華中科技大學(xué)2021年《量子力學(xué)》期末復(fù)習(xí)題及答案

[(r)[(r)1.束縛于某一維勢(shì)阱中的粒子，其波函數(shù)由下列諸式所描述：

L

cos

L

LL2

L（a求歸一化常數(shù)A,（bx=0及x=L/4之間找到粒子的概率為何？解）由波函數(shù)的歸一化條件

Ae

cos

L

Ae

cos

3L

dx

cosecosdxLL

L

dx

A2

6cosL

A2

L6sin6L

L

L

A2

L于是：

A

L(b)

A

Lsin6L

2、證明在定態(tài)中，概率流密度與時(shí)間無關(guān)。證：對(duì)于定態(tài)，可令r，)r)ft)r)eiJ(

*

*

i

(r)

(r)(r)e

i[(r)(rr))]可見

與t

無關(guān)。4、波長(zhǎng)為1.0*10-12的X射線投射到一個(gè)靜止電子上，問在與入射光成o角

AA的方向上，探測(cè)到散射光的波光為多少？解：由公式

2其中：hmc

可得：

602

1.215

m

。5、（知電子原子和鈾原子的動(dòng)能都等于試計(jì)算這些粒子的德布羅意波長(zhǎng)。（b電子和中子的德布羅意波長(zhǎng)都等于1,試求它們的速度和動(dòng)能。解：由公式：

h2mE可以計(jì)算各粒子的德布羅意波長(zhǎng)。（）、電子：h2mE29.1

m氫原子：

h2mE2

2.87

鈾原子：

mE238

（b子：1.0

h2mE

可得

1.0

222.4m9.1

/中子：

h6.632

于是：

??（1）；（2）；3）+；??（1）；（2）；3）+；（4）（??????i(xddE

1.67

JEV1.67

/1、出下列符哪個(gè)是厄算符，明其理由。

dd，i，dx

，

，12

()xx解：

不是，

是，

是，

不是，

是2、果F和

都是厄算符但互不對(duì)易試判斷下列符中哪些是米算符?????????

）i（FGGF；（6）（（78（i()

（10）

；解1（2）不是）是（）不是5）不6）7）是（）是（9）不）不是3、下列數(shù)哪些是算

ddx2

的本征數(shù)，其本征是什么①x

②e

③④⑤

sinxcosx解：x

=2

不是；

=e

，是，征值為

1.

2dx=-x，是，本征為-

3cosx=-3cosx，，本值為-

2

（

x

）

sinx

),是，本征為-1.4、證明[?,[?,ê]]+[?,[ê,?]]+[ê,[?,?]]=0證明：[?,[?,ê]]+[?,[ê,+[ê,[?,?]]=[?,?ê-ê?]+[?,ê?-?ê]+[ê,??-??]=[?,?ê]-[?,ê?]+ê?]-[?,?ê]+[ê,??]-[ê,??]=??ê-?ê?-?ê?+ê??+?ê?-ê??-??ê+?ê?+ê??-??ê-ê??+??ê=06、設(shè)氫子處在

r,

e

r的態(tài)（

為第一爾軌道半徑求①r

e2的平均；②勢(shì)能的平均。r

2aLLy??2aLLy???解：解：r

r

r,

1

r/

r2drd

4a

r

a

dr

43!3aa

0

x

n

e

n!ne(2)Ur

7、設(shè)已在

的共同象中算符的矩陣分y

e

r

e/rsin

drd

e

e

rsindrdd

e

rdr

e別為

L

111

L

i0iii

求它們本征值和歸化的本函數(shù)。最后矩陣L對(duì)角化。y解：的久期方程為L(zhǎng)

0，，∴L的本征值0，xL的本征方程x

1011其中

a1

設(shè)為L(zhǎng)

的本征函數(shù)2

共同表象中的矩陣

時(shí)，有

0a0a?a0a0a?a122

01010010

2

a，a∴

由歸一化條件1a**)

a0

取a1=1/

12012

對(duì)應(yīng)于L的本征值0。當(dāng)

時(shí)，有

010

(a)aa

∴

a

由歸一化條件a1(

*,2a*a*1

)2aa1

取a=1/2∴歸一化的

2

12對(duì)應(yīng)的本征。當(dāng)

時(shí)，有

111122??L1111122??L1?2

0a10220aa33

121212

a2()aa2a3aa3a

所以

a由歸一化條件

1

(

*1

*a*11

)2aa1

1

2取a=1/2∴歸一化的對(duì)應(yīng)的本征由以上結(jié)果可知，從

L2和L

Z

的共同表象變到

表象的變換矩陣為1S1

121212

121212∴對(duì)角化的矩陣為

L

SL2202

22

20

00

0020按照與上同樣的方法可得L

y

的本征值為

，

?2i2L和??2i2L和??y00L

的歸一化的本征函數(shù)為y

22

2i從??

Z

的共同表象變到L表象的變換矩陣為yS

i

iS

ii

利用S可L對(duì)角化yy

S

000

AAc***D.與AAc***D.與1.能量為100ev的自由電子的Broglie波長(zhǎng)是A.1.2

A

.B.1.5.C.2.1.D.2.50.3.Compton效應(yīng)證實(shí)了A.電子具有波動(dòng)性.B.光具有波動(dòng)性.C.光具有粒子性.D.電子具有粒子性.4.Davisson和Germer的實(shí)驗(yàn)證實(shí)了A電子具有波動(dòng)性.B.光具有波動(dòng)性C光具有粒子性.D.電子具有粒子性.(x)1

()2

分別表示粒子的兩個(gè)可能運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則它們線性迭加的態(tài)c()

()

的幾率分布為A.

c

c

.B.

c

c

+

c

.C.

+

.D

cc

+

c212112

*

.6.波函數(shù)應(yīng)滿足的標(biāo)準(zhǔn)條件是A.單值、正交、連續(xù).B.歸一、正交、完全性.C.連續(xù)、有限、完全性.D.單值、連續(xù)、有限.7.波函數(shù)

、

(

c為任意常數(shù)，A.與

描寫粒子的狀態(tài)不同.B.

與

所描寫的粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率的比是c.C.

與

所描寫的粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率的比是1:.c

描寫粒子的狀態(tài)相同.8.幾率流密度矢量的表達(dá)式為

A.

(

*

*

)B.

i

(

*

*

)

.C.

J

i

(

*

*

.D.

J(

.9.下列哪種論述不是定態(tài)的特點(diǎn)

A.幾率密度和幾率流密度矢量都不隨時(shí)間變化.B.幾流密度矢量不隨時(shí)間變化.C.任何力學(xué)量的平均值都不隨時(shí)間變化.D.定態(tài)波函數(shù)描述的體系一定具有確定的能量.10.線性諧振子的能級(jí)為A.

(/2)

,3,...)

.B.

(nn,

.C.

n/2)

,(n,...)

.D.

(n

.11.線性諧振子的能量本征方程是A.

[

2

12

E

.B.

[

1dx

E

.C.

[

2

.D.

[

d2

1x2

.12.波函是平方可積函數(shù)則力學(xué)量算F為厄密算符的定義是A.

d

.B.

F

*

.C.

)

*

.D.

**

d

.13.

FG厄密算符,則A.

必為厄密算符B.

FG為厄密算符.iFGGF)為厄密算符.D.

i()為厄密算符.14.已知算符

和

,則A.和

都是厄密算符.B.

必是厄密算符.C.

必是厄密算符.D.

必是厄密算符.15.氫原子能級(jí)的特點(diǎn)是

.C.iFGG.C.iFGGA.相鄰兩能級(jí)間距隨量子數(shù)的增大而增大.B.能的絕對(duì)值隨量子數(shù)的增大而增大.C.能級(jí)隨量子數(shù)的增大而減小.D.相鄰兩能級(jí)間距隨量子數(shù)的增大而減小.16.對(duì)易關(guān)[,]等于xi.B.C.D.17.對(duì)易關(guān)[]于A.B.C.i.D.18.對(duì)易關(guān)[L,L]等于xzA.

i

.B.y

.C.

L

.D..y19.對(duì)易關(guān)[L,]等于xA..B.ixx

LL).D..z20.算符

和

的對(duì)易關(guān)系為

[,G]

,

、

的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系A(chǔ).

()

(

k4

.B.

())

k4

.C.

()(

，D.

()()

.21.已[

x

]

,則和的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是A.

(

.B.

(

)

.C.

(

)(

)

.D.

)(

)

.22.力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣表示是以本征值為對(duì)角元素的對(duì)角方陣.B.一個(gè)上三角方陣.C.一個(gè)下三角方陣.D.一個(gè)主對(duì)角線上的元素等于零的方陣.

F(0)(0)[SF(0)(0)[SS]23.Q象中

01

,其本征值是A.B.0.C.24.幺正矩陣的定義式為

.D.

.A.

.B.S

*

.C.S

D.S

*

.25.非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論中n個(gè)能級(jí)的一級(jí)修正項(xiàng)為A.

H'

.B.

H

nn

.C.

nn

.D.

H'

.非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論的適用條件

B.

.