2021屆全國高三下學期5月高考卷（全國I卷）數(shù)學（理）試題

/22/22/絕密★啟用前2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案填寫在答題卡上，寫在試卷上無效。4．考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則集合的真子集的個數(shù)為（）A． B． C． D．2．已知復數(shù)，若在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．已知向量，，且，則（）A．2 B． C． D．35．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．6．已知，，則“”是“”的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要7．已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（）A．若，，則B．若，且，，則C．若，且，則D．若，，則8．已知直線與圓相交于兩點，且這兩點關(guān)于直線對稱，則的值分別為（）A． B． C． D．9．任何一個函數(shù)都可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)和或差的形式，若已知函數(shù)，若將表示成一個偶函數(shù)和一個奇函數(shù)的差，且對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．在體積為8的正方體內(nèi)部任意取一點，能使四棱錐，，，，，的體積大于的概率為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)（）的值域為，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知橢圓的左右焦點分別為，點是橢圓上一點，點是線段上一點，且，，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．的展開式中的系數(shù)為________．14．若函數(shù)的值域為，試確定的取值范圍是_________．15．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，，則的周長的最大值是_________．16．已知函數(shù)，若在上恒成立，則正實數(shù)的取值范圍為________．三、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和．18．（12分）某市為提高市民的安全意識，組織了一場知識競賽，已知比賽共有2000位市民報名參加，其中男性1200人，現(xiàn)從參賽的市民當中采取分層抽樣的方法隨機抽取了100位市民進行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)分數(shù)分布在450~950分之間，將結(jié)果繪制的市民分數(shù)頻率分布直方圖如圖所示：將分數(shù)不低于750分的得分者稱為“高分選手”．（1）求的值，并估計該市市民分數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分數(shù)落在，內(nèi)的兩組市民中抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人，記被抽取的3名市民中屬于“高分選手”的市民人數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望；（3）若樣本中屬于“高分選手”的女性有15人，完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為該市市民屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)？屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計男生女生合計（參考公式：，期中）19．（12分）如圖所示，直角梯形中，，，，四邊形EDCF為矩形，，平面平面．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）橢圓的方程為，過橢圓左焦點且垂直于軸的直線在第二象限與橢圓相交于點，橢圓的右焦點為，已知，橢圓過點．（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓的右焦點作直線交橢圓于、兩點，交軸于點，若，，求證：為定值．21．（12分）已知函數(shù)．試討論函數(shù)的零點個數(shù)；設(shè)，為函數(shù)的兩個零點，證明：．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】在直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求曲線的極坐標方程和直線的普通方程；（2）過點，傾斜角為的直線與曲線交于兩點，求的值．23．（10分）【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若，，為正實數(shù)，函數(shù)的最小值為，且滿足，求的最小值．絕密★啟用前2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案填寫在答題卡上，寫在試卷上無效。4．考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則集合的真子集的個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】集合，故其真子集的個數(shù)為個，故選A．2．已知復數(shù)，若在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因為復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限，則，解得，故選B．3．雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，可得，所以，解得，故選A．4．已知向量，，且，則（）A．2 B． C． D．3【答案】D【解析】由，因為，所以，所以，故選D．5．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，令，則，故為上的奇函數(shù)，故的圖象關(guān)于對稱，故排除C；又當時，令，則，故，故當時，，故排除D；而，故排除A，故選B．6．已知，，則“”是“”的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】表示頂點分別為的橢圓上及橢圓內(nèi)部區(qū)域內(nèi)的點，表示頂點的菱形上以及菱形內(nèi)部區(qū)域內(nèi)的點，故可得是的充分不必要條件，故選A．7．已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（）A．若，，則B．若，且，，則C．若，且，則D．若，，則【答案】C【解析】A選項，當，，時，不能得出，故該選項不正確；B選項，由題得或相交，所以該選項錯誤；C選項，由題得，又，所以，所以該選項正確；D選項，，時，，，不能得出，故該選項錯誤，故選C．8．已知直線與圓相交于兩點，且這兩點關(guān)于直線對稱，則的值分別為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵直線與圓的兩個交點關(guān)于直線對稱，∴直線經(jīng)過圓心且直線與直線垂直，∴，解得，故選B．9．任何一個函數(shù)都可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)和或差的形式，若已知函數(shù)，若將表示成一個偶函數(shù)和一個奇函數(shù)的差，且對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，有，解得，，，可化為，有，有，得，又由，有，故選C．10．在體積為8的正方體內(nèi)部任意取一點，能使四棱錐，，，，，的體積大于的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】作與正方體每個面平行且距離為的截面，從而可以在正方體內(nèi)部得到一個小的正方體，由題意可得當點落在小正方體內(nèi)部時，能使四棱錐，，，，，的體積大于，根據(jù)幾何概型概率公式知，故選D．11．已知函數(shù)（）的值域為，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為（其中）．令，，因為，所以．因為，且，所以，，故，即．當時，單調(diào)遞減，因為，，所以，故選D．12．已知橢圓的左右焦點分別為，點是橢圓上一點，點是線段上一點，且，，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，則，由余弦定理得，即，所以，因為，所以，整理得，即，整理得，所以，，，故選B．第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．的展開式中的系數(shù)為________．【答案】27【解析】由，所以的系數(shù)為27，故答案為27．14．若函數(shù)的值域為，試確定的取值范圍是_________．【答案】【解析】令，則；令，解得或，即或，解得或，故的取值范圍是．15．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，，則的周長的最大值是_________．【答案】6【解析】因為，所以，即，所以可得，所以，解得，當且僅當時等號成立，故，所以的周長的最大值為6．16．已知函數(shù)，若在上恒成立，則正實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】因為；易得為奇函數(shù)，且為增函數(shù)；又因為，所以在上恒成立在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，設(shè)，所以，且，當時，，所以在上遞增，所以，滿足；當時，令，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，這與矛盾，所以不滿足，綜上可知，故答案為．三、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）依題，在兩邊同時除以，得，，故數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）得，可得，所以，則數(shù)列的前項和，所以，令①，則②，由①—②可得，所以，所以．18．（12分）某市為提高市民的安全意識，組織了一場知識競賽，已知比賽共有2000位市民報名參加，其中男性1200人，現(xiàn)從參賽的市民當中采取分層抽樣的方法隨機抽取了100位市民進行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)分數(shù)分布在450~950分之間，將結(jié)果繪制的市民分數(shù)頻率分布直方圖如圖所示：將分數(shù)不低于750分的得分者稱為“高分選手”．（1）求的值，并估計該市市民分數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分數(shù)落在，內(nèi)的兩組市民中抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人，記被抽取的3名市民中屬于“高分選手”的市民人數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望；（3）若樣本中屬于“高分選手”的女性有15人，完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為該市市民屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)？屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計男生女生合計（參考公式：，期中）【答案】（1），平均數(shù)670，中位數(shù)650，眾數(shù)600；（2）分布列見解析，期望為；（3）填表見解析，有的把握認為．【解析】（1）由題意知，解得，樣本平均數(shù)為，中位數(shù)650，眾數(shù)600．（2）由題意，從中抽取7人，從中抽取3人，隨機變量的所有可能取值有0，1，2，3．，所以隨機變量的分布列為：0123隨機變量的數(shù)學期望．（3）由題可知，樣本中男性60人，女性40人，屬于“高分選手”的25人，其中女姓15人；得出以下列聯(lián)表；屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計男生105060女生152540合計2575100，所以有的把握認為該市市名屬于“高分選手”與性別有關(guān)．19．（12分）如圖所示，直角梯形中，，，，四邊形EDCF為矩形，，平面平面．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】證明：連接BD，依題可得，，∴，∴，又四邊形EDCF為矩形，平面平面，∴平面，∴，∵，∴平面，∴平面平面．（2）取中點G，連接．如圖，以為原點，所在直線為軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，，不妨設(shè)，，則，；設(shè)平面的一個法向量為，，不妨設(shè)，則，，，設(shè)向量與的夾角為，則，，∴二面角的余弦值為．20．（12分）橢圓的方程為，過橢圓左焦點且垂直于軸的直線在第二象限與橢圓相交于點，橢圓的右焦點為，已知，橢圓過點．（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓的右焦點作直線交橢圓于、兩點，交軸于點，若，，求證：為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】依題可知，，所以，即，解得①又橢圓過點，②，聯(lián)立①②可得，，橢圓的標準方程為．（2）設(shè)點、，，由題意可知，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由于點在橢圓的內(nèi)部，直線與橢圓必有兩個交點，由韋達定理可得，，，，，得，，，，．21．（12分）已知函數(shù)．試討論函數(shù)的零點個數(shù)；設(shè)，為函數(shù)的兩個零點，證明：．【答案】（1）見解析；（2）證明見解析．【解析】，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，；當時，；當時，，所以當時，有一個零點；當時，有兩個零點；當時，有一個零點；當時，沒有零點．（2）由題意可得函數(shù)的定義域為，，設(shè)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，列表如下：x10極小值所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，設(shè)，可得，，因為，所以，設(shè)函數(shù)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】在直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求曲線的極坐標方程和直線的普通方程；（2）過點，傾斜