三角形面積公式

本文格式為Word版，下載可任意編輯——三角形面積公式角形淺談公式及其應用

解析幾何中的“焦點三角形”是指橢圓或雙曲線上的動點與兩焦點構成的三角形，與此有關的題型變化多端、生動性大，有確定的難度，并且每年數學高考題中常有其“影子”，本文僅對焦點三角形的面積公式及其有關應用作如下探析，供同學們學習時參考。

一.焦點三角形的面積

1、公式一：

①若P是橢圓上一點,F1、F2分別為焦點,設∠F1PF2=θ,那么△F1PF2的面積S=b2tan。

②若P是雙曲線上一點,F1、F2分別為焦點,設∠F1PF2=θ,那么△F1PF2的面積S=b2cot。

(其中b為短(或虛)半軸長)

下面僅對公式②舉行證明，公式①請仿此證明。

證明：由雙曲線的定義有|PF1|-|PF2|=±2a,在△PF1PF2中，由余弦定理有4c2=|PF1|2+|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ,對定義式平方，|PF1|2+|PF2|2－2|PF1||PF2|=4a2，由兩式解出關系：

4c2=4a2+2|PF1||PF2|=4a2，即：4c2=4a2+2|PF1||PF2|(1-cosθ)，∵S=|PF1||PF2|sinθ=b2，∴S=b2cot。

評：此題證明用了雙曲線第確定義，余弦定理，三角形的面積公式這些學識點，要求掌管推導過程。

2、公式二：

若P是橢圓（或雙曲線）上一點,F1、F2分別為焦點,那么△F1PF2的面積S=c|yp|。

(其中c為半焦距長，yp表示點P的縱坐標)

說明：公式二輕易證明，當已知條件中有角∠F1PF2時或與之相關時，選用公式一，當已知條件中能求出直線PF1或PF2的方程時，選用公式二，且兩公式常一起運用。

二、焦點三角形面積公式的應用

1、求焦點三角形的面積

例：若F1和F2為雙曲線-y2=1的兩個焦點，點P在雙曲線上，且∠F1PF2=，求△F1PF2面積。

解析：由焦點三角形面積公式一：S=b2cot=1×cot=1。

2、求點P坐標

例：若P是雙曲線x2-=1上的點，F1，F2是兩焦點，PF1PF2=0，那么點P到x軸的距離為________。

解析：此題的實質是求點P的縱坐標，∵MF1MF2=0，∴∠F1MF2=900，由焦點三角形面積公式：S=b2cot=c|yp|，，2cot450=|yp|∴h=|yp|=.

3、求雙曲線方程或焦點三角形的邊所在直線方程

例：已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為：x-2y=0，點P是雙曲線上的一點，且PF1與PF2的夾角為60°，且S△F1PF2=，那么雙曲線的方程為：_____.

解析：設雙曲線的方程為：-y2=λ(λ>0)，∵S△F1PF2=b2cot300=λcot300=∴λ=1，故所求雙曲線的方程為：-y2=1。

4．求參數范圍

例：設橢圓+y2=1的兩個焦點是F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),且橢圓上存在點P,使得直線PF1和PF2彼此垂直.求實數m的取值范圍。

解析：由焦點三角形S=b2tan450=c|y|，m>0,c=∴|y|=≤1∴實數m的取值范圍為m≥1。

5．求離心率或其范圍

例：設F1，F2是橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點，若橢圓上恒存在一點P，使得過∠F1PF2=90°，試求此橢圓離心率的取值范圍。

解析：由焦點三角形S=b2tan