人教A版必修5解三角形第二節(jié)-對(duì)余弦定理教學(xué)片段的課程教學(xué)設(shè)計(jì)

人教A版修5解三角形第二節(jié)-對(duì)余弦定理教學(xué)段的課程教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)余弦定理學(xué)片段的教設(shè)計(jì)常態(tài)課是教師的日常工作，要提高課堂效率，關(guān)鍵在于提高常態(tài)課的實(shí)效。常態(tài)課是沒(méi)有任何包裝的課這種課雖然比不上那些示范課公開課會(huì)有明顯的缺點(diǎn)，甚至是一節(jié)不成功的課，但它原汁原味，樸實(shí)無(wú)華，給人一種真實(shí)感。正因?yàn)樗鎸?shí)，才使我們學(xué)會(huì)反思，發(fā)現(xiàn)缺憾或不足，并進(jìn)行改進(jìn)。前段時(shí)間筆者聽了同校陳老師的一堂常態(tài)課上課內(nèi)容是余弦定（普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版必修5解三角形第二節(jié)）一課，發(fā)現(xiàn)常態(tài)課上師生活躍，學(xué)生與老師配合自然默契，輕松愉快，是一堂好課。聽后筆者覺(jué)得也存在一些缺陷，對(duì)其中的一個(gè)教學(xué)片段：余弦定理引入及證明談?wù)勛约旱囊稽c(diǎn)看法。一、教片段實(shí)錄：提出問(wèn)題：師請(qǐng)同學(xué)們翻到課本P.10看習(xí)題1.1A組第2題的（小題.題目是：ABC中a15cm,10cm60.學(xué)生通過(guò)思考后能用正弦定理求解師：正弦定理我們是怎樣推導(dǎo)的？三角證法的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？生角證法的關(guān)鍵是作高線斜三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題師：這是一種化歸的思想能否應(yīng)用正弦定理很重要的一點(diǎn)是看能否從題設(shè)中知道一組比

c或或sinABsin

接著老師在原題的基礎(chǔ)交與的位置，演變成新的問(wèn)題拋給了學(xué)生，即變式1：ABC中c,bcm,Aa.此問(wèn)題學(xué)生很難用正弦定理求解對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的挑戰(zhàn)性此問(wèn)題的設(shè)計(jì)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了很大的思維空間學(xué)生思考后覺(jué)得比較難解教師提示能用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決，前面三角證法的關(guān)鍵點(diǎn)是作高線，這里是否也可以?生通過(guò)作高線，CD,垂足為D，ADC和R求出AD、CD與BD，用勾股定理求出BC（）的值，再次讓學(xué)生感受三角證法的關(guān)鍵點(diǎn)是作高線然后給出了變式2C中，已c,,A,求.學(xué)生基本能順利解決此題ABCCDAB,垂足為D中，AD=bcosA，CD=bsinA故BD=cos，由BC

B2到a

2

cbcosAbsi.簡(jiǎn)得a

cosA同理可以證明：b2,caab師生共同分析此表達(dá)式的特征：三/

ACCB)CB人教A版修5解三角形第二節(jié)-ACCB)CB角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的積的兩倍.就是余弦定理.點(diǎn)評(píng)：這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)優(yōu)點(diǎn)是：基于學(xué)生已經(jīng)掌握的解直角三角形和正弦定理從中孕育新知把余弦定理的推導(dǎo)統(tǒng)一到三角證法中來(lái)設(shè)計(jì)樸素自然能突出以學(xué)生為本的教學(xué)理念.缺點(diǎn)是：忽視教材，沒(méi)有突出向量的證法.教材確指出解這個(gè)三角形，就是從量化的角度來(lái)研究問(wèn)題此應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生嘗試對(duì)三角形向量等式進(jìn)行數(shù)量化來(lái)探究余弦定理.文[指出：余弦定理源于向量和基于向量，它是“好看又好用”的又一數(shù)學(xué)典范.弦定理向量證法的價(jià)值量的數(shù)量積是一個(gè)重要的工具余弦定理向量證法基于一種新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)------空間向量.問(wèn)題的引入：引用荷蘭弗賴登塔爾數(shù)學(xué)研究所的一個(gè)問(wèn)題“甲離學(xué)校千米，乙離3米，問(wèn)乙離學(xué)校多少千米？”這問(wèn)題太簡(jiǎn)單了，簡(jiǎn)直是小學(xué)生的問(wèn)題.過(guò)，該問(wèn)題并沒(méi)有說(shuō)明甲、乙、學(xué)校三點(diǎn)是否在一條直線.三點(diǎn)在同一直線上，答案是千米或7千；若不在同一直線上，甲、乙、學(xué)校三點(diǎn)可以構(gòu)成直角三角形，問(wèn)題可以用勾股定理解決；若甲、乙、學(xué)校三點(diǎn)不能構(gòu)成直角三角形，就變成已知三角形的“兩邊夾一角”如何確定第三邊的問(wèn)題，明確地指向余弦定理.問(wèn)題的提出從樸素的問(wèn)題出發(fā)，可以讓學(xué)生感覺(jué)到親切、自然、合理、顯得更有人情味.然后，基于向量運(yùn)算之上的余弦定理的證明C中（如圖ACCBAB,ABABAC)

C

，

abcosC.同理b

accosa

bcA.這一證法突出了向量在余弦定理證明中的作用但是在學(xué)習(xí)向量時(shí)由于對(duì)向量的工具性認(rèn)識(shí)不足對(duì)三角形最重要的一個(gè)恒等式AB用不到位，/

2222人教A版修5解三角形第二節(jié)-對(duì)余弦定理教學(xué)段的課程教學(xué)設(shè)計(jì)2222導(dǎo)致在采用向量證明余弦定理時(shí)，不能一下子想到這個(gè)方法二、對(duì)學(xué)片段的改：對(duì)教學(xué)片段實(shí)錄和文[1]中存在的問(wèn)題，筆者作了如下的改進(jìn)引入采用文[1]中的引入得到，已知三角形的“兩邊夾一角”如何確定第三邊的問(wèn)題師：ABC中，已,90.生：由勾股定理，

.師：能否由向量方法證明勾股定理？生：BA，兩邊平CBAC)2BAACAC因?yàn)锳，所AC，AC師：當(dāng)90時(shí)，又如何a？生：BA，兩邊平CBAC)又因?yàn)锽AA)cos

BAACAC所以22bccos，222cosA三、科地解讀教材合理地掘、利用教教材是課程的重要資源，是教師教學(xué)的重要依據(jù)和學(xué)生學(xué)習(xí)的重要文本.科學(xué)地解讀教材合理地挖掘利用教材是每個(gè)教師必備的基本功教師只有靜下心來(lái)仔細(xì)研究教材充分發(fā)揮教材在教學(xué)中的引領(lǐng)作用才能提高教學(xué)的有效性教材是學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)到教育數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的產(chǎn)物，教師使用教材的過(guò)程又是一個(gè)吸收和改造的過(guò)一節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的是否適合學(xué)生，首先取決于教師對(duì)整節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確把握.教師只有在認(rèn)真研讀新課標(biāo)全面理解全章節(jié)知識(shí)的基礎(chǔ)上才能正確地把握整節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容才能正確組織教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)才能明白本節(jié)課重點(diǎn)、難點(diǎn)，學(xué)生的疑點(diǎn)是什哪些內(nèi)容不宜放在這一課，哪些知識(shí)在本節(jié)課學(xué)習(xí)比較合理哪些知識(shí)適合后續(xù)學(xué)習(xí)有沒(méi)有必要在課堂上引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探究，習(xí)題該怎樣變式，變式的核心是什么，問(wèn)題的解決還有哪些方法，教學(xué)過(guò)程中要滲透什么數(shù)學(xué)思想方法培養(yǎng)學(xué)生什么能力等等些都值得教師深思這要求教師從整體性聯(lián)系性的視角審視教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況去進(jìn)行教學(xué)，使教學(xué)設(shè)計(jì)不偏離數(shù)學(xué)本質(zhì).其實(shí)，余弦定理的證明方法很多，如：①三角證法（通過(guò)解直角三角形）②利用向量的數(shù)量積證明③利用坐標(biāo)法證明，證法如下：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，C(0,0),B(bcosCbC)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式得，(cosC)

2

bsin

2

，即c

cos

CC

C，整理得：

a

cosC.文/

人教A版修5解三角形第二節(jié)-對(duì)余弦定理教學(xué)段的課程教學(xué)設(shè)計(jì)[3]介紹了通過(guò)正弦定理證明余弦定理和通過(guò)射影定理證明余弦定.⑤文[4]介紹了用極坐標(biāo)證明余弦定理和復(fù)數(shù)證明余弦定理等.為了培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，課后可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理給出新的證明方.教師把握并使用教材是極富主動(dòng)性、創(chuàng)造性的工作.在具的教學(xué)過(guò)程中，我們要從學(xué)校、學(xué)生和自身的實(shí)際情況出發(fā)，主動(dòng)地、合理地對(duì)教材進(jìn)行解讀，引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)教材，要努力形成適合于自己、有益于學(xué)生的教學(xué)設(shè)計(jì)和方.只要我們下真功夫研讀教材，科學(xué)、合理、有效地用好教材，學(xué)生求知的星星之火定能成燎原之勢(shì)四、對(duì)態(tài)課的一點(diǎn)思常態(tài)課堂即一種自然真實(shí)狀態(tài)下的課堂教學(xué)活動(dòng)是師生在不受其他外界因素干擾下的雙邊教學(xué)過(guò)程。它是自然、真實(shí)的課堂自然的帶有幾分樸實(shí)真實(shí)的沒(méi)有粉飾；它是和諧、歡樂(lè)的課因?yàn)閹熒蜕g的交流互動(dòng)以及內(nèi)心真切的體驗(yàn)而幸?？鞓?lè)；它是豐實(shí)、有效的課堂,我們必須在其間關(guān)注學(xué)生知識(shí)、能力、方法等方面的發(fā)展。葉瀾教授曾指,一節(jié)好課應(yīng)該是平時(shí)的課,是常態(tài)下的課,堂應(yīng)實(shí)實(shí)在在,管誰(shuí)在聽課,師都要做到旁若無(wú)人心中只有學(xué)生節(jié)好課,該是真實(shí)的課,不加粉飾待完善得反思的課它不可能盡善盡美。如何上好常態(tài)課,進(jìn)一步