2023版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第六章圖形的變化課件

第六章圖形的變化

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大概念統(tǒng)領(lǐng)下的科學(xué)備考方案初中所學(xué)的圖形的變化有哪幾種？說出其中有關(guān)全等變化的定義和性質(zhì).你能否綜合運(yùn)用平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)的知識設(shè)計一個圖案？初中階段你學(xué)習(xí)過哪些立體圖形？你是從哪些方面認(rèn)識立體圖形和平面圖形的關(guān)系的？問題導(dǎo)語復(fù)習(xí)思路學(xué)習(xí)目標(biāo)明確圖形變化的概念、聯(lián)系和區(qū)別，掌握圖形變化的性質(zhì)，會利用圖形變化的性質(zhì)進(jìn)行計算和推理，并進(jìn)行圖案設(shè)計.感受圖形變化之后的坐標(biāo)變化，理解平移和軸對稱的坐標(biāo)變化.從幾何體的視圖、展開圖、截面的分析中，認(rèn)識平面圖形和立體圖形的聯(lián)系，發(fā)展空間觀念和幾何直觀思維.學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)生活，發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)美.第18節(jié)圖形的平移1中考課標(biāo)導(dǎo)航2必備知識梳理3中考考點(diǎn)精講4課堂鞏固提升基本圖形考點(diǎn)考情通過具體實(shí)例認(rèn)識平移，探索它的基本性質(zhì)認(rèn)識并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用運(yùn)用圖形的平移進(jìn)行圖案設(shè)計1.

圖形平移的性質(zhì)--------2.圖形的平移與坐標(biāo)變化3.

圖形的平移與證明----中考課標(biāo)導(dǎo)航有的放矢本節(jié)復(fù)習(xí)目標(biāo)1.理解平移的概念，能運(yùn)用平移的概念和性質(zhì)畫圖、計算和推理2.能運(yùn)用平移變化探索圖形的性質(zhì)必備知識梳理深根固柢一、圖形平移的概念及性質(zhì)1.

概念：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動稱為平移.平移不改變圖形的

和

.2.

要素：（1）平移的圖形；（2）平移方向；（3）平移距離.3.性質(zhì)：（1）對應(yīng)點(diǎn)所連的線段

（或在一條直線上）且

；（2）對應(yīng)線段

（或在一條直線上）且

；（3）對應(yīng)角

.形狀大小平行相等平行相等相等二、圖形的平移與坐標(biāo)變化如右圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），△ABC向右平移m個單位，向上平移n個單位得到△A1B1C1，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為

.△ABC向左平移m個單位，向下平移n個單位得到△A2B2C2，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A2的坐標(biāo)為

.形狀大小平行相等平行相等相等（a+m，b+

n）（a-m，b-n）三、圖形的平移與尺規(guī)作圖形狀大小平行相等平行相等相等作圖步驟圖例1.根據(jù)題意找出關(guān)鍵點(diǎn)，確定平移方向和平移距離2.按照平移方向和平移距離，平移各個關(guān)鍵點(diǎn)3.按照原圖，依次連接各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)如圖，將△ABC沿AA'方向平移得到△A′B′C′，A點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為A'中考考點(diǎn)精講深入淺出

考點(diǎn)一

圖形平移的性質(zhì)

1.如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，AB

=3，AC=4.將△ABC沿射線BC方向平移得到△DEF，點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，DE與AC交于點(diǎn)G，連接AD.（1）四邊形ABED的形狀是

，∠EGC的度數(shù)為

.

90°平行四邊形（2）當(dāng)四邊形ABED是菱形時，平移距離為

，此時四邊形ACFD和四邊形ABFD的周長分別為

和

，AC掃過的面積為

.31418拓展：如圖2，在平移的過程中，連接AE，DC.①當(dāng)四邊形AECD中有內(nèi)角是直角時，平移距離為

.點(diǎn)撥：拓展①分兩種情況，如圖析1，∠AEC=90°；如圖析2，∠ECD=90°.②當(dāng)四邊形AECD是菱形時，平移距離為

.拓展②如圖析3.

考點(diǎn)二圖形的平移與坐標(biāo)變化2.（1）△A1B1C1與△ABC關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A1，B1，C1，請畫△A1B1C1.（2）△ABC先向

（填“左”或“右”）平移

個單位長度，再向（填“上”或“下”）平移個單位長度得到△A2B2C2，點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A2，B2，C2，AB邊上一點(diǎn)P（p，q）平移后對應(yīng)點(diǎn)為P2（p+4，q-6）.請根據(jù)題意，畫出△A2B2C2.2.（1）△A1B1C1與△ABC關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A1，B1，C1，請畫△A1B1C1.（2）△ABC先向

（填“左”或“右”）平移

個單位長度，再向

（填“上”或“下”）平移

個單位長度得到△A2B2C2，點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A2，B2，C2，AB邊上一點(diǎn)P（p，q）平移后對應(yīng)點(diǎn)為P2（p+4，q-6）.請根據(jù)題意，畫出△A2B2C2.64右下解：（1）如答圖所示，△A1B1C1即為所求．（2）如答圖所示，△A2B2C2即為所求．（3）在（2）的基礎(chǔ)上連接CC2，則CC2的長為

．（4）若（2）中△A2B2C2是△ABC經(jīng)過一次平移得到的，則平移過程中AB掃過的面積為

．18考點(diǎn)三圖形的平移與證明3.綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以直角三角形紙片為背景進(jìn)行探究性活動.如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)F.初步分析：（1）智慧小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)△CEF是等腰三角形，請你證明這一結(jié)論.（1）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠DAF.∵∠ACB=90°，∠CAE+∠AEC=90°.∵CD⊥AB，∠CDA=90°.∠DAF+∠AFD=90°.∠AFD=∠AEC.∵∠AFD=∠CFE，∴∠AEC=∠CFE，CE=CF.∴△CEF是等腰三角形.（2）博學(xué)小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)給△ABC添加一個條件，可使△CEF成為等邊三角形.添加的條件可以是

.（寫出一種即可）（2）解：答案不唯一.如∠B=30°或∠BAC=60°等.操作探究：（3）創(chuàng)新小組的同學(xué)從圖形平移的角度進(jìn)行了如下的拓展探究.①將△ADF沿射線AB的方向平移，使點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)F'恰好落在線段BC上.請?jiān)趫D2中畫出平移后的△A'D'F'，并猜想此時線段A'B與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.①將△ADF沿射線AB的方向平移，使點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)F'恰好落在線段BC上.請?jiān)趫D2中畫出平移后的△A'D'F'，并猜想此時線段A'B與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（3）解：①如答圖1，△A'D'F'即為求.A'B=AC.理由如下：∵△A'D'F'是由△ADF平移得到的，∴A'F'=AF，∠F'A'B=∠FAD.∵AE平分∠BAC，∴∠FAD=∠FAC.∠F'

A'B=∠FAC.①將△ADF沿射線AB的方向平移，使點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)F'恰好落在線段BC上.請?jiān)趫D2中畫出平移后的△A'D'F'，并猜想此時線段A'B與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.∵∠ACB=90°,∠B+∠CAD=90°.∵∠CDA=90°,∠ACD+∠CAD=90°，∴∠B=∠ACD.∴△BA'F'≌

△CAF.∴A'B=AC.②將△CEF沿射線CB的方向平移，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'恰好與點(diǎn)B重合.請?jiān)趫D3中畫出平移后的△C'E'F'，并連接EF'，交BD于點(diǎn)G，猜想此時線段EG與F'G的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.②將△CEF沿射線CB的方向平移，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'恰好與點(diǎn)B重合.請?jiān)趫D3中畫出平移后的△C'E'F'，并連接EF'，交BD于點(diǎn)G，猜想此時線段EG與F'G的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.②如答圖2，△C'E'F'即為所求.EG=F'G.理由如下：如答圖2，過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H.∵∠ACB=90°,∴EC⊥AC.∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，∴CE=EH.由（1）得CE=CF，∴EH=CF.②將△CEF沿射線CB的方向平移，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'恰好與點(diǎn)B重合.請?jiān)趫D3中畫出平移后的△C'E'F'，并連接EF'，交BD于點(diǎn)G，猜想此時線段EG與F'G的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.由平移可知BF'=CF，CF∥BF'，∴BF'=EH.∵AB⊥EH，CD⊥AB，∴∠CDB=∠EHB=90°.∵CD∥BF'，∴∠CDB=∠F′BG=90°.∴∠EHB=∠F′BG.∵∠EGH=∠F'GB，∴△EGH≌△F'GB.∴EG=F'G.課堂鞏固提升舉一返三1.（2022湖州改編）如圖，將△ABC沿BC方向平移1cm得到對應(yīng)的△A′B′C′.若B′C′=2cm，則BC′的長是（

）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cmB2.（2022撫順改編）在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)A（3，2），B（5，1），將線段AB平移得到線段CD，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-1，-2），則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是

，平移的距離為

.四邊形ABDC的形狀為

，它的周長為

.平行四邊形（1，-3）3.如圖，一張矩形紙片ABCD，AB=5，BC=12，沿對角線BD剪開，得到兩個全等的直角三角形記為△ABD與△BCD.固定△BCD，將△ABD沿BD方向平移，平移后的三角形記為△A′B′D′，且點(diǎn)B′在對角線BD上.（1）當(dāng)△ABD平移到點(diǎn)B′為BD中點(diǎn)時，四邊形A′B′CD的周長是

.23（2）請?jiān)趫D2中畫出當(dāng)△ABD平移到使四邊形A′B′CD為菱形時的圖形，并求出平移的距離.（2）請?jiān)趫D2中畫出當(dāng)△ABD平移到使四邊形A′B′CD為菱形時的圖形，并求出平移的距離.（2）請?jiān)趫D2中畫出當(dāng)△ABD平移到使四邊形A′B′CD為菱形時的圖形，并求出平移的距離.（2）請?jiān)趫D2中畫出當(dāng)△ABD平移到使四邊形A′B′CD為菱形時的圖形，并求出平移的距離.（3）在（2）的條件下，不添加字母，利用已有頂點(diǎn)再構(gòu)造一個菱形，在圖3中畫出這個菱形.（3）如答圖2，菱形A′BCD′即為所作.第19節(jié)圖形的軸對稱1中考課標(biāo)導(dǎo)航2必備知識梳理3中考考點(diǎn)精講4課堂鞏固提升基本圖形考點(diǎn)考情通過具體實(shí)例了解軸對稱的概念，探索它的基本性質(zhì)能畫出簡單平面圖形關(guān)于給定對稱軸的對稱圖形了解軸對稱圖形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質(zhì)1.軸對稱圖形的概念5年2考----2.軸對稱與坐標(biāo)變化中考課標(biāo)導(dǎo)航有的放矢基本圖形考點(diǎn)考情認(rèn)識并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的軸對稱圖形運(yùn)用圖形的軸對稱進(jìn)行圖案設(shè)計3.軸對稱與圖案設(shè)計----4.軸對稱的性質(zhì)及應(yīng)用5年2考本節(jié)復(fù)習(xí)目標(biāo)1.能說出軸對稱的概念，會判斷一個圖形是不是軸對稱圖形2.

理解軸對稱的性質(zhì)，能根據(jù)軸對稱的性質(zhì)進(jìn)行推理與計算3.

會畫一個簡單圖形關(guān)于某直線的對稱圖形，會畫給定軸對稱圖形的對稱軸4.

能根據(jù)簡單幾何圖形的軸對稱性質(zhì)解決簡單的問題續(xù)表必備知識梳理深根固柢一、軸對稱圖形與成軸對稱的圖形的概念及性質(zhì)軸對稱圖形（成）軸對稱圖形概念△ABC中，AB=AC，△ABC關(guān)于直線l對稱△ABC和△DEF關(guān)于直線l對稱如果

平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠

，那么這個圖形叫做軸對稱圖形如果

平面圖形沿一條直線對折后能夠

，那么稱這兩個圖形成軸對稱性質(zhì)（1）

相等，對應(yīng)角

；（2）對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸

.完全重合一個兩個完全重合對應(yīng)線段垂直平分相等知識鏈接1.常見的軸對稱圖形2.圖形折疊：折疊是圖形的軸對稱中常見的一種操作方式，折疊前后的兩部分關(guān)于折痕所在的直線對稱.例如，將△ABC沿CD折疊得到如右圖所示的圖形.可以得到兩條重要的結(jié)論：（1）DC平分∠BDB'，CD平分∠BCB'.（2）CD垂直平分BB'.二、軸對稱與坐標(biāo)變化1.關(guān)于x軸對稱的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)

，縱坐標(biāo)

.如右圖，△ABC與△A1B1C1關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)A（m，n）的對應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為

.2.關(guān)于y軸對稱的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)

，橫坐標(biāo)

.如右圖，△ABC與△A2B2C2關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)A（m，n）的對應(yīng)點(diǎn)A2的坐標(biāo)為

.相同互為相反數(shù)（m，-n）（-m，n）互為相反數(shù)相同三、軸對稱作圖類型已知成軸對稱的兩個圖形，作對稱軸已知對稱軸，作成軸對稱的圖形圖例如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線l對稱，用尺規(guī)作圖作出直線l如圖，用尺規(guī)作圖，作出△ABC關(guān)于直線l對稱的△A'B'C'，點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A'，B'，C'作圖關(guān)鍵點(diǎn)作對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線依據(jù)軸對稱的性質(zhì)確定對應(yīng)點(diǎn)—作垂線，截取等長線段中考考點(diǎn)精講深入淺出1.（2020山西第2題）自新冠肺炎疫情發(fā)生以來，全國人民共同抗疫，各地積極普及科學(xué)防控知識.下面是科學(xué)防控知識的圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形的是（

）D考點(diǎn)一

軸對稱圖形的概念

2021/第3題2020/第2題2.下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（

）C

考點(diǎn)二

軸對稱與坐標(biāo)變化3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為A（1，3），B（2，2），C（4，2），D（2，4）.（1）先畫出四邊形ABCD關(guān)于y軸對稱的四邊形A1B1C1D1，再畫出四邊形ABCD關(guān)于x軸對稱的四邊形A2B2C2D2.（2）四邊形ABCD的面積為.3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為A（1，3），B（2，2），C（4，2），D（2，4）.（1）先畫出四邊形ABCD關(guān)于y軸對稱的四邊形A1B1C1D1，再畫出四邊形ABCD關(guān)于x軸對稱的四邊形A2B2C2D2.（2）四邊形ABCD的面積為.解：（1）如答圖所示，四邊形A1B1C1D1即為所求，四邊形A2B2C2D2即為所求.（2）3.考點(diǎn)三軸對稱與圖案設(shè)計4.（2014山西第19題·6分）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．

幾何中，平行四邊形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四邊形，大家對于它們的性質(zhì)都非常熟悉，生活中還有一種特殊的四邊形——箏形.所謂箏形，它的形狀與我們生活中風(fēng)箏的骨架相似．定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形，稱之為箏形，如圖，四邊形ABCD是箏形，其中AB

=

AD，CB=

CD.判定：①兩組鄰邊分別相等的四邊形是箏形；②有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形．

顯然，菱形是特殊的箏形，就一般箏形而言，它與菱形有許多相同點(diǎn)和不同點(diǎn)．如果只研究一般的箏形（不包括菱形），請根據(jù)以上材料完成下列任務(wù)：（1）請說出箏形和菱形的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)各兩條.解：（1）答案不唯一，參考答案如下，相同點(diǎn)，①兩組鄰邊分別相等；②有一組對角相等；③一條對角線垂直平分另一條對角線；④有一條對角線平分一組對角；⑤菱形和箏形都是軸對稱圖形.（1）請說出箏形和菱形的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)各兩條.不同點(diǎn)，①菱形的對角線互相平分，箏形的對角線不互相平分；②菱形的四邊都相等，箏形只有兩組鄰邊分別相等；③菱形的兩組對邊分別平行，一般箏形的對邊不平行；④菱形的兩組對角分別相等，箏形只有一組對角相等；⑤菱形有兩條對稱軸，箏形只有一條對稱軸.（2）請仿照圖1的畫法，在圖2所示的8×8正方形網(wǎng)格中重新設(shè)計一個由四個全等的箏形（非菱形）和四個全等的菱形組成的新圖案，具體要求如下：①頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.②所設(shè)計的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.③將新圖案中的四個箏形都涂上陰影（建議用一系列平行斜線表示陰影）．（2）解：答案不唯一，參考答案如下，考點(diǎn)四軸對稱的性質(zhì)及應(yīng)用

5.（原創(chuàng)）已知△ABC與△FED關(guān)于直線l

對稱，請?jiān)趫D中畫出△FED（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡），并回答下列問題：（1）連接BE與直線l相交于點(diǎn)O，還能得到的結(jié)論有：

等.（2）若AB

=

AC，∠ACB=70°，∠CAO=

20°，則∠ABE=

°.解：如答圖，△FED即為所求.（1）答案不唯一.例如，直線l垂直平分BE，△ABE為等腰三角形.（2）30（3）判斷直線BC，ED的交點(diǎn)是否在直線l上，并證明.（3）直線BC，ED的交點(diǎn)在直線l上.證明：如答圖所示，延長BC，ED交于點(diǎn)M，易知直線l垂直平分BE．∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB.又∵∠ABC=∠AED，∴∠MBE=∠MEB.∴MB=

ME.∴點(diǎn)M在線段BE的垂直平分線上.∴點(diǎn)M在直線l上.6.（原創(chuàng)）已知△ABC如圖1，在矩形ABCD中，已知BC=2AB=

8，點(diǎn)P是邊BC上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AP，把△ABP沿著AP折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接CE.設(shè)BP=

m.（1）當(dāng)m

=

4時，在圖2中畫出折疊后的圖形，試判斷△PCE的形狀，并說明理由.解：（1）如答圖1所示，即為所求.△CEP是等腰直角三角形.理由如下，∵m=4，BC=2AB=8，BP=m，∴AB=BP=PC=4.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°.∴∠APB=∠BAP=45°.

∵△ABP沿著AP折疊，∴∠APE=∠APB=45°，PE=BP=4.∴∠BPE=∠APB+∠APE=90°，PE=

PC.∴∠EPC=90°.∴△PCE是等腰直角三角形.（2）當(dāng)AE平分∠DAP時，請?jiān)趥溆脠D中作出折痕AP（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），并直接寫出m的值.先大致畫出圖形再進(jìn)行分析：易知AE平分∠DAP，AP平分∠BAE，易得∠BAE

=

60°.由于AE

=

AB，可得△ABE為等邊三角形.問題轉(zhuǎn)化為求作以AB為邊的等邊三角形.

研究有關(guān)軸對稱問題的基本思路：1.關(guān)注“全等”——明確對應(yīng)線段、對應(yīng)角之間的相等關(guān)系；2.關(guān)注“對稱軸”——基于“垂直平分線”與“角平分線”挖掘隱含信息；3.關(guān)注“原圖形”——將所得結(jié)論與原圖形的性質(zhì)相結(jié)合展開充分聯(lián)想.能夠完全重合.隨堂筆記課堂鞏固提升舉一返三1.（原創(chuàng)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，3），則點(diǎn)A關(guān)于直線y=5的對稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為

，關(guān)于直線x=-1的對稱點(diǎn)A″的坐標(biāo)為

.（2，7）（-4，3）2.

親愛的同學(xué)，你能利用一張矩形紙片折出大小不一的菱形嗎？請你動手試一試！然后按要求完成下面問題：已知某矩形長為8，寬為6，請你用虛線在如圖中分別畫出兩種不同折法的菱形的示意圖，并直接寫出菱形的面積.（畫圖特別說明：①示意圖中體現(xiàn)所有折痕；②菱形的頂點(diǎn)必須都在矩形的邊上；③所畫菱形是能且僅能用已知數(shù)據(jù)求出面積的圖形）素養(yǎng)提升—動手實(shí)踐首先畫出能想到的圖形，然后聯(lián)想怎樣折疊可以得到該圖形.已知某矩形長為8，寬為6，請你用虛線在如圖中分別畫出兩種不同折法的菱形的示意圖，并直接寫出菱形的面積.

解：作不同折法的菱形的示意圖如圖（作出兩種即可）：圖1的菱形面積為24；圖2的菱形面積為36；圖3的菱形面積為37.5．3.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B=60°，BC=6，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，△ABE沿著AE向右折疊，點(diǎn)B落在B'處，展開鋪平，連接CB'并延長交AD于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形.解：（1）證明：如答圖，連接BB'交AE于點(diǎn)O，由折疊可知：AE垂直平分BB'，∴O是BB'的中點(diǎn)．∵點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，∴OE是△BCB'的中位線.∴OE∥B'C.∴AE∥CF.在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴AF∥CE.∴四邊形AECF是平行四邊形.（2）當(dāng)AB'⊥CD時，AE的長為

．如圖析，過點(diǎn)E作EG⊥AB于G.△AGE是等腰直角三角形，△BGE是含有30°的直角三角形，利用三角函數(shù)求解即可.第20節(jié)圖形的旋轉(zhuǎn)1中考課標(biāo)導(dǎo)航2必備知識梳理3中考考點(diǎn)精講4課堂鞏固提升課標(biāo)考點(diǎn)考情通過具體實(shí)例認(rèn)識平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn).探索它的基本性質(zhì)了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它的基本性質(zhì)認(rèn)識并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的中心對稱圖形.運(yùn)用圖形的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行圖案設(shè)計探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質(zhì)1.軸對稱與中心對稱圖形的識別5年2考2.旋轉(zhuǎn)作圖___3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及應(yīng)用5年3考中考課標(biāo)導(dǎo)航有的放矢本節(jié)復(fù)習(xí)目標(biāo)

1.理解中心對稱圖形和成中心對稱的概念，能在具體情境中識別中心對稱圖形2.能用旋轉(zhuǎn)的概念或基本性質(zhì)進(jìn)行簡單的圖形判斷、識別、作圖、推理、計算等3.能在復(fù)雜任務(wù)情境中識別圖形的旋轉(zhuǎn)變換，并能進(jìn)行簡單的計算和證明續(xù)表定點(diǎn)

某個方向一、圖形旋轉(zhuǎn)的概念及性質(zhì)1.概念：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個

按

轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運(yùn)動稱為旋轉(zhuǎn)，這個定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小.2.要素:（1）旋轉(zhuǎn)的圖形；（2）旋轉(zhuǎn)中心；（3）旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.3.性質(zhì):（1）對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（3）任意一組對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角.必備知識梳理深根固柢類型作圖步驟圖例已知原圖與旋轉(zhuǎn)中心作旋轉(zhuǎn)后的圖形1.根據(jù)題意找出關(guān)鍵點(diǎn)，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角2.連接關(guān)鍵點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心，按照旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角將關(guān)鍵點(diǎn)旋轉(zhuǎn)3.按照原圖，依次連接各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)如圖，已知點(diǎn)A'的位置，將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△A'B'C'，點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A'，B'，C'二、圖形的旋轉(zhuǎn)與尺規(guī)作圖類型作圖步驟圖例已知旋轉(zhuǎn)前后圖形確定旋轉(zhuǎn)中心任意兩組對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心依據(jù)：到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上如圖，已知△ABC繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△A′B′C′，AA'的中垂線與CC'的中垂線交點(diǎn)O即為旋轉(zhuǎn)中心續(xù)表三、中心對稱項(xiàng)目中心對稱圖形成中心對稱圖形概念把一個圖形繞某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)_______，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形_______，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)叫做它的對稱中心把一個圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)_______

，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點(diǎn)對稱或中心對稱，這個點(diǎn)叫做它們的對稱中心180°

180°

重合

項(xiàng)目中心對稱圖形成中心對稱區(qū)別（1）一個圖形（2）某個圖形具有的特殊性質(zhì)（1）兩個圖形（2）兩個圖形具有的一種特定位置關(guān)系性質(zhì)（1）在中心對稱圖形或兩個成中心對稱的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)所連

線段都經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分（2）成中心對稱的兩個圖形是全等圖形續(xù)表考點(diǎn)一

軸對稱與中心對稱圖形的識別2022/第2題

2021/第2題1.（2022山西第2題）2022年4月16日，“神舟十三號”載人飛船圓滿完成全部既定任務(wù)，順利返回地球家園.六個月的飛天之旅展現(xiàn)了中國航天科技的新高度.觀察下列航天圖標(biāo)，其圖案是中心對稱圖形的是（

）

B中考考點(diǎn)精講深入淺出2.

下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）

C3.（2017山西第13題）如圖，已知△ABC

三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，4），B（-1，1），C（-2，2）.將△ABC

向右平移4個單位，得到△A′B′C′，點(diǎn)

A，B，C

的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′，C′，再將△A′B′C′繞點(diǎn)B′順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A″B″C″，點(diǎn)A′，B′，C′的對應(yīng)點(diǎn)分別為A″，B″，C″，則點(diǎn)A″的坐標(biāo)為_______.（6，0）考點(diǎn)二

旋轉(zhuǎn)作圖4.如圖，已知△ABC的邊BC在直線MN上，若將△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在直線MN上的C′處，得到△AB′C′.（1）請用尺規(guī)作出△AB′C′，并標(biāo)明字母.（保留作圖痕跡，不寫

作法）解：（1）尺規(guī)作圖如答圖所示.（方法不唯一，正確即可）（2）若∠ACB=118°，則∠BC'B'

=

°.解：（2）56考點(diǎn)三

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及應(yīng)用

2022/第2題

2021/第2題2018/第8題

5.（2018山西第8題）如圖，在Rt△ABC

中，∠ACB

=

90°，∠A

=

60°，AC

=

6，將△ABC繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，此時點(diǎn)

A′恰好在AB邊上，則點(diǎn)B′與點(diǎn)B之間的距離為（

）

D6.（原創(chuàng)）

已知，正方形

ABCD

中，點(diǎn)O是線段BC上的一個動點(diǎn)，將正方形ABCD

繞點(diǎn)O

順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形

A'B'C'D'（點(diǎn)

A，B，C，D

的對應(yīng)點(diǎn)分別是

A'，B'，C'，D'）.設(shè)旋轉(zhuǎn)角為0°<

α

<180°.問題情境一：點(diǎn)

O

是BC

中點(diǎn).（1）如圖1，在正方形

ABCD

繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過程中，連接BB'，B'C，CC'，C'B.判斷四邊形BB'CC的形狀，并說明理由.解：（1）四邊形BB'CC'的形狀是矩形.理由如下：∵正方形ABCD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形A'B'C'D'，∴BC

=

B'C'.∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴OB=

OB'

=

OC

=

OC'.∴四邊形BB'CC'是平行四邊形.又∵BC

=B'C'，∴四邊形BB'CC'是矩形.（2）如圖2，連接BD，當(dāng)點(diǎn)B'落在正方形ABCD的對角線BD上時，旋轉(zhuǎn)角α=

°；此時，四邊形

BB'CC'的形狀是

.（3）如圖3，在正方形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過程中，連接AA'，BB'，DD'，則線段AA'，BB'的數(shù)量關(guān)系是

.線段AA'，DD'的數(shù)量關(guān)系是

.解：（2）90正方形（3）AA'=

BB'

AA'

=

DD'連接OA，OA'，證明△OBB'∽△OAA'，連接OD，OD'，證明△OAA'

∽△ODD'問題情境二：BO=

2CO，解：（4）（5）如圖5，當(dāng)線段A'D'經(jīng)過點(diǎn)D時，猜想線段OC'與DD'滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圖形旋轉(zhuǎn)的過程中，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.可以先嘗試連接OD，OD′，再作OH⊥DD′，即可轉(zhuǎn)化為求DD'與D'H的關(guān)系（5）如圖5，當(dāng)線段A'D'經(jīng)過點(diǎn)D時，猜想線段OC'與DD'滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.解：（5）如答圖1，連接OD，OD'，作OH⊥DD'于點(diǎn)H，則∠OHD

=90°.∵正方形ABCD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形A'B'C'D'，∴OD

=

OD'，∠A'D'C'

=∠D'C'B'

=90°.∴∠A'D'C'

=∠D'C'B'=∠OHD

=90°.

∴四邊形OHD'C'是矩形.∴OC'

=

HD'.∵OD=OD'，OH⊥DD'于點(diǎn)H，∴DD'=2HD，即DD'

=2OC′.

隨堂筆記課堂鞏固提升舉一反三1.（2022適應(yīng)性）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，-4），將矩形ABCO繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A，C，O的對應(yīng)點(diǎn)分別為A'，C'，O'.當(dāng)點(diǎn)O'落在x軸的正半軸上時，點(diǎn)O'的坐標(biāo)為

.

（4，0）2.（2022百校公益）綜合與實(shí)踐問題情境：有兩塊全等的矩形紙片ABCD和EFGH，其中AB

>

BC，AB

=

EF，AD=

EH，現(xiàn)將它們按如圖1所示的方式放置，頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)F重合，點(diǎn)D，G分別落在EF，AB上，CD與HG相交于點(diǎn)P，連接AP，HC.特例感知：（1）①判斷圖1中四邊形DAGP的形狀，并說明理由.解：（1）①四邊形DAGP是正方形.理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠CDA

=∠DAG

=90°.∵四邊形EFGH是矩形，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)G在AB上，∴∠AGP

=90°，EH

=

AG.∴四邊形DAGP是矩形.∵AD=

EH，∴AD

=

AG.∴四邊形DAGP是正方形.特例感知：（1）②直接寫出AP與HC的位置關(guān)系.解：（1）②AP⊥HC.深入探究：（2）如圖2，將矩形EFGH繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°<

α

<

90°），則（1）②中AP與HC的位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.解：（2）成立.證明：如答圖，延長AP交HC于點(diǎn)Q.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=

BC，AB

=

CD，∠ADC

=90°.

∵四邊形EFGH是矩形，∴∠AGH

=90°，EH

=AG，EF

=

HG.∵AD

=

EH，AB

=

EF，∴AD

=

AG，CD

=

HG.在Rt△DAP和Rt△GAP中，AP

=

AP，AD

=AG，

∴Rt△DAP≌Rt△GAP（HL）.∴DP

=

GP，∠DPA

=∠GPA.∴DC-

DP

=GH-GP，即PC

=

PH.又∵∠HPQ

=∠GPA，∠CPQ=∠DPA，∴∠HPQ

=∠CPQ.∴PQ⊥HC，即AP⊥HC.解決問題：（3）如圖3，若矩形ABCD的面積為30，當(dāng)點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)時，AP

=6，請直接寫出此時CH的長.解：（3）CH

=5.第21節(jié)投影與視圖1中考課標(biāo)導(dǎo)航2必備知識梳理3中考考點(diǎn)精講4課堂鞏固提升課標(biāo)考點(diǎn)考情通過豐富的實(shí)例，了解中心投影和平行投影的概念會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，并會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體了解直棱柱、圓錐的側(cè)面展開圖，能根據(jù)展開圖想象和制作實(shí)物模型通過實(shí)例，了解上述視圖與展開圖在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用1.幾何體的展開與折疊5年1考2.幾何體的視圖5年1考3.投影____中考課標(biāo)導(dǎo)航有的放矢本節(jié)復(fù)習(xí)目標(biāo)1.能識別中心投影與平行投影，能根據(jù)兩種投影的概念解決簡單的問題2.會畫常見幾何體的三視圖，能根據(jù)視圖識別出相應(yīng)的幾何體3.能進(jìn)行幾何體與其表面展開圖之間的轉(zhuǎn)化，會根據(jù)正方體表面展開圖識別相對的面續(xù)表一、投影與視圖必備知識梳理深根固柢概念圖示結(jié)論平行投影1.由

光線形成的投影叫做平行投影（太陽光可以看成平行光線）

△ABE∽△CDF中心投影由

發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影

△HCD∽△HEF；

△GAB∽△GEF1.

投影：一般地，用光線照射物體，在某個平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影，照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面.平行同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）2.視圖:畫法位置大小線段俯視圖在主視圖的正下方左視圖在主視圖的正右方主視圖與俯視圖

.主視圖與左視圖

.

左視圖和俯視圖

.

看得見的部分輪廓線畫成

.看不見的部分輪廓線畫成

.

寬相等長對正高平齊實(shí)線虛線二、立體圖形的展開與折疊1.一般幾何體的表面展開圖:2.正方體的表面展開圖：注：相同數(shù)字所在的面代表相對面.考點(diǎn)一

幾何體的展開與折疊2019/第3題1.（2019山西第3題）某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種展開圖，那么在原正方體中，與“點(diǎn)”字所在面相對的面上的漢字是（

）A.青B.春C.夢D.

想

B中考考點(diǎn)精講深入淺出2.（2022太原二模）在慶祝中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年期間，學(xué)校以共青團(tuán)團(tuán)歌為背景音樂，LED屏幕上滾動播放由一個立方體與其平面展開圖相互轉(zhuǎn)化形成的視頻.這個立方體的六個面上分別有“青”“春”“正”“值”“韶”“華”，同學(xué)們能看到的一個展開圖是（

）

DA3.如圖，已知BC是圓柱底面的直徑，AB是圓柱的高，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A，C嵌有路徑最短的一圈金屬絲，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AB剪開，所得的圓柱側(cè)面展開圖是（

）考點(diǎn)二

幾何體的視圖2020/第4題4.（2020山西第4題）下列幾何體都是由4個大小相同的小正方體組成的，其中主視圖與左視圖相同的幾何體是（

）

B5.（2016山西第4題）如圖是由幾個大小相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置小正方體的個數(shù)，則該幾何體的左視圖是（

）A

6.魯班鎖起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，相傳由春秋時期魯國工匠魯班所做，如圖是經(jīng)典的六柱魯班鎖及六個構(gòu)件的圖片，則六個構(gòu)件中（3）的俯視圖是（

）D

7.（2022鶴崗）如圖是由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的左視圖和俯視圖，則所需的小正方體的個數(shù)最多是（

）

A.7

B.8

C.9

D.10B

8.如圖是汾河公園中的兩個物體，一天中四個不同時刻在太陽光的照射下落在地面上的影子，按照時間的先后順序排列正確的是（

）

A.（3）（4）（1）（2）

B.（4）（3）（1）（2）

C.（4）（3）（2）（1）

D.（2）（4）（3）（1）

考點(diǎn)三

投影C9.

小杰與小明身高相同，一天晚上，兩人站在路燈下交流學(xué)習(xí)內(nèi)容，小明恰好站在小杰頭頂影子的位置.請?jiān)趫D中分別畫出此時小杰、小明的影子.（用線段表示）解：如答圖所示，AB是小杰的影子，BC是小明的影子.課堂鞏固提升舉一反三9.

如圖，添線補(bǔ)全下列幾何體的三種視圖．解：如答圖所示，即為所求.課堂鞏固提升舉一反三9.

如圖，添線補(bǔ)全下列幾何體的三種視圖．解：如答圖所示，即為所求.提分小專題十一軸對稱與最值

1本節(jié)復(fù)習(xí)目標(biāo)2名師一點(diǎn)通3典例精講本節(jié)提分小專題復(fù)習(xí)目標(biāo)

理解利用軸對稱求線段最值的原理，掌握利用軸對稱求線段最值常見類型題的輔助線添加方法，并能準(zhǔn)確計算出線段的長度.名師一點(diǎn)通

提煉基本圖形方法總結(jié)和最?。ㄍ瑐?cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)，異側(cè)取最小）

定點(diǎn)A，B分別在直線l異側(cè)，在直線l上找一個點(diǎn)P，使PA+PB最小

定點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，在直線l上找一個點(diǎn)P，使PA+PB最小續(xù)表方法總結(jié)和最?。ㄍ瑐?cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)，異側(cè)取最?。?/p>

在∠MON的內(nèi)部有一定點(diǎn)P，在OM上找一點(diǎn)A，在ON上找一點(diǎn)B，使△PAB的周長最短在∠MON的內(nèi)部有定點(diǎn)P和Q，在OM上找一點(diǎn)A，在ON上找一點(diǎn)B，使四邊形ABQP的周長最短續(xù)表方法總結(jié)和最?。ㄍ瑐?cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)，異側(cè)取最?。?/p>

定點(diǎn)A在直線l1的上方，定點(diǎn)B在直線l2的下方，直線l1∥l2，在直線l1上找一個點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥l2于點(diǎn)D，使AC+CD+BD最短續(xù)表方法總結(jié)方法總結(jié)一定點(diǎn)兩直線（同側(cè)轉(zhuǎn)化到異側(cè)）定點(diǎn)A與直線l上各點(diǎn)的連線中，垂線段AB的長度最短在∠MON的內(nèi)部有一個定點(diǎn)A，在OM上找一點(diǎn)P，在ON上找一點(diǎn)B，使PA+PB最短2.利用垂線段最短可解決的最值問題，常見類型歸納如下：典例精講

掌握通性通法

B2.(原創(chuàng))在等邊三角形ABC中，AB=4.（1）如圖，E，D分別為AB，BC的中點(diǎn)，連接AD，F(xiàn)為線段AD上的一個動點(diǎn)，連接EF，BF，則EF+BF的最小值為

，|BF-EF|的最大值為

.（2）若將（1）中的條件“E為AB的中點(diǎn)”變?yōu)椤癊為AB上的動點(diǎn)”，則BF+EF的最小值為

.23.(原創(chuàng))如圖，在∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，∠AOB=45°，OP=2，點(diǎn)M，N分別是射線OA，OB上的動點(diǎn)，則△PMN周長最小為

．4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)A（1，3），B（2，1），在x軸和y軸上分別找Q，P兩點(diǎn)，使得四邊形ABQP的周長最小，最短周小為

．5.（2022自貢）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動.若EF=1，則GE+CF的最小值為

．6.（2022原創(chuàng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是菱形，AB在x軸上，點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，C（8，4），E（0，-1）.直線AC上有一個動點(diǎn)P，連接PE，PB，當(dāng)|PE-PB|最大時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.當(dāng)PE+PB最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.點(diǎn)撥：如圖析1，連接BE，BE的延長線與直線AC交于點(diǎn)P，此時|PE-PB|的值最大，最大值為EB的長.求點(diǎn)P的坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為求直線BE與直線PC的交點(diǎn)坐標(biāo).如圖析2，易得點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于直線OC對稱，連接DE交直線OC于點(diǎn)P，此時PE+PB最小，且PE+PB=DE.求點(diǎn)P的坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為求直線DE與直線OC的交點(diǎn)坐標(biāo).7.（原創(chuàng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2

+2x

+

3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，拋物線的對稱軸直線l與拋物線交于點(diǎn)D．（1）直線AC的函數(shù)表達(dá)式為

，B，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

.

y

=

3x

+3

（3，0），（1，4）（2）若點(diǎn)E是直線l上一點(diǎn)，當(dāng)|AE-CE|最大時，點(diǎn)E的坐標(biāo)為

.

（1，6）

點(diǎn)撥：（2）如圖析1，直線AC與直線l的交點(diǎn)E即為要找的點(diǎn)，且點(diǎn)E與點(diǎn)D橫坐標(biāo)相同，將x=1代入y=3x+3得y=6，求得E（1，6）.（3）若點(diǎn)E是直線l上一點(diǎn)（點(diǎn)A，C，E不在同一條直線上），當(dāng)△ACE的周長最小時，點(diǎn)E的坐標(biāo)為

．（3）如圖析2，已知點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對稱，連接BC交直線l于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為要找的點(diǎn)，求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3，將x=1代入得y=2，求得E（1，2）.（1，2）本節(jié)提分小專題復(fù)習(xí)目標(biāo)1.體驗(yàn)圖形折疊的過程，能夠?qū)懗鲚S對稱的性質(zhì)：對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分.2.經(jīng)歷圖形折疊問題的研究過程，提煉基本圖形，總結(jié)基本結(jié)論，掌握研究該類問題的通性通法，并能解決該類問題.類型一圖形的折疊與計算

1名師一點(diǎn)通2典例精講3提分訓(xùn)練名師一點(diǎn)通

提煉基本圖形△CA'EAB+BC

7：24：2522.5°續(xù)表正方形續(xù)表等邊三角形直角三角形△BEH續(xù)表圖形基本圖形提煉矩形在矩形ABCD中，AD>AB△BED是

.

四邊形BEDF是

.△HEG是

.四邊形EHFG是

.等腰三角形菱形菱形等腰三角形續(xù)表圖形基本圖形提煉矩形在矩形ABCD中，AD>AB在矩形ABCD中，AD>AB△ADE∽

.

△FGE∽

.△ABD'∽

.△ABG∽

.∽

.△OCE△DCD′△DCO△D′CE△OD′G典例精講

掌握通性通法

（一）三角形中的折疊1.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=35°，AD是斜邊BC上的中線，將△ACD沿AD對折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，線段DF與AB相交于點(diǎn)E，則∠FAE等于

．20°2.如圖，直角三角形紙片ABC的兩條直角邊BC，AC的長分別為6，8，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則tan∠CBE的值是

.3.如圖，在△ABC紙片中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，BF=4，CF=6，將這張紙片沿直線DE翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，連接AF.若DE∥BC，AF=EF，則四邊形ADFE的面積為

．4.如圖，折疊三角形紙片ABC，使點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)F處，折痕為DE.已知AB=AC，F(xiàn)D⊥BC.若AF=3，BF=6，則AE的長為

．55.如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，連接DE，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)F落在BC的延長線上，若FD平分∠EFB，則AD的長為

.6.(原創(chuàng))

如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，E為BC邊上的動點(diǎn)，將△AEC沿AE折疊得到△AEC'，AC'交線段BC于點(diǎn)O.（1）當(dāng)∠AEB=60°時，CE的長為

.（2）當(dāng)C'E∥AB時，BE的長為

.3（2）點(diǎn)撥：方法一，由題易得∠C'EC

=90°，計算求得∠AEC=135°，從而得到∠AEB=45°.則△ABE是等腰直角三角形，可得BE=

AB=3.一題多解（2）當(dāng)C'E∥AB時，BE的長為

.方法二，如圖析1，連接CC'，過點(diǎn)C'作C'M⊥

AB交AB的延長線于點(diǎn)M.易得AC'=

AC，∠M

=

∠ABC=90°，易證∠AC'M=

∠CAB.通過證明△AMC'≌△CBA，求出AB=

C'M=

BE=3.即25=（7-

x）2

+

x2，解得x1=3，x2=4（舍）.3（2）當(dāng)C'E∥AB時，BE的長為

.方法三，如圖析1，設(shè)C'M

=

BE=x，則BM=4-x，AM=7-

x.由勾股定理得AC'2

=

AM2

+

MC′2，即25=（7-x）2

+

x2，解得x1

=3，x2=4（舍）3（3）當(dāng)△OEC'為直角三角形時，BE的長為

.（3）當(dāng)△OEC'為直角三角形時，BE的長為

.（二）四邊形中的折疊7.（2015山西第16題）如圖，將正方形紙片沿MN折疊，使點(diǎn)D落在邊AB上，對應(yīng)點(diǎn)為D'，點(diǎn)C落在C′處.若AB=6，AD'=2，則折痕MN的長為

.一題多解方法（一）構(gòu)造“十”字模型第一步（構(gòu)造直角三角形）過點(diǎn)N作NF⊥DA于點(diǎn)F

第二步（構(gòu)造“十”字模型）連接DD'方法（二）相似模型第一步（構(gòu)造直角三角形）過點(diǎn)N作NF⊥DA于點(diǎn)F

第二步（通過相似模型解題）8.（原創(chuàng)）已知四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=10.（1）如圖1，若點(diǎn)F是DC邊上的中點(diǎn)，將△ADF沿AF折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D'，AD'的延長線交BC于點(diǎn)E，則BE的長為

.（2）如圖2，若點(diǎn)F是DC上的動點(diǎn)，將△ADF沿AF折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D'，AD'，F(xiàn)D'分別與連接BC相交于點(diǎn)G，O，當(dāng)OC=OD'時，BG的長為

.（2）如圖析2，易證Rt△COF≌Rt△D'OG，得OG=OF，CF=D'G，根據(jù)GO+OC=FO+OD′，即CG=D'F，那么CG=DF.設(shè)BG=x，則CG=10-x，DF=10-x，D'G=CF=x-4，AG=14-x，在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理列方程即可求解.9.(原創(chuàng))如圖，將菱形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在邊AB的中點(diǎn)E處，折痕為FG，連接DE交FG于點(diǎn)O.若∠B=60°，AB=4，（1）則GD的長為

，ED的長為

.（2）則△EFG的面積為

.圖形沿運(yùn)動的直線折疊的分析思路遵循以下要點(diǎn)：1.變中找定：找出所有折疊產(chǎn)生的等線段和等角，結(jié)合原圖形性質(zhì)寫出盡可能多的結(jié)論.2.關(guān)注特殊：畫出折到特定位置的圖形，分析該位置盡可能多的新結(jié)論，結(jié)合所求問題求解.提分筆記提分訓(xùn)練

方法觸類旁通1.如圖，有一張長方形紙片ABCD，AB=8cm，BC=10cm，點(diǎn)E為C上一點(diǎn)，將紙片沿AE折疊，BC的對應(yīng)邊B'C'恰好經(jīng)過點(diǎn)D，則線段DE的長為

cm．52.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12，點(diǎn)F是AD上一點(diǎn)，將△CDF沿CF折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，連接DG并延長交CF于點(diǎn)O，交AB于點(diǎn)E.若AE=5，則GE的長為

．3.（2022黃巖區(qū)模擬）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A

=45°，點(diǎn)E是邊BC上的動點(diǎn)，將△DCE沿DE翻折，若點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'恰好落在AB的延長線上，則CE=

.4.（2022河南模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C

=

90°，BC=

6，AC=

8，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊AC上的一動點(diǎn)，連接EP，將△AEP沿EP折疊得到△A'EP.當(dāng)A'E與△ABC的一條直角邊垂直時，則線段AP的長為

．提分小專題十二

圖形折疊的計算與證明類型二圖形折疊的證明

針對中考22題精講1典例精講2提分訓(xùn)練1.（2019山西第22題·11分）綜合與實(shí)踐動手操作：第一步，如圖1，正方形紙片ABCD沿對角線AC所在的直線折疊，展開鋪平.再沿過點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B，點(diǎn)D都落在對角線AC上.此時，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，記為點(diǎn)N，且點(diǎn)E，點(diǎn)N，點(diǎn)F在同一條直線上，折痕分別為CE，CF.如圖2.第二步：再沿AC所在的直線折疊，△ACE與△ACF重合，得到圖3.第三步：在圖3的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，如圖4，展開鋪平，連接EF，F(xiàn)G，GM，ME，如圖5.圖中的虛線為折痕.典例精講

掌握通性通法

2019/第22題問題解決:（1）在圖5中，∠BEC的度數(shù)是

，

的值是

.解：67.5°

（2）在圖5中，請判斷四邊形EMGF的形狀，并說明理由.分析

要證明四邊形EMGF是矩形，要聯(lián)想矩形的三種判定方法，根據(jù)正方形ABCD在圖1—圖3中是沿著角分線折疊，并且圖中所有角都可計算出其大小.下面呈現(xiàn)兩種較為簡潔的思路.思路一：三個角是90°的四邊形是矩形.如圖析1.（2）在圖5中，請判斷四邊形EMGF的形狀，并說明理由.分析思路二：有一個角是90°的平行四邊形是矩形.如圖析2，連接PQ.（2）在圖5中，請判斷四邊形EMGF的形狀，并說明理由.解：（2）四邊形EMGF是矩形.理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B

=∠BCD=∠D

=90°.由折疊可知：∠1=∠2=∠3=∠4，CM=CG，∠BEC

=∠NEC=∠NFC

=∠DFC，∴∠1=∠2=∠3=∠4==22.5°.∴∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°.由折疊可知：MH，GH分別垂直平分EC，F(xiàn)C，∴MC=ME，GC=

GF.∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°.∴∠MEF=∠GFE=90°.

∵∠MCG=90°，CM=CG，∴∠CMG=45°.又∵∠BME=∠1+∠5=45°，∴∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°.∴四邊形EMGF是矩形.（3）在不增加字母的條件下，請你以圖5中的字母表示的點(diǎn)為頂點(diǎn)，動手畫出一個菱形（正方形除外），并寫出這個菱形:

.（3）答案不唯一，畫出正確圖形（一個即可）.如答圖2，菱形FGCH（如答圖3，菱形EMCH）.證明四邊形EMCH（HCGF）是菱形有多種方法，請?jiān)囋嚳?

提分筆記課題學(xué)習(xí)：正方形折紙中的數(shù)學(xué).動手操作:如圖1，四邊形ABCD是一張正方形紙片，先將正方形ABCD對折，使BC與AD重合，折痕為EF，把這個正方形展平，然后沿直線CG折疊，使B點(diǎn)落在EF上，對應(yīng)點(diǎn)為B'.提分訓(xùn)練

方法觸類旁通數(shù)學(xué)思考:（1）求∠CB'F的度數(shù).（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，連接AB'，試判斷∠B'AE與∠GCB'的大小關(guān)系，并說明理由.由折痕EF你能得到什么結(jié)論？由折痕CG你能得到什么結(jié)論？聯(lián)想之前所學(xué)的知識（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，連接AB'，試判斷∠B'AE與∠GCB'的大小關(guān)系，并說明理由.解：（2）∠B'AE=∠GCB'.理由如下：如答圖1，連接DB'，BB'，其中BB'交CG于點(diǎn)K，由對折可知，EF垂直平分AB.∴B'A=B'B.∴∠B'AE=∠B'BE.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°.∴∠B'BE+∠KBC=90°.由折疊知，∠BKC=90°，∴∠KBC+∠GCB=90°.∴∠B'BE=∠GCB.又由折疊知，∠GCB=∠GCB'，∴∠B'AE=∠GCB'.解決問題：（3）如圖3，按以下步驟進(jìn)行操作：第一步：先將正方形ABCD對折，使BC與AD重合，折痕為EF，把這個正方形展平，然后繼續(xù)對折，使AB與DC重合，折痕為MN，再把這個正方形展平，設(shè)EF和MN相交于點(diǎn)O.第二步：沿直線CG折疊，使B點(diǎn)落在EF上，對應(yīng)點(diǎn)為B'，再沿直線AH折疊，使D點(diǎn)落在EF上，對應(yīng)點(diǎn)為D'.第三步：設(shè)CG，AH分別與MN相交于點(diǎn)P，Q，連接B'P，PD'，D'Q，QB'，試判斷四邊形B'PD'Q的形狀，并證明你的結(jié)論.變式探究：（4）如圖4，若將題干中的正方形ABCD變?yōu)椤熬匦蜛BCD

，BC

＞AB”，其他