二階三點(diǎn)數(shù)值微分公式的外推算法

二階三點(diǎn)數(shù)值微分公式的外推算法2二階三點(diǎn)數(shù)值微分公式的外推算法下面給出問題的條件：設(shè)f(x)為定義在區(qū)間【。,b］上的函數(shù)，給定f(x)在節(jié)點(diǎn)a<x0V氣vx2<b處的函TOC\o"1-5"\h\z數(shù)值為f(xk),(k=0,1,2)。設(shè)x,xx為等距節(jié)點(diǎn)，即x-x=x-x=h,且在x的某01,2,2110(1)鄰域U(x,5)內(nèi)任意次可微，在xx的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的4階導(dǎo)數(shù)，即110,2f(x)eC4(x,5),(i=0,2)。目前的教材都給出公式：f,,(x)(x)=f邕)-2f(氣)+f(x2)(1)2h2其中L2()為2次lagrange插值多項(xiàng)式。中間節(jié)點(diǎn)x1的二階數(shù)值微分公式的外推算法根據(jù)已知條件，利用(1)式可得中間一點(diǎn)的二階數(shù)值微分公式f(x°)—2f(x)+f(x)6TOC\o"1-5"\h\zf(x)牝——0廠TJ(2)1h2利用Taylor公式，分別將和在內(nèi)展開稱泰勒級數(shù)：f邕)=f(氣一h)=f(x)-hf'(x)+f"(x)-f⑶(x)+f(4)(x)-....+(-1)〃f(n)(x)+......(3)12!13!14!1n!1f幻=f(x1+h=“…h(huán)2h3h4hn?f(x1)+hf'(x1)+2!f”(x1)+3!f⑶(x1)+4!f⑷(x1)+...+百f(n)(x1)+將(3)、(4)代入(2)式右端后整理，得=f"(x)+—f4(x)+^—f6(x)+...112!13601記丁皆af(x)-f(x0)-2f(x1)+f(x2)=ah2+ah4+ah6+...1h2123(4)記仲=t^，有記仲=t^，有f、'(x)-S(h)=ah2+ah4+a-6+...(5)對于固定的Xi，顯然是與h無關(guān)的常數(shù)。故上面的誤差估計式，即(5)式符合Richardson外推算法，所以有f(x)-S(h)=a(h)2+a(h)4+a(h)6ii.i2i22232(6)由4x(6)-⑸.。整理得h4S(-)-S(h)f”(x)一一'I23——12—=a2h4+a'3h6+...h4S(-)—S(h)TOC\o"1-5"\h\zS(h)=——一，得記1.23，得f"(x)一S(h)=ah4+ah6+...以此類推，一直外推可得遞推序列如下-S(h)=f今一2f(Xi)+f(Ah24T(h)-S(h)S(h)=—Lk?-k—(k=0,1,2...).4k一1其中S1.k+1(h)的階段誤差為O(h2(kT))。即利用Richardson外推算法經(jīng)k次外推后得到高精度的二階數(shù)值微分公式f”(氣)'S1.k+1(h)，將截斷誤差由原來的O(h2)減小到O(h2(kTD左邊節(jié)點(diǎn)的二階數(shù)值微分公式的外推算法根據(jù)已知條件，利用(1)式可得中間一點(diǎn)的二階數(shù)值微分公式f(x).f(x0)-2f&+f(號0h2(7)利用Taylor公式有:f(氣)=f(x0+h)=h2h3h4(8)f(x°)+hf(x0)+2廣邕)+3f⑶(x°)+頁f⑷叩,(8)其中氣f(x)=f(x+2h)=20f3)+2hf'(x)+(2^f"(x)+(2^)3f⑶(x)+(4^)4ff(x)=f(x+2h)=20其中氣四，氣)將(8)、(9)代入(7)式右端后整理，得f邕)"W頊〈A=f尊)頊3("+甘［8f皿)-f⑷叩］記「一f3(X°)，。有f(x)-f(x0)-2f(氣)+f(x2)=ah+ah2TOC\o"1-5"\h\z0h212f(x)—2f(x)+f(x)S(h)=0h~^2—f"(x)—S(h)=ah+ah2(頂)對于固定的x0，顯然氣占？是與h無關(guān)的常數(shù)。故上面的誤差估計式，即(10)可利用Richardson外推法外推一次得(11)f"(x)—S(h)=a-+a(h)200「212(11)由2x(11)-(10)，整理得f”(x)—S(^)—S(h)=—^2h20[0,120,1J2■一h.S(h)=2S(幻—S(h),記0,20,120,1得f"(x0)—S02(h)=—尋h2,a2=—3[8f⑷叩—f(4)(n2)]ne(x,x),ne(x,x)。其中，102202所以外推后S0,2(h)的截斷誤差為如2)由推導(dǎo)過程可以看出，截斷誤差的漸進(jìn)展開式中多項(xiàng)式各項(xiàng)次數(shù)的變化大小，利用Richardson外推算法外推時收斂階數(shù)提高不明顯，所以利用Taylor公式展開時只展開到四階。右左邊節(jié)點(diǎn)的二階數(shù)值微分公式的外推算法根據(jù)已知條件，利用(1)式可得中間一點(diǎn)的二階數(shù)值微分公式f(X)。f邕)一2f(氣)+f氣)(12)2h2利用Taylor公式有：f(x)=f(x-h)=12f(x)-hf'(x)+竽f'(x)-、f⑶(x)+啤f(4)(^),(14)TOC\o"1-5"\h\z2o2!23!24!i其中q￡（x°，%）將（13）、（14）代入（12）式右端后整理，得f(U一2W頊(0=f丫%)-f(3)(砂+h[8f"-f嶼)pf3(x),記1=0「-W[8f⑷勻-f⑷氣)]，Ph+Ph212)-f(%)-2f(氣)+f(x2)Ph+Ph212有2h2記鏟）=*"f(x2)-%(h)=叩+P2h2(15)故上面的誤差估計式，即10）可利用故上面的誤差估計式，即10）可利用Richardsonf'(x)-S(h)=Ph+P(h)2(16)22,121222由（2）x（16）-（15），整理得f"(x)-2S(h)-S(h)=-%h2，2L2,122,1J2■一h■S(h)=2S(=)-S(