2020-2021學(xué)年福建省泉州市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2020-2021學(xué)年福建省泉州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共8小題）.1．?dāng)?shù)列{an}中，若，則a4＝（）A． B． C． D．82．已知，，，則x的取值范圍為（）A．（﹣∞，﹣4） B．（﹣∞，10） C．（﹣4，+∞） D．（10，+∞）3．若直線2x﹣y+1＝0與直線x+ay+3＝0垂直，則a＝（）A．﹣2 B． C． D．24．若橢圓的短軸長(zhǎng)是焦距的2倍，則C的離心率為（）A． B． C． D．5．記正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝4，S4＝5S2，則S6＝（）A．2 B．﹣21 C．32 D．636．已知拋物線E：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過E上一點(diǎn)P作l的垂線，垂足為M，MF交E于點(diǎn)N，若∠PFM＝，則＝（）A． B． C． D．27．三棱錐P﹣ABC中，AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，若，則點(diǎn)B到平面PAC的距離為（）A． B． C． D．68．若，，F(xiàn)（0，1，0），，，則m+p的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．6二、選擇題（共4小題）.9．在無窮數(shù)列{an}中，若ap＝aq（p，q∈N*），總有ap+1＝aq+1，此時(shí)定義{an}為“階梯數(shù)列”．設(shè){an}為“階梯數(shù)列”，且a1＝a4＝1，a5＝，a8a9＝2，則（）A．a(chǎn)7＝1 B．a(chǎn)8＝2a4 C． D．a(chǎn)2020＝110．若雙曲線與橢圓有相同的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且C1，C2在第一象限相交于點(diǎn)P，則（）A． B．C1的漸近線方程為y＝±x C．直線y＝x+2與C1有兩個(gè)公共點(diǎn) D．△PF1F2的面積為11．已知A（1，0），B（4，0），圓C：x2+y2＝4，則以下選項(xiàng)正確的有（）A．圓C上到B的距離為2的點(diǎn)有兩個(gè) B．圓C上任意一點(diǎn)P都滿足|PB|＝2|PA| C．若過A的直線被圓C所截得的弦為MN，則|MN|的最小值為 D．若點(diǎn)D滿足過D作圓C的兩條切線互相垂直，則|BD|的最小值為12．已知圖1中，A，B，C，D是正方形EFGH各邊的中點(diǎn)，分別沿著AB，BC，CD，DA把△ABF，△BCG，△CDH，△DAE向上折起，使得每個(gè)三角形所在的平面都與平面ABCD垂直，再順次連接EFGH，得到一個(gè)如圖2所示的多面體，則（）A．△AEF是正三角形 B．平面AEF⊥平面CGH C．直線CG與平面AEF所成角的正切值為 D．當(dāng)AB＝2時(shí)，多面體ABCD﹣EFGH的體積為三、填空題（共4小題）.13．圓心為（1，0），半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．14．已知，，則cos＜，＞＝．15．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在E上且在第一象限，線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，若，則E的離心率為；E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．16．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，則an＝；若對(duì)任意的n∈N*，不等式2Sn+48≥（﹣1）nkan恒成立，則k的取值范圍是．四、解答題（共6小題）.17．已知等差數(shù)列{an}中，a2＝2，a1+a5＝6．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．18．已知直線l：mx﹣y﹣2m+2＝0（m∈R），圓C：x2+y2﹣2x﹣6y+8＝0．（1）若l與圓C相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若l與圓C交于A，B，且|OA|＝|OB|，求△ABC的面積．19．已知拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線x＝3與E相交所得線段的長(zhǎng)為．（1）求E的方程；（2）若不過點(diǎn)F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，請(qǐng)從下列三個(gè)條件中任選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，并嘗試依據(jù)補(bǔ)充條件，求l的方程（若因條件選擇不當(dāng)而無法求出，需分析具體原因）．①AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3；②△ABF的重心在直線y＝2上；③|AF|+|BF|＝13．20．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，E，F(xiàn)，G分別為棱A1D1，D1C1，AB上的點(diǎn)，且A1E＝D1F＝BG＝1．（1）求直線EG與平面DEF所成角的正弦值；（2）設(shè)直線AA1與平面EFG交于點(diǎn)H，求的值．21．在數(shù)列{an}，{bn}中，an+2+6an＝5an+1，bn＝an+1﹣3an（n∈N*），且a2＝1，b2＝2．（1）求a3，b1的值；（2）求{bn}的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)cn＝，記{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，證明：．22．已知圓＝16，圓E的弦AB過點(diǎn)，連接AE，BE，過點(diǎn)F且與BE平行的直線與AE交于點(diǎn)P，記點(diǎn)P的軌跡為曲線M．（1）求M的方程；（2）過點(diǎn)N（1，0）的直線l交M于C，D兩點(diǎn)，試探究是否存在定點(diǎn)Q，使得為定值．

參考答案一、選擇題（共8小題）.1．?dāng)?shù)列{an}中，若，則a4＝（）A． B． C． D．8解：因?yàn)閿?shù)列{an}中，，所以a4＝＝，故選：B．2．已知，，，則x的取值范圍為（）A．（﹣∞，﹣4） B．（﹣∞，10） C．（﹣4，+∞） D．（10，+∞）解：∵，，，∴＝2+18+5x＜0，解得x＜﹣4，∴x的取值范圍是（﹣∞，﹣4）．故選：A．3．若直線2x﹣y+1＝0與直線x+ay+3＝0垂直，則a＝（）A．﹣2 B． C． D．2解：因?yàn)橹本€2x﹣y+1＝0與直線x+ay+3＝0垂直，所以2×1+（﹣1）×a＝0，解得a＝2．故選：D．4．若橢圓的短軸長(zhǎng)是焦距的2倍，則C的離心率為（）A． B． C． D．解：依題意可知2c＝b，而a＝＝c∴橢圓的離心率e＝＝．故選：B．5．記正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝4，S4＝5S2，則S6＝（）A．2 B．﹣21 C．32 D．63解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，（q＞0）若S4＝5S2，則q≠1，則＝5×，解可得q2＝4，又由q＞0，則q＝2，又由a3＝4，則a1＝＝1，則S6＝＝63，故選：D．6．已知拋物線E：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過E上一點(diǎn)P作l的垂線，垂足為M，MF交E于點(diǎn)N，若∠PFM＝，則＝（）A． B． C． D．2解：過點(diǎn)N作NA⊥l交l于點(diǎn)A，因?yàn)閨PM|＝|PF|，所以∠PFM＝∠PMF＝，又因?yàn)镻M∥x軸，所以∠MNA＝，所以，因?yàn)閨NA|＝|NF|，所以，故選：C．7．三棱錐P﹣ABC中，AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，若，則點(diǎn)B到平面PAC的距離為（）A． B． C． D．6解：如圖，取AB中點(diǎn)O，則O為三角形ABC的外心，連接PO，由PA＝PB＝PC，可得PO⊥平面ABC，∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，∴BC＝10，則OC＝5，又PC＝，∴PO＝5，，在△PAC中，由PA＝PC＝，AC＝8，得＝．設(shè)B到平面PAC的距離為h，再由VP﹣ABC＝VB﹣PAC，可得，解得：h＝．故選：C．8．若，，F(xiàn)（0，1，0），，，則m+p的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．6解：∵，，F(xiàn)（0，1，0），，，∴，整理得：，令t＝n+，則＝t2﹣8，且t∈（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞），∴2（m+p）2＝t2﹣8t+22＝（t﹣4）2+6≥6，∴m+p≥3．∴m+p的最小值為3．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9．在無窮數(shù)列{an}中，若ap＝aq（p，q∈N*），總有ap+1＝aq+1，此時(shí)定義{an}為“階梯數(shù)列”．設(shè){an}為“階梯數(shù)列”，且a1＝a4＝1，a5＝，a8a9＝2，則（）A．a(chǎn)7＝1 B．a(chǎn)8＝2a4 C． D．a(chǎn)2020＝1解：根據(jù)“階梯數(shù)列”的定義可知，因?yàn)閍1＝a4＝1，所以a2＝a5＝，a3＝a6，a4＝a7＝1，a5＝a8＝，a6＝a9，又因?yàn)閍8a9＝2，且a8＝，故a9＝2，所以a1＝a4＝a7＝a3n﹣2＝1，a2＝a5＝a8＝a3n﹣1＝，a3＝a6＝a9＝a3n＝2，結(jié)合選項(xiàng)可知A正確，B錯(cuò)誤；S10＝a1+a2+…+a10＝1++2+…+1＝10+3，故C正確；因?yàn)?×674﹣2＝2020，所以a2020＝a1＝1，故D正確．故選：ACD．10．若雙曲線與橢圓有相同的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且C1，C2在第一象限相交于點(diǎn)P，則（）A． B．C1的漸近線方程為y＝±x C．直線y＝x+2與C1有兩個(gè)公共點(diǎn) D．△PF1F2的面積為解：由題意知，2+b2＝8﹣4＝4，∴b2＝2，且|F1F2|＝4，∴雙曲線C1的方程為，∴C1的漸近線方程為y＝±x，即選項(xiàng)B正確；由橢圓的定義知，|PF1|+|PF2|＝4，由雙曲線的定義知，|PF1|﹣|PF2|＝2，解得，|PF1|＝3，|PF2|＝，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；聯(lián)立，得x＝，只有唯一解，∴直線y＝x+2與C1有一個(gè)公共點(diǎn)，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在△PF1F2中，有|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2，∴PF2⊥F1F2，∴＝|PF2|?|F1F2|＝××4＝，即選項(xiàng)D正確．故選：BD．11．已知A（1，0），B（4，0），圓C：x2+y2＝4，則以下選項(xiàng)正確的有（）A．圓C上到B的距離為2的點(diǎn)有兩個(gè) B．圓C上任意一點(diǎn)P都滿足|PB|＝2|PA| C．若過A的直線被圓C所截得的弦為MN，則|MN|的最小值為 D．若點(diǎn)D滿足過D作圓C的兩條切線互相垂直，則|BD|的最小值為解：如圖，圓C的圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r＝2，則圓C上到B的距離為2的點(diǎn)1個(gè)，為（2，0），故A錯(cuò)誤；設(shè)圓C上任意一點(diǎn)P（x，y），則x2+y2＝4，|PB|＝，2|PA|＝2，若|PB|＝2|PA|，則（x﹣4）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，即x2+y2＝4，此式顯然成立，故B正確；若過A的直線被圓C所截得的弦為MN，則當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，|MN|的最小值為，故C正確；若點(diǎn)D滿足過D作圓C的兩條切線互相垂直，則|OD|＝，可得D的軌跡是以O(shè)為圓心，以為半徑的圓，而B在圓外，則|BD|的最小值為，故D正確．故選：BCD．12．已知圖1中，A，B，C，D是正方形EFGH各邊的中點(diǎn)，分別沿著AB，BC，CD，DA把△ABF，△BCG，△CDH，△DAE向上折起，使得每個(gè)三角形所在的平面都與平面ABCD垂直，再順次連接EFGH，得到一個(gè)如圖2所示的多面體，則（）A．△AEF是正三角形 B．平面AEF⊥平面CGH C．直線CG與平面AEF所成角的正切值為 D．當(dāng)AB＝2時(shí)，多面體ABCD﹣EFGH的體積為解：取CD，AB的中點(diǎn)O，M，連結(jié)OH，OM，在圖1中，因?yàn)锳，B，C，D是正方形EFGH各邊的中點(diǎn)，則，因?yàn)镺為CD的中點(diǎn)，所以O(shè)H⊥CD，因?yàn)槠矫鍯DH⊥平面ABCD，平面CDH∩平面ABCD＝CD，所以O(shè)H?平面CDH，所以O(shè)H⊥平面ABCD，在圖1中，設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為，可得四邊形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，在圖1中，△ADE和△ABF均為等腰直角三角形，可得∠BAF＝∠DAE＝45°，所以∠BAD＝90°，故四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2a的正方形，因?yàn)镺，M分別為CD，AB的中點(diǎn)，則OC∥BM且OC＝BM，∠OCB＝90°，所以四邊形為矩形，所以O(shè)M⊥CD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM，OC，OH所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2a，﹣a，0），B（2a，a，0），C（0，a，0），D（0，﹣a，0），E（a，﹣a，a），F(xiàn)（2a，0，a），G（a，a，a），H（0，0，a），對(duì)于選項(xiàng)A，由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得AE＝AF＝EF＝，所以△AEF是正三角形，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，設(shè)平面AEF的法向量為，則由，取z＝1，則，，設(shè)平面CGH的法向量為，則有，取z1＝﹣1，則，所以，所以平面AEF與平面CGH不垂直，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，＝，設(shè)直線CG與平面AEF所成的角為θ，則，所以，故，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，以ABCD為底面，以O(shè)H為高將幾何體ABCD﹣EFGH補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1，則E，F(xiàn)，G，H分別為A1D1，A1B1，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，因?yàn)锳B＝2，即a＝1，則OH＝1，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為V＝22×1＝4，＝，因此多面體ABCD﹣EFGH的體積為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．圓心為（1，0），半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x﹣1）2+y2＝4．解：∵圓的圓心在點(diǎn)（1，0），半徑為2，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x﹣1）2+y2＝4．故答案為：（x﹣1）2+y2＝4．14．已知，，則cos＜，＞＝．解：∵，，∴cos＜，＞＝＝＝．故答案為：．15．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在E上且在第一象限，線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，若，則E的離心率為；E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．解：由題意知，F(xiàn)（﹣c，0），|OF|＝c，設(shè)雙曲線E的右焦點(diǎn)為Q，連接PQ，設(shè)PF的中點(diǎn)為M，連接OM，則|OM|＝|OF|＝c，∵，∴|FM|＝|OF|＝c，∵O，M分別為QF，PF的中點(diǎn)，∴|PQ|＝2|OM|＝2c，|PF|＝2|FM|＝2c，由雙曲線的定義知，|PF|﹣|PQ|＝2a，2c﹣2c＝2a，∴離心率e＝＝＝①．∵，|OM|＝|OF|＝c，∴點(diǎn)M（，），∵M(jìn)為PF的中點(diǎn)，∴P（2c，c），將其代入雙曲線的方程中，有﹣＝1②，由①②，解得c2＝4+2，∴a2＝c2﹣2＝4，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：；．16．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，則an＝3n；若對(duì)任意的n∈N*，不等式2Sn+48≥（﹣1）nkan恒成立，則k的取值范圍是．解：因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝①，所以Sn﹣1＝（n≥2）②，由①﹣②可得，（n≥2），則有（n≥2），因?yàn)閧an}為正項(xiàng)數(shù)列，所以an+an﹣1＞0，則有an﹣an﹣1＝3（n≥2），又，解得a1＝3，因此數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，所以an＝3n；則有，由對(duì)任意的n∈N*，不等式2Sn+48≥（﹣1）nkan恒成立，則對(duì)任意的n∈N*，不等式3n（n+1）+48≥（﹣1）?k?3n恒成立，等價(jià)于對(duì)任意的n∈N*，不等式恒成立，令，則f（n+1）﹣f（n）＝，當(dāng)n≥4時(shí)，f（n+1）﹣f（n）＝＞0，此時(shí)f（n+1）＞f（n），即f（n）遞增，當(dāng)n≤3時(shí)，f（n+1）﹣f（n）＜0，此時(shí)f（n+1）＜f（n），即f（n）遞減，又f（3）＝，，所以f（n）min＝f（4）＝9，f（5）＜f（3），當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，即k≤f（n），因此只需k≤f（4）＝9；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，即k≥﹣f（n），因?yàn)閚為奇數(shù)時(shí)，，因此只需；綜上可得，k的取值范圍為．故答案為：3n；．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．已知等差數(shù)列{an}中，a2＝2，a1+a5＝6．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．解：（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則，解得，∴an＝1+1×（n﹣1）＝n，n∈N*，（2）由（1），可得＝2n，∴Sn＝b1+b2+…+bn＝21+22+…+2n＝＝2n+1﹣2．18．已知直線l：mx﹣y﹣2m+2＝0（m∈R），圓C：x2+y2﹣2x﹣6y+8＝0．（1）若l與圓C相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若l與圓C交于A，B，且|OA|＝|OB|，求△ABC的面積．解：（1）由C：x2+y2﹣2x﹣6y+8＝0，得（x﹣1）2+（y﹣3）2＝2，可得圓心坐標(biāo)為（1，3），半徑為r＝．若l與圓C相切，則，解得m＝1．∴直線l的方程為x﹣y＝0，聯(lián)立，解得．∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；（2）∵A，B為直線與圓的交點(diǎn)，∴|CA|＝|CB|，取AB的中點(diǎn)D，則有CD⊥AB，又|OA|＝|OB|，∴OD⊥AB，∴O、C、D三點(diǎn)共線，又直線OC的斜率為3，∴直線AB的斜率為，則m＝．∴直線l的方程為，即y＝，∴圓心到直線l的距離為，在Rt△CAD中，CA＝r＝，CD＝，∴AD＝．∴AB＝．∴．19．已知拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線x＝3與E相交所得線段的長(zhǎng)為．（1）求E的方程；（2）若不過點(diǎn)F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，請(qǐng)從下列三個(gè)條件中任選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，并嘗試依據(jù)補(bǔ)充條件，求l的方程（若因條件選擇不當(dāng)而無法求出，需分析具體原因）．①AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3；②△ABF的重心在直線y＝2上；③|AF|+|BF|＝13．解：（1）因?yàn)橹本€x＝3與E相交所得線段的長(zhǎng)為，所以E過點(diǎn)（3，3），則18＝6p，所以p＝3，所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝6x；（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l與E相交于A，B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，不管選①②③中哪兩個(gè)，均布符合題意，故直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為：y＝kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程，消去x整理可得：ky2﹣6y+6b＝0，所以y，若選①③：因?yàn)锳B的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，所以，所以y1+y2＝6，則，解得k＝1，所以直線方程為：y＝x+b，則x1+x2＝y(tǒng)1+y2﹣2b＝6﹣2b，所以|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝6﹣2b+3＝13，所以b＝﹣2，故直線l的方程為：y＝x﹣2，即x﹣y﹣2＝0．若選②③：由（1）可得F（），因?yàn)槿切蜛BF的重心在直線y＝2上，所以，則y1+y2＝6，所以，即k＝1，又因?yàn)閨AF|+|BF|＝x1+x2+p＝x1+x2+3＝13，所以x1+x2＝10，所以直線AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3），則直線l的方程為：y﹣3＝x﹣5，即x﹣y﹣2＝0．若選①②：無法得到直線l的方程，理由如下：根據(jù)條件①②，得，化簡(jiǎn)可得y1+y2＝6，所以，解得k＝1，兩個(gè)條件等價(jià)，所以相當(dāng)于只有一個(gè)條件，只能求出直線l的斜率，條件不夠，無法求出b的值，故選①②無法得到直線l的方程．20．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，E，F(xiàn)，G分別為棱A1D1，D1C1，AB上的點(diǎn)，且A1E＝D1F＝BG＝1．（1）求直線EG與平面DEF所成角的正弦值；（2）設(shè)直線AA1與平面EFG交于點(diǎn)H，求的值．解：（1）分別以DA，DC，DD1所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則D（0，0，0），E（2，0，