第10章-多自由度體系自由振動分析

結(jié)構(gòu)動力特性分析－特征值問題的性質(zhì)結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動方程將簡諧運動代入上式可得（10-1）（10-2）（10-3）方程（10－3）為特征值問題。對特征方程分析可得一個動力系統(tǒng)的固有頻率以及振型。1、固有頻率從方程（10－3）可知：要獲得{a}非零解，必須要求矩陣系數(shù)行列式為零：（10-4）式（10－4）稱為系統(tǒng)的頻率方程，對其進行行列式展開可以獲得一個關(guān)于ω2的n次（自由度數(shù)）的代數(shù)方程，它的n個根

表示系統(tǒng)可能的n個振型的頻率。結(jié)構(gòu)動力特性分析－特征值問題的性質(zhì)2、振型(10-5)由頻率方程式（10－4）求得系統(tǒng)n個固有頻率后，可以將任一個固有頻率回代入特征方程（10－3），以獲得對應(yīng)的振幅向量{a}：式中：(10-6b)(10-6a)上式中，由于系數(shù)矩陣的行列式為零，因此是不定方程。對振幅向量除以a1，并記以及，式(10－5)可以拆分為兩個獨立的系列：將（10－5）式振幅向量除以a1后，可以按以下紅線將系數(shù)矩陣[k]和振幅向量劃分為子矩陣表示：由于式（10－6b）對應(yīng)方程組是確定的，可以從中解得n-1個未知量：a2/a1、a3/a1、…、an/a1，因此可以得到對應(yīng)方程（10－5）的一組振幅向量，稱為關(guān)于固有頻率的振型向量。式（10-6a）是一個多余方程，通?？梢杂捎谛：私獾恼_性。所有n個標(biāo)準(zhǔn)振型向量構(gòu)成了一個方陣[Φ]:稱為振型矩陣。振型矩陣：標(biāo)準(zhǔn)振型：通常固有頻率對應(yīng)的振幅向量（振型）用其無量綱形式給出，將{a}中各分量均除以它的最大分量，即得到第k標(biāo)準(zhǔn)振型：式中：φik表示第k振型曲線中第i自由度對應(yīng)的無量綱化位移。多自由度體系動力特性分析（舉例）

如圖所示結(jié)構(gòu)，E=2.6x107kN/m2，各柱尺寸0.6x0.6m.

求自振頻率和振型。EI=∞EI=∞m2=40tm1=60t4m6m解：用剛度法得k22k12k21k11Δ1＝1Δ2＝1則質(zhì)量陣和剛度陣為由頻率方程解得：頻率方程為：1.00.8871.00.751振型1（令）：振型2（令）：Betti定理：若一結(jié)構(gòu)分別受兩種荷載體系作用并引起了相應(yīng)的位移，則荷載體系1在荷載體系2對應(yīng)位移上所作的功等于荷載體系2在荷載體系1對應(yīng)位移上所作的功。荷載a:荷載b:狀況1（先加載荷載a，然后加載荷載b）：加荷載b：加荷載a：總功為：狀況2（先加載荷載b，然后加載荷載a）：加荷載a：加荷載b：總功為：由于結(jié)構(gòu)變形與加載次序無關(guān)，因此在兩種情況下荷載作功應(yīng)相等：振型正交性（1）Betti定理振型正交性（2）利用Betti定理證明振型正交性振型“n”:振型“m”:如將自由振動看作由慣性力引起的變形，將兩個振型對應(yīng)的慣性力作為施加荷載，振型即為慣性力荷載作用引起的位移（如右圖所示）。對此體系應(yīng)用Betti定理：由于慣性力向量可表達為：將此代入式(I)，并留意[m]對稱性，得：(I)或?qū)憺橛捎?，則上式給出：質(zhì)量陣正交性：將運動方程改寫為：上式兩邊同乘：剛度陣正交性：歸一化振型明顯，歸一化振型可以由標(biāo)準(zhǔn)振型{φ}獲得：在結(jié)構(gòu)動力分析中，常用到正交歸一化振型。一個振型如滿足以下條件則稱為歸一化振型，用記號表示：對于剛度陣，有：（1）假如[m]和[k]都對稱，且至少有一個矩陣正定，則特征值一定是實數(shù)，而特征向量也可以是實向量。假如[m]正定，并且[k]為正定或半正定，則全部特征值都是正的實數(shù)。從數(shù)學(xué)角度理解特征系統(tǒng)的基本特性上述方程即為線性代數(shù)理論特征值問題，其中特征值λ對應(yīng)系統(tǒng)的固有頻率ω2，特征向量[φ]為系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)振型。將多自由度體系無阻尼自由振動運動方程：改寫為：（2）特征向量（或模態(tài)向量）關(guān)于質(zhì)量矩陣[m]和剛度矩陣[m]正交，即：

一個特征系統(tǒng)具有以下特性：特征系統(tǒng)的基本特性（續(xù)）(3)Rayleigh商和特征值的極大微小性質(zhì)

定義：

可以證明，對于隨意{x}有:得到第i階特征值:由振型正交性可得，當(dāng){x}為系統(tǒng)的某階特征向量時，則有:注意！！對于任意向量{x}，R({x})的最小值是最小特征值λ1。如果對{x}施加約束，即選定向量{v}，在滿足{x}T{v}=0（即兩個向量正交）的約束下選擇{x}，則在計算Ralyeigh商的極小值時，選取不同的{v}可得到不同的極小值。當(dāng){v}為系統(tǒng)的第一階特征向量時，這些最小值集合的最大值是系統(tǒng)的第二特征值。依此類推，如果使Ralyeigh商收斂到第i階特征值，則需要i-1個約束。通過極小和極大化過程，可以得到第i階特征值?；?qū)憺椋?/p>

上式稱為特征值的極大極小性質(zhì)。利用特征值的極大極小性質(zhì)，可以求取結(jié)構(gòu)的任意特征值。

特征系統(tǒng)的基本特性（續(xù)）(4)特征值的移軸性質(zhì)或?qū)憺椋菏街校菏剑?0-7）和標(biāo)準(zhǔn)特征值方程有相同的特征向量，但特征值相差μ，即