新高考數(shù)學一輪復習講義8.4《直線、平面平行的判定與性質(zhì)》(含詳解)

§8.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)最新考綱考情考向分析1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)是高考中的重點考查內(nèi)容，涉及線線平行、線面平行、面面平行的判定及其應用等內(nèi)容．題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強的推理論證能力，廣泛應用轉(zhuǎn)化與化歸的思想.1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a?α,l?α))?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l?β,α∩β＝b))?l∥b2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α,b?α))?α∥β性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b概念方法微思考1．一條直線與一個平面平行，那么它與平面內(nèi)的所有直線都平行嗎？提示不都平行．該平面內(nèi)的直線有兩類，一類與該直線平行，一類與該直線異面．2．一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別對應平行，那么這兩個平面平行嗎？提示平行．可以轉(zhuǎn)化為“一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行”，這就是面面平行的判定定理．題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面．(×)(2)平行于同一條直線的兩個平面平行．(×)(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(×)(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(√)(5)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(×)(6)若α∥β，直線a∥α，則a∥β.(×)題組二教材改編2．[P58練習T3]平面α∥平面β的一個充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α答案D解析若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，3．[P62A組T3]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________．答案平行解析連接BD，設(shè)BD∩AC＝O，連接EO，在△BDD1中，E為DD1的中點，O為BD的中點，所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.題組三易錯自糾4．(2019·荊州模擬)對于空間中的兩條直線m，n和一個平面α，下列命題中的真命題是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，n?α，則m∥nC．若m∥α，n⊥α，則m∥nD．若m⊥α，n⊥α，則m∥n答案D解析對A，直線m，n可能平行、異面或相交，故A錯誤；對B，直線m與n可能平行，也可能異面，故B錯誤；對C，m與n垂直而非平行，故C錯誤；對D，垂直于同一平面的兩直線平行，故D正確．5．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點的所有直線中()A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線答案A解析當直線a在平面β內(nèi)且過B點時，不存在與a平行的直線，故選A.6．設(shè)α，β，γ為三個不同的平面，a，b為直線，給出下列條件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的條件是______．(填上所有正確的序號)答案②④解析在條件①或條件③中，α∥β或α與β相交；由α∥γ，β∥γ?α∥β，條件②滿足；在④中，a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，從而α∥β，④滿足．題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)命題點1直線與平面平行的判定例1如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點．求證：GF∥平面ADE.證明方法一如圖，取AE的中點H，連接HG，HD，又G是BE的中點，所以GH∥AB，且GH＝eq\f(1,2)AB.又F是CD的中點，所以DF＝eq\f(1,2)CD.由四邊形ABCD是矩形得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GF∥DH.又DH?平面ADE，GF?平面ADE，所以GF∥平面ADE.方法二如圖，取AB的中點M，連接MG，MF.又G是BE的中點，可知GM∥AE.又AE?平面ADE，GM?平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點得MF∥AD.又AD?平面ADE，MF?平面ADE.所以MF∥平面ADE.又因為GM∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.因為GF?平面GMF，所以GF∥平面ADE.命題點2直線與平面平行的性質(zhì)例2(2019·東三省四市教研聯(lián)合體模擬)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點，PA＝AB＝1.(1)證明：EF∥平面PDC；(2)求點F到平面PDC的距離．(1)證明取PC的中點M，連接DM，MF，∵M，F(xiàn)分別是PC，PB的中點，∴MF∥CB，MF＝eq\f(1,2)CB，∵E為DA的中點，四邊形ABCD為正方形，∴DE∥CB，DE＝eq\f(1,2)CB，∴MF∥DE，MF＝DE，∴四邊形DEFM為平行四邊形，∴EF∥DM，∵EF?平面PDC，DM?平面PDC，∴EF∥平面PDC.(2)解∵EF∥平面PDC，∴點F到平面PDC的距離等于點E到平面PDC的距離．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝eq\r(2)，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥PB，則PC＝eq\r(3)，∴PD2＋DC2＝PC2，∴△PDC為直角三角形，其中PD⊥CD，∴S△PDC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)，連接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，設(shè)E到平面PDC的距離為h，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，AD，PA?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，則eq\f(1,3)×h×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1，∴h＝eq\f(\r(2),4)，∴F到平面PDC的距離為eq\f(\r(2),4).思維升華判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點)．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．跟蹤訓練1(2019·崇左聯(lián)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2，四邊形ABCD滿足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.點E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PB，PC上的點，且eq\f(PE,PB)＝eq\f(PF,PC)＝λ(λ≠0)．(1)求證：EF∥平面PAD；(2)當λ＝eq\f(1,2)時，求點D到平面AFB的距離．(1)證明∵eq\f(PE,PB)＝eq\f(PF,PC)＝λ(λ≠0)，∴EF∥BC.∵BC∥AD，∴EF∥AD.又EF?平面PAD，AD?平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)解∵λ＝eq\f(1,2)，∴F是PC的中點，在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝eq\r(2)，∴PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(6)，∴PF＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(\r(6),2).∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC，PA⊥AC，PA?平面PAC，∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又AB⊥AD，BC∥AD，∴BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，∴在Rt△PBC中，BF＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(\r(6),2).連接BD，DF，設(shè)點D到平面AFB的距離為d，在等腰三角形BAF中，BF＝AF＝eq\f(\r(6),2)，AB＝1，∴S△ABF＝eq\f(\r(5),4)，又S△ABD＝1，點F到平面ABD的距離為1，∴由VF－ABD＝VD－AFB，得eq\f(1,3)×1×1＝eq\f(1,3)×d×eq\f(\r(5),4)，解得d＝eq\f(4\r(5),5)，即點D到平面AFB的距離為eq\f(4\r(5),5).題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點，∴GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面．(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1∥AB且A1B1＝AB，∴A1G∥EB，A1G＝EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.又∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.引申探究1．在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明如圖所示，連接A1C，AC1，交于點M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點，連接MD，∵D為BC的中點，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.2．在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點”變?yōu)椤包cD，D1分別是AC，A1C1上的點，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求eq\f(AD,DC)的值．解連接A1B，AB1，交于點O，連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，則eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)＝1.同理，AD1∥C1D，又AD∥C1D1，所以四邊形ADC1D1是平行四邊形，所以AD＝D1C1，又AC＝A1C1，所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.思維升華證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行．(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．跟蹤訓練2(2018·合肥質(zhì)檢)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M為棱AE的中點．(1)求證：平面BDM∥平面EFC；(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱錐A－CEF的體積．(1)證明如圖，設(shè)AC與BD交于點N，則N為AC的中點，連接MN，又M為棱AE的中點，∴MN∥EC.∵MN?平面EFC，EC?平面EFC，∴MN∥平面EFC.∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，∴BF∥DE且BF＝DE，∴四邊形BDEF為平行四邊形，∴BD∥EF.∵BD?平面EFC，EF?平面EFC，∴BD∥平面EFC.又MN∩BD＝N，MN，BD?平面BDM，∴平面BDM∥平面EFC.(2)解連接EN，F(xiàn)N.在正方形ABCD中，AC⊥BD，又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC.又BF∩BD＝B，BF，BD?平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF，又N是AC的中點，∴V三棱錐A－NEF＝V三棱錐C－NEF，∴V三棱錐A－CEF＝2V三棱錐A－NEF＝2×eq\f(1,3)×AN×S△NEF＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×2＝eq\f(2,3)，∴三棱錐A－CEF的體積為eq\f(2,3).題型三平行關(guān)系的綜合應用例4如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形．(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍．(1)證明∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理可證，CD∥平面EFGH.(2)解設(shè)EF＝x(0<x<4)，∵EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，∴eq\f(CF,CB)＝eq\f(x,4)，則eq\f(FG,6)＝eq\f(BF,BC)＝eq\f(BC－CF,BC)＝1－eq\f(x,4).∴FG＝6－eq\f(3,2)x.∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴四邊形EFGH的周長l＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋6－\f(3,2)x))＝12－x.又∵0<x<4，∴8<l<12，即四邊形EFGH周長的取值范圍是(8,12)．思維升華利用線面平行的性質(zhì)，可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對于最值問題，常用函數(shù)思想來解決．跟蹤訓練3如圖，E是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中點，過A，C，E三點作平面α與正方體的面相交．(1)畫出平面α與正方體ABCD－A1B1C1D1各面的交線；(2)求證：BD1∥平面α.(1)解如圖，交線即為EC，AC，AE，平面α即為平面AEC.(2)證明連接AC，BD，設(shè)BD與AC交于點O，連接EO，∵四邊形ABCD為正方形，∴O是BD的中點，又E為DD1的中點．∴OE∥BD1，又OE?平面α，BD1?平面α.∴BD1∥平面α.1．下列命題中正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α答案D解析A中，a可以在過b的平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b∥α，正確．2．已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是()A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面答案D解析A項，α，β可能相交，故錯誤；B項，直線m，n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯誤；C項，若m?α，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯誤；D項，假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有m∥n，所以原命題正確，故D項正確．3．(2019·濟南模擬)如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A．異面B．平行C．相交D．以上均有可能答案B解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1.∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.4．(2018·大同模擬)若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面α平行的棱有()A．0條 B．1條C．2條 D．0條或2條答案C解析如圖，設(shè)平面α截三棱錐所得的四邊形EFGH是平行四邊形，則EF∥GH，EF?平面BCD，GH?平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，則EF∥CD，EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，則CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以該三棱錐與平面α平行的棱有2條，故選C.5．(2017·全國Ⅰ)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析A項，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線AB與平面MNQ相交；B項，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；C項，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；D項，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選A.6．α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m?α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的序號)答案②③④解析當m⊥n，m⊥α，n∥β時，兩個平面的位置關(guān)系不確定，故①錯誤，經(jīng)判斷知②③④均正確，故正確答案為②③④.7．(2018·貴陽模擬)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題：①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.其中是真命題的是________．(填序號)答案②解析①m∥n或m，n異面，故①錯誤；易知②正確；③m∥β或m?β，故③錯誤；④α∥β或α與β相交，故④錯誤．8．棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點，過C，M，D1作正方體的截面，則截面的面積是________．答案eq\f(9,2)解析由面面平行的性質(zhì)知截面與面AB1的交線MN是△AA1B的中位線，所以截面是梯形CD1MN，易求其面積為eq\f(9,2).9.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度為________．答案eq\r(2)解析在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2eq\r(2).又E為AD中點，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F為DC中點，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).10.如圖所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件______答案點M在線段FH上(或點M與點H重合)解析連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.11．(2019·南昌模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.設(shè)M，N分別為PD，AD的中點．(1)求證：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱錐P－ABM的體積．(1)證明∵M，N分別為PD，AD的中點，∴MN∥PA，又MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，CN，MN?平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB.(2)解由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離．∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝eq\r(3)，∴三棱錐P－ABM的體積V＝VM－PAB＝VC－PAB＝VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×2＝eq\f(\r(3),3).12.如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，證明：B1D1∥l.證明(1)由題設(shè)知BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因為A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因為BD∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD，所以直線l∥直線BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.13.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)是線段B1D1上的兩個動點，且EF＝eq\f(\r(2),2)，則下列結(jié)論中錯誤的是()A．AC⊥BFB．三棱錐A－BEF的體積為定值C．EF∥平面ABCDD．異面直線AE，BF所成的角為定值答案D解析∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，易證AC⊥平面BDD1B1，∵BF?平面BDD1B1，∴AC⊥BF，故A正確；對于選項B，∵E，F(xiàn)，B在平面BDD1B1上，∴A到平面BEF的距離為定值，∵EF＝eq\f(\r(2),2)，B到直線EF的距離為1，∴△BEF的面積為定值，∴三棱錐A－BEF的體積為定值，故B正確；對于選項C，∵EF∥BD，BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正確；對于選項D，異面直線AE，BF所成的角不為定值，令上底面中心為O，當F與B1重合時，E與O重合，易知兩異面直線所成的角是∠A1AO，當E與D1重合時，點F與O重合，連接BC1，易知兩異面直線所成的角是∠OBC1，可知這兩個角不相等，故異面直線AE，BF所成的角不為定值，故D錯誤．14．如圖所示，側(cè)棱與底面垂直，且底面為正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分別在AD1，BC上移動，始終保持MN∥平面DCC1D1，設(shè)BN＝x，MN＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()答案C解析過M作MQ∥DD1，交AD于點Q，連接QN.∵MQ?平面DCC1D1，DD1?平面DCC1D1，∴MQ∥平面DCC1D1，∵MN∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD與平面MNQ和DCC1D1分別交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，∵eq\f(MQ,AQ)＝eq\f(DD1,AD)＝2，∴MQ＝2x.在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1(x≥0，y≥1)，∴函數(shù)y＝f(x)的圖象為焦點在y軸上的雙曲線上支的一部分．故選C.15.如圖，在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝10，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于D，E，F(xiàn)，H，且D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為()A.eq\f(45,2) B.eq\f(45\r(3),2)C．15 D．45eq\r(3)答案C解析取AC的中點G，連接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，SG，BG?平面SGB，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因為SB∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，則SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分別為AB，BC的中點，則H，F(xiàn)也為AS，SC的中點，從而得HF∥AC且HF＝eq\f(1,2)AC，DE∥AC且DE＝eq\f(1,2)AC，所以HF∥DE且HF＝DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形．因為AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四邊形DEFH為矩形，其面積S＝HF·HD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SB))＝15.16.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AC與BD相交于點O，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝3，三棱錐P－ACD的體積為9.(1)求AD的值；(2)過點O的平面α平行于平面PAB，平面α與棱BC，AD，PD，PC分別相交于點E，F(xiàn)，G，H，求截面EFGH的周長．解(1)在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝