初中數(shù)學(xué)幾何直觀培養(yǎng)

關(guān)于初中數(shù)學(xué)幾何直觀培養(yǎng)第1頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三序《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中指出：“在數(shù)學(xué)課程中,應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想．”第2頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三序幾何直觀正成為數(shù)學(xué)教學(xué)研究中生動(dòng)的、不斷增長的而且迷人的課題.第3頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三序正如荷蘭數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾所說：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦．”第4頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三序在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，充分利用幾何直觀來揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義和作用，創(chuàng)造出屬于自己的學(xué)習(xí)方式，這是初中數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)的核心所在．那么，如何理解幾何直觀？特別是在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何滲透幾何直觀的意識(shí)和能力呢？第5頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第6頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第7頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三幾何直觀的含義及表現(xiàn)形式幾何直觀和其他概念的比較培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑第8頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三幾何直觀的含義及表現(xiàn)形式

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果.幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用.”第9頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三幾何直觀的含義及表現(xiàn)形式

“幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系，產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知.”-------徐利治第10頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三幾何直觀的含義及表現(xiàn)形式

也有學(xué)者這么描述：“幾何直觀是一種思維活動(dòng)，是人腦對客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識(shí)別或猜想的心理狀態(tài).”第11頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三幾何直觀的含義及表現(xiàn)形式

幾何直觀是一種運(yùn)用圖形認(rèn)識(shí)事物的能力，或者說是一種解決數(shù)學(xué)問題的思維方式.這種能力可外化為一種在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)的方法，這種方法區(qū)別于其他方法的典型特征在于它是以幾何圖形為工具的——即“幾何”兩字的意義.用這種方法解決問題，不是運(yùn)用幾何中常用的論證方法，而是通過經(jīng)驗(yàn)、觀察、想象等途徑，直觀地感知問題的結(jié)果或方向——即“直觀”兩字的意義.第12頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三幾何直觀的含義及表現(xiàn)形式

整式的乘除一元二次方程的基本概念直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的位置已知變量的值求函數(shù)值基本函數(shù)的概念與性質(zhì)特殊三角函數(shù)圓點(diǎn)的坐標(biāo)等等第13頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三幾何直觀的含義及表現(xiàn)形式

實(shí)物直觀符號(hào)直觀圖形直觀和替代物直觀第14頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三幾何直觀和其他概念的比較

幾何直觀與數(shù)形結(jié)合幾何直觀與直觀幾何幾何直觀與空間觀念第15頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三幾何直觀和其他概念的比較

幾何直觀與數(shù)形結(jié)合幾何直觀的內(nèi)涵最重要之處是“直接感知”數(shù)形結(jié)合是“以形助數(shù)”，第16頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三幾何直觀和其他概念的比較

幾何直觀與直觀幾何直觀幾何是幾何學(xué)的形態(tài)之一，也是一種幾何學(xué)習(xí)的方法幾何直觀則是一種解決數(shù)學(xué)問題的思維方式，是一種能力.第17頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三幾何直觀和其他概念的比較

幾何直觀與空間觀念空間觀念是幾何教學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)專用名詞，是幾何教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo).幾何直觀卻并非是限于幾何領(lǐng)域內(nèi)的一個(gè)名詞，它盡管是借助了幾何，但卻跳出了幾何，適用到了更寬廣的領(lǐng)域.第18頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說：“形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀”．幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，需要依托具體的數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容，需要具體落實(shí)在課程內(nèi)容、課堂教學(xué)細(xì)節(jié)之中．第19頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

重視圖景體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力觀察與思考并重，培養(yǎng)學(xué)生的直觀洞察能力用“圖”說話，培養(yǎng)學(xué)生用“圖形語言”來思考問題的能力第20頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

重視圖景體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力中學(xué)數(shù)學(xué)中的空間想象能力主要是指：學(xué)生對客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析、抽象思考和創(chuàng)新的能力．初中學(xué)生往往缺乏生活經(jīng)驗(yàn)，因而對幾何圖形缺少直觀，缺少體驗(yàn)．第21頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

重視圖景體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力進(jìn)行表象積累，增強(qiáng)感性認(rèn)識(shí)、比如：關(guān)于投影的教學(xué)．中心投影、平行投影這些概念和學(xué)生的生活實(shí)際

第22頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

構(gòu)建操作實(shí)驗(yàn)，獲得感官經(jīng)驗(yàn)要注重引導(dǎo)學(xué)生參與到課堂學(xué)習(xí)中，在活動(dòng)中探究，在探究中獲得認(rèn)知、感受和體會(huì)．老師還必須引導(dǎo)學(xué)生自己進(jìn)行獨(dú)立的操作實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，讓他們?nèi)ケ纫槐取⒄垡徽?、剪一剪、拼一拼、畫一畫．通過視覺、觸覺、聽覺等多種分析器官共同參與的操作活動(dòng)，驗(yàn)證一些原有的猜想或者產(chǎn)生一些新的發(fā)現(xiàn)．這種“直觀”比老師的說教有效得多．第23頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

適當(dāng)運(yùn)用多媒體演示，拓展空間想象能力多媒體演示形象具體，聲色兼?zhèn)?，?dòng)靜結(jié)合，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用，可能變抽象為具體，調(diào)動(dòng)學(xué)生各種感官協(xié)同作用，拓展學(xué)生的空間想象能力．第24頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

觀察與思考并重，培養(yǎng)學(xué)生的直觀洞察能力幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生的直觀洞察能力非常重要，這種能力實(shí)質(zhì)上是對幾何圖形及其結(jié)構(gòu)、關(guān)系的想象和判斷．類似于猜想，主要表現(xiàn)為靈感和頓悟．第25頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

要重視學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的訓(xùn)練扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)是產(chǎn)生直覺的源泉，沒有深厚的功底，是不會(huì)迸發(fā)出直覺的思維，也就無法提高學(xué)生的直觀洞察力．第26頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

要注重事實(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理猜想真正的科學(xué)探究應(yīng)是建立在思維的邏輯性和科學(xué)基礎(chǔ)上的有效探究．而有效探究的實(shí)施前提是必須建立在提出符合邏輯性和科學(xué)性的合理猜想的基礎(chǔ)之上．第27頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

要注意觀察與思考并重直觀洞察力的產(chǎn)生要依賴于對幾何圖形全面及本質(zhì)的把握．沒有觀察就沒有發(fā)現(xiàn)，更不會(huì)有創(chuàng)造．但觀察必須與思考相結(jié)合，沒有思考的觀察就不是真正意義的觀察．第28頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

用“圖”說話，培養(yǎng)學(xué)生用“圖形語言”來思考問題的能力希爾伯特在《直觀幾何》中曾談到：“圖形可以幫助刻畫和描述問題，一旦用圖形把一個(gè)問題描述清楚，就有可能使這個(gè)問題變得直觀、簡單．”用圖形“說話”，用圖形描述問題，用圖形討論問題，這是一種基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)．第29頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

打扎實(shí)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)尤其是圖形知識(shí)這一塊。扎實(shí)的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺的源泉，若沒有深厚的功底，是不會(huì)迸發(fā)出直覺思維的火花，也就提高不了學(xué)生的直觀洞察能力。第30頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

重視直觀圖形與數(shù)學(xué)符號(hào)的合情轉(zhuǎn)換。如在學(xué)生學(xué)習(xí)正比例函數(shù)圖像時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生用“描點(diǎn)法”畫出一幅表示正比例函數(shù)的圖像，第31頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

重視數(shù)與形的結(jié)合。比如不等式組的解法，借助數(shù)軸可以很直觀的得出結(jié)論。二次不等式問題，沒有坐標(biāo)系也很難掌握其解法。在認(rèn)真的審題的基礎(chǔ)上，通過出示直觀圖，巧妙借助幾何直觀，第32頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

重視解題教學(xué)。教學(xué)中選擇適當(dāng)?shù)念}目類型，有利于培養(yǎng)、考察學(xué)生的直觀洞察力。例如選擇題，由于只要求從四個(gè)選擇支中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直觀思維的發(fā)展，實(shí)施開放性問題教學(xué)，也是培養(yǎng)直觀洞察力的有效方法。第33頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

例如圖是某蓄水池的橫斷面示意圖，分為深水池和淺水池，如果這個(gè)蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h與時(shí)間t之間的關(guān)系的圖象是（）根據(jù)題意和圖形的形狀，可知水的最大深度h與時(shí)間t之間的關(guān)系分為兩段，先快后慢．

故選C．第34頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

利用圖形來記憶基礎(chǔ)知識(shí)幾何的很多定理、公理、定義等學(xué)生很難記清楚，通過指導(dǎo)學(xué)生利用圖形來記憶就比較容易解決問題，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生用圖形的意識(shí)。函數(shù)中的性質(zhì)對于學(xué)生來說，也相當(dāng)難以記住，而且也相當(dāng)容易混淆它們之間的關(guān)系。利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象比較形象直觀理解與記憶了它們的性質(zhì)。第35頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

重視圖感訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的讀圖、作圖能力幾何直觀在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開想象的能力，它與許多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容緊密相連．因此，我們在教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生“圖感”的訓(xùn)練．在日常的教學(xué)中，要幫助學(xué)生從小養(yǎng)成良好的畫圖習(xí)慣．如直線公理的理解，探索平面內(nèi)的n個(gè)點(diǎn)，可以畫多少條線段，通過點(diǎn)的位置不斷變化，發(fā)現(xiàn)重要的結(jié)論：平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，可以畫條線段，與點(diǎn)的位置無關(guān)，只與點(diǎn)的數(shù)量有關(guān)。第36頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

重視三種幾何語言的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生用圖形說話的能力幾何語言的基本形式有：圖形語言、文字語言、符號(hào)語言．這三種語言在幾何中是并存的，通常又是相互滲透和轉(zhuǎn)化的．第37頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

重視數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生用“圖形”思考問題數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思維原則之一．幾何直觀與數(shù)學(xué)的內(nèi)容緊密相連．一些重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念，第38頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

第39頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

第40頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

分析：這道題如果用代數(shù)方法解決相當(dāng)思想困難，但我們可以用幾何的方法把這道題直觀表示出來．點(diǎn)評：這樣我們就將數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形結(jié)合了起來．在應(yīng)用轉(zhuǎn)化策略解決問題的同時(shí)，巧妙借用幾何直觀，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，可以培養(yǎng)學(xué)生初步的幾何直觀能力．第41頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的誤區(qū)為了直觀而直觀要注意誤差的干擾要注意直觀背后的的數(shù)學(xué)理性第42頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

美國魔術(shù)師保羅·卡瑞曾經(jīng)提出這樣的一個(gè)問題：如圖5是正文形可以按圖中標(biāo)出名字的數(shù)據(jù)分割成五塊幾何圖形，剪開后重新拼接成圖6，奇怪，怎么又多出了一個(gè)洞！這次斜線處并無重合，少掉的一個(gè)單位面積哪里去了呢？第43頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

圖5中的斜線并不是嚴(yán)格在交叉點(diǎn)上，在分隔點(diǎn)上依次是2、12/7、10/7、8/7、6/7、4/7、2/7所以圖6的正方形的長度應(yīng)該是2+(6-6/7)=2+36/7=7+1/7，而不是7所以圖6的面積就是7×(7+1/7)=50，多出來的面積就是這樣出來的。第44頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑提升教師意識(shí)，注入動(dòng)力例如：一位教師評講北師大版七年級(jí)上冊第一章豐富的圖形世界習(xí)題1.6中的一道題.問題是：一個(gè)小正方體的六面分別標(biāo)有字母A、B、C、D、E、F.如圖1是從不同方向看到的情形，你能說出A、B、E對面分別是什么字母嗎？你是怎樣判斷的？第45頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑該教師是這樣處理的，先找出與A相鄰的四個(gè)字母B、D、E、F，剩下的C就是與A相對的面的字母，再找另外兩個(gè)答案，結(jié)束后又讓學(xué)生練習(xí)了一道相關(guān)的習(xí)題.但是學(xué)生理解得不好，原因是他們的空間想像能力還比較差，不易接受.其實(shí)，教師可以隨手把講桌上的粉筆盒當(dāng)作正方體，讓學(xué)生按照圖中的標(biāo)注在各個(gè)面上寫上相應(yīng)的字母，問題便迎刃而解.這充分說明學(xué)情的了解對培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的重要性.第46頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑在教學(xué)活動(dòng)中，一些教師懶得畫圖、不想演示、不愿操作等等，教師認(rèn)識(shí)不到該能力培養(yǎng)的重要性，缺乏運(yùn)用幾何直觀分析問題的意識(shí)，便捕捉不到教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的機(jī)會(huì)，更談不上對學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng).因此，提升教師這些方面的意識(shí)是培養(yǎng)初中生幾何直觀能力最有效的途徑.第47頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑合理編寫教材，搭建平臺(tái)

如圖2，幾個(gè)四邊形是同一個(gè)四邊形縮?。ū３中螤畈蛔儯┒玫降模罱K圖形可以看成是由同一點(diǎn)出發(fā)的四條射線，顯然，此時(shí)四個(gè)外角的和為周角360°.此習(xí)題設(shè)計(jì)恰到好處，四邊形的外角和從圖形縮小變換中直接得出結(jié)論，很是巧妙，還可以讓學(xué)生用此法思考多邊形的外角和.這就給學(xué)生提供了一種運(yùn)用幾何直觀解決問題的方法.第48頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑第49頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑參與實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，內(nèi)化能力在講解：計(jì)算這道題時(shí)，教師往往會(huì)呈現(xiàn)如右的一個(gè)正方形圖形（圖3），引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，分析得出就等于的結(jié)果，運(yùn)用幾何直觀巧妙轉(zhuǎn)化了，計(jì)算難度大大降低了.

第50頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑改革評價(jià)制度，減少阻力現(xiàn)行用人制度中的唯文憑論，導(dǎo)致教育的應(yīng)試性，造成學(xué)校、家長、社會(huì)評價(jià)教師能力、教學(xué)水平的唯一標(biāo)準(zhǔn)就是學(xué)生的分?jǐn)?shù)，這束縛了教師的手腳.即使教師認(rèn)識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的重要性，也不會(huì)花更多的精力、時(shí)間來培養(yǎng)它，因?yàn)榭荚嚂r(shí)很難考察學(xué)生這方面的能力.

第51頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三初中生幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑認(rèn)識(shí)直觀局限，避入誤區(qū)八年級(jí)下冊第六章習(xí)題6.1第1題：（1）圖5中兩條線段與的長度相等嗎？（2）圖6中的四邊形是正方形嗎？第52頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三

直觀是前提

抽象是本質(zhì)

適度是關(guān)鍵第53頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三蘇霍