹣4=0的解為：=22

，x=22

，∴不等式變形得﹣2﹣2

﹣22

）≥0，解得：x≥2

或x≤2﹣2

，則m+n的取值范圍為（﹣∞，2故選：D

]∪[2+2

，+∞第9頁（共19頁）

111+S22123111+S2212314分）直線：+=1與橢圓：+

=1相交于A，B兩點，該橢圓上存在點P，使得△PAB的面積于3，則這樣的點P共有（）A．1個．2個．3個．4個【解答】解：設（4cosα3sinαα考慮四邊形PAOB面積S，

即點P在第一象限的橢圓上，S=S

△

△

=×（α+×（α（α+cosα=6

（α+∴S=6

．∵S

△

=×4×3=6為定值，∴S

△

的最大值為6

﹣6．∵6

﹣63，∴點P不可能在直線AB的上方，顯然在直線AB的下方有兩個點P故選：B．三、解題（本大題分44分，共有4題，解答列各題須寫出必要驟15分）已知復數(shù)滿足|z﹣=2，∈R，求【解答】解：設z=xyi，，∈，則z+=z+∵z∈R，∴

，=0又|﹣2=2，∴（﹣2）

+=4聯(lián)立解得，當y=0時，或x=0（舍去x=0，因此時當y≠時，，z=1±，∴綜上所得z=4，=1+

i，z=1

i．第10頁（共19頁）

AB222222222222AB22222222222216分）已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點（﹣10和B（4線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且CD|=4

．（1）求直線CD的方程；（2）求圓P的方程．【解答】解直線AB的斜率k=1AB中點坐標為（1，2（3分）由題意可知直線AB與CD垂直，故k?k=1．所以k=﹣1∴直線CD方程為y﹣2=（x﹣1）即x+﹣3=0…（6分）（2）設圓心P（，由點P在直線CD上得：a+b﹣3=0

①…（8分）又CD的長是圓P的直徑，所以直徑|CD|=4∵以點P為圓心的圓經(jīng)過點A（﹣1，0）

，∴||=2

．∵P（ab（﹣，∴||（a+）+（2

）②（10分）由①②解得

或∴圓心P（﹣3，或P5，﹣2）（12分）∴圓P的方程為（x+3）+（﹣6=40

或（﹣5+（+2=40…（分）17分）已知橢圓G：

=1，過點（，0作圓x+y=1的切線L交橢圓G于A，B兩點．（1）求橢圓G的焦點坐標和離心率；（2）求m的取值范圍；（3）將|AB|表示為m的函數(shù)，并求||的最大值．【解答】解由橢圓：∴橢圓的焦點坐標為

=1可得a=4，=1，∴，．

=

，（2）由題意可知：m|≥1當m≠±1時，設切線L的方程為：y=k（﹣第11頁（共19頁）

22222222222122222222222121111∵直線L與圓x+y=1相切，∴圓心（00到直線的距離，∴化為km=1k）

，直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立

，化為（14k

）x

﹣8k

mx+4k

m

2

﹣4=0，∵直線L與橢圓由兩個不同的交點∴△＞0即64k

4

m

2

﹣（+4k

m

2

﹣1）＞0，化為1+4k＞km，把（）代入上式可得

，化m

2

﹣10．解m＞1或m＜﹣1當m=±1時，直接驗證滿足題意．綜上可知：m的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞（3m=1時L的方程為x=1立得|=

．同理m=﹣1時，|AB|=

．當m≠±1時，由（2）可得x+x=

，．∴||====

≤2由基本不等式可知當且僅當m=

時取等號．綜上可知：||的最大值為．18分）過拋物y（P＞0的對稱軸上一（a0＞的直線與拋物線相交于MN兩點，自MN向直線l：x=﹣作垂線，垂足分別M，N．（1）當a=時，求證：AM⊥AN；第12頁（共19頁）

111123221321212222211221311121211213（2）記△AMM，△AMN，△的面積分別為111123221321212222211221311121211213得對任意的a＞0均有S=λS?S理由．

成立，若存在，求λ的值；若不存在，說明【解答解）當a=時，如圖所示，設M，，．則=（﹣p，）?（﹣p，）=p+yy）

，N

．則設直線MN的方程為+=x，聯(lián)立，化為y﹣2pmx﹣=0．∴．代入（*）可得∴AM⊥AN；

=p﹣p=0．（2）假設存在λ，使得對任意的a＞0，均有S=λS?S

成立．設M

N

．M（﹣ay﹣ay妨y＞0．設直線MN：my+a=x，聯(lián)立

，化為y﹣2pmy﹣∵△＞0成立，∴y+y=2pm，yy=2pa．S==同理S=∴

，，．第13頁（共19頁）

132222222222213222222222222213SS===pa（pm+2a==a（4pm+8pa）（pm+2a∴4pa（pm+2a=λpa（pm+2a得．故存在λ=4，使得對任意的＞0均有S=λSS成立．

=四、附題19．設橢E：

=1（b0）經(jīng)過點（2，（，為坐標原點．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ是否存在圓心在原點的圓使得該圓的任意一條切線與橢圓恒在兩個交點、B且在，說明理由．

？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍；若不存【解答】解）∵橢E：兩點，∵，解得：，

（a，0（2，1）第14頁（共19頁）

222222222222112222222222222222112222∴，橢圓E的方程為

…（2分）（Ⅱ假設存在圓心在原點的圓使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點A，，且，設該圓的切線方程y=kx+方程組

x++m=8）x++﹣8=0，則△=16km﹣4（+2k﹣）（﹣m+4）＞，即8k﹣+4＞，…分），要使，需使xx+yy=0即

，所以3m﹣8k﹣8=0，所以

，又8k∴

﹣m

2

+4＞0，，∴

，即

或，∵直線y=kx+為圓心在原點的圓的一條切線，∴圓的半徑為，，，所求的圓為，第15頁（共19頁）

此時圓的切線y=kx+m都滿足而當切線的斜率不存在時切線為或

或，…（7分），與橢圓滿足，

的兩個交點為綜上，存在圓心在原點的圓

，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，，且

8分）∵，∴

，=，…（10分）①

當

k

≠

0

時∵

，∴

，∴

，∴，當且僅當

時取”=”…（11分）第16頁（共19頁）

．．．．．．．．．．．．．．．．

…分）③當AB的斜率不存在時，兩個交點為所以此時，…（13分）

或，綜上，||的取值范圍為

，即：

…（14分）贈送—高中數(shù)知識點【】單性最大小值（）數(shù)的單調(diào)性①定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)

定義如果對于屬于定義域I內(nèi)

圖象

判定方法（）用定義某個區(qū)間上的任意兩個

（利已知函數(shù)函數(shù)的

自變量的值x、,當x<時都有f(x)<f(x)，那么就說f(x)在這區(qū)間上是增數(shù)

o

f(x)

f(x)

的單調(diào)性（利函數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖象上升為增）（利復合函數(shù)單調(diào)性

如果對于屬于定義域I內(nèi)

（）用定義某個區(qū)間上的任意兩個

y

y=f(X)

（利已知函數(shù)自變量的值x當x<時都有f(x)>f(x)，那么就說f(x)在這區(qū)間上是減數(shù)

o

f(x)x

f(x)

x

x

的單調(diào)性（利函數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖象下降為減）（利復合函數(shù)②公定域，個函的是函，個函的是減數(shù)增數(shù)去一減數(shù)增數(shù)減數(shù)去個函為函．③于合數(shù)yf[()]

，u)

，f()

為，ug(x)

為，yf[g()]

為若yf)

為，g(x)