多目標決策分析方法

關于多目標決策分析方法第1頁，共23頁，2023年，2月20日，星期三

第5章第1節(jié)中，我們運用線性規(guī)劃方法討論了表5.1.4所描述的農(nóng)場作物種植計劃的問題。但是，由于線性規(guī)劃只有單一的目標函數(shù)，所以當時我們建立的作物種植計劃模型屬于單目標規(guī)劃模型，給出的種植計劃方案，要么使總產(chǎn)量最大，要么使總產(chǎn)值最大；兩個目標無法兼得。那么，究竟怎樣制定作物種植計劃，才能兼顧總產(chǎn)量和總產(chǎn)值雙重目標呢？下面我們用多目標規(guī)劃的思想方法解決這個問題。

一、土地利用問題第2頁，共23頁，2023年，2月20日，星期三農(nóng)場種植計劃模型

某農(nóng)場I、II、III等耕地的面積分別為100hm2、300hm2和200hm2，計劃種植水稻、大豆和玉米，要求3種作物的最低收獲量分別為190000kg、130000kg和350000kg。I、II、III等耕地種植3種作物的單產(chǎn)如表5.1.4所示。若3種作物的售價分別為水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg。那么，（1）如何制訂種植計劃，才能使總產(chǎn)量最大？（2）如何制訂種植計劃，才能使總產(chǎn)值最大？第3頁，共23頁，2023年，2月20日，星期三表5.1.4不同等級耕地種植不同作物的單產(chǎn)(單位:kg/hm2)

I等耕地II等耕地III等耕地水稻1100095009000大豆800068006000玉米140001200010000表5.1.4第4頁，共23頁，2023年，2月20日，星期三

取為決策變量，它表示在第j等級的耕地上種植第i種作物的面積。如果追求總產(chǎn)量最大和總產(chǎn)值最大雙重目標，那么，目標函數(shù)包括：①追求總產(chǎn)量最大（4.1）

第5頁，共23頁，2023年，2月20日，星期三②追求總產(chǎn)值最大（4.2）

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根據(jù)題意，約束方程包括：耕地面積約束最低收獲量約束（4.3）

（4.4）

（4.5）

非負約束

對上述多目標規(guī)劃問題，我們可以采用如下方法，求其非劣解。第7頁，共23頁，2023年，2月20日，星期三用線性加權方法取，重新構造目標函數(shù)

這樣，就將多目標規(guī)劃轉化為單目標線性規(guī)劃。

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用單純形方法對該問題求解，可以得到一個滿意解（非劣解）方案，結果見表4.1。此方案是：III等耕地全部種植水稻，I等耕地全部種植玉米，II等耕地種植大豆19.1176hm2、種植玉米280.8824hm2。在此方案下，線性加權目標函數(shù)的最大取值為6445600。第9頁，共23頁，2023年，2月20日，星期三表4.1線性加權目標下的非劣解方案（單位：hm2）

第10頁，共23頁，2023年，2月20日，星期三目標規(guī)劃方法

實際上，除了線性加權求和法以外，我們還可以用目標規(guī)劃方法求解上述多目標規(guī)劃問題。如果我們對總產(chǎn)量和總產(chǎn)值，分別提出一個期望目標值（kg）（元）

并將兩個目標視為相同的優(yōu)先級。

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如果、分別表示對應第1個目標期望值的正、負偏差變量，、分別表示對應于第2個目標期望值的正、負偏差變量，而且將每一個目標的正、負偏差變量同等看待（即可將它們的權系數(shù)都賦為1），那么，該目標規(guī)劃問題的目標函數(shù)為

第12頁，共23頁，2023年，2月20日，星期三對應的兩個目標約束為

（4.8）

（4.9）即

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除了目標約束以外，該模型的約束條件，還包括硬約束和非負約束的限制。其中，硬約束包括耕地面積約束（4.3）式和最低收獲量約束（4.4）式；非負約束，不但包括決策變量的非負約束（4.5）式，還包括正、負偏差變量的非負約束

解上述目標規(guī)劃問題，可以得到一個非劣解方案，詳見表4.2。

第14頁，共23頁，2023年，2月20日，星期三表4.2目標規(guī)劃的非劣解方案（單位:hm2）

在此非劣解方案下，兩個目標的正、負差變量分為，，，。第15頁，共23頁，2023年，2月20日，星期三

二、生產(chǎn)計劃問題

某企業(yè)擬生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，其生產(chǎn)投資費用分別為2100元/t和4800元/t。A、B兩種產(chǎn)品的利潤分別為3600元/t和6500元/t。A、B產(chǎn)品每月的最大生產(chǎn)能力分別為5t和8t；市場對這兩種產(chǎn)品總量的需求每月不少于9t。試問該企業(yè)應該如何安排生產(chǎn)計劃，才能既能滿足市場需求，又節(jié)約投資，而且使生產(chǎn)利潤達到最大?

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該問題是一個線性多目標規(guī)劃問題。如果計劃決策變量用和表示，它們分別代表A、B產(chǎn)品每月的生產(chǎn)量（單位：t）；表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總投資費用（單位：元）；表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤（單位：元）。那么，該多目標規(guī)劃問題就是：求和，使

第17頁，共23頁，2023年，2月20日，星期三而且滿足

對于上述多目標規(guī)劃問題，如果決策者提出的期望目標是：（1）每個月的總投資不超30000元；（2）每個月的總利潤達到或超過45000元；（3）兩個目標同等重要。那么，借助Matlab軟件系統(tǒng)中的優(yōu)化計算工具進行求解，可以得到一個非劣解方案為

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按照此方案進行生產(chǎn)，該企業(yè)每個月可以獲得利潤44000元，同時需要投資29700元。

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某企業(yè)擬用1000萬元投資于A、B兩個項目的技術改造。設、分別表示分配給A、B項目的投資（萬元）。據(jù)估計，投資項目A、B的年收益分別為投資的60%和70%；但投資風險損失，與總投資和單項投資均有關系

據(jù)市場調查顯示，A項目的投資前景好于B項目，因此希望A項目的投資額不小B項目。試問應該如何在A、B兩個項目之間分配投資，才能既使年利潤最大，又使風險損失為最??？三、投資問題第20頁，共23頁，2023年，2月20日，星期三

該問題是一個非線性多目標規(guī)劃問題，將它用數(shù)學語言描述出來，就是：求、，使

而且滿足

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對于上述多目標規(guī)劃問題，如果決策者提出的期望目標是：（1）每一年的總收益不小于600萬元；（2）希望投資風險損失不超過800萬元；（3）兩個目標同等重要。那么，借助Matlab軟件中