2022屆廣西桂林河池來賓北海崇左市高三5月高考聯(lián)合模擬考試數(shù)學（理）試題

/18/18/2022屆廣西桂林、河池、來賓、北海、崇左市高三5月高考聯(lián)合模擬考試數(shù)學（理）試題一、單選題1．已知集合，則（???????）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】，在數(shù)軸上分別表示A和B的范圍，根據(jù)交集的定義有；故選：B.2．已知是虛數(shù)單位，若復數(shù)，則（???????）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】利用復數(shù)運算求得，由此求得.【詳解】，所以.故選：C3．如圖是一個幾何體的三視圖，其中正視圖與側視圖都是邊長為的等邊三角形，俯視圖是直徑為的圓．則該幾何體的表面積為（???????）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三視圖可還原幾何體為圓錐，利用圓錐表面積公式可求得結果.【詳解】由三視圖可知幾何體是如下圖所示的圓錐，其中圓錐的底面圓半徑為，母線長為，幾何體的表面積.故選：A.4．某區(qū)域有大型城市24個，中型城市18個，小型城市12個，為了解該區(qū)域城市空氣質量情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取9個城市進行調查，則應抽取的大型城市個數(shù)為（???????）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先算抽樣比，然后由大型城市數(shù)乘以抽樣比可得.【詳解】，應抽取的大型城市個數(shù)為個．故選：D．5．在等比數(shù)列中，已知，則公比（???????）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質求得，再結合已知條件，即可求得結果.【詳解】由等比數(shù)列，解得，所以，所以.故選：.6．在區(qū)間內隨機取一個數(shù)x，使得不等式成立的概率為（???????）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解不等式，然后由區(qū)間長度比可得.【詳解】因為，所以不等式的解集為，所以所求概率為．故選：A．7．設經(jīng)過點的直線與拋物線相交于兩點，若線段中點的橫坐標為，則（???????）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)中點坐標公式可求得，利用拋物線焦點弦長公式可求得結果.【詳解】設，，中點橫坐標為，則，解得：；.故選：C.8．曲線在點處的切線方程為（???????）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導數(shù)的幾何意義得到切線的斜率，利用點斜式求出切線方程.【詳解】∵∴，所以，又當時，，所以在點處的切線方程為：，即.故選：A.9．設為兩個不同的平面，則的一個充分條件可以是（???????）A．內有無數(shù)條直線與平行 B．垂直于同一條直線C．平行于同一條直線 D．垂直于同一個平面【答案】B【分析】利用線面，面面平行垂直的判定或性質對各個選項進行分析即可得到答案.【詳解】對于A，內有無數(shù)條直線與平行不能得出兩個平面可以相交，故A錯；對于B，垂直于同一條直線可以得出，反之當時，若垂直于某條直線，則也垂直于該條直線，正確；對于C，平行于同一條直線，則兩個平面可以平行也可以相交，故錯誤；對于D，垂直于同一平面的兩個平面可以平行也可以相交，故錯誤；故選：B．10．已知，若，則（???????）A．2 B． C．1 D．0【答案】B【分析】由題可得，進而即得.【詳解】∵，，∴必有，∴，解得或（舍去），∴.故選：B.11．已如A，B，C是表面積為的球O的球面上的三個點，且，，則三棱錐的體積為（???????）A． B． C． D．【答案】C【分析】設球的半徑為，外接圓的半徑為，根據(jù)題意求出，再根據(jù)球心到的距離，即三棱錐的高，從而可得出答案.【詳解】解：設球的半徑為，外接圓的半徑為，在中，由，，則得，所以，因為球O的表面積為，則，解得，所以球心到的距離，即三棱錐的高為，，所以三棱錐的體積.故選：C.12．已知，，是圓上的一個動點，則的最大值為（???????）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，分別表示出，由余弦定理得到：，利用求出最大值.【詳解】設，則，其中.因為，，所以.由余弦定理得：，因為，所以.所以.記.則所以令，解得：；令，解得：；所以.故選：D【點睛】解析幾何中與動點有關的最值問題一般的求解思路：①幾何法：利用圖形作出對應的線段，利用幾何法求最值；②代數(shù)法：把待求量的函數(shù)表示出來，利用函數(shù)求最值.二、填空題13．的展開式中的系數(shù)為_______．【答案】24【分析】利用二項展開式的通項公式，進行計算求解即可.【詳解】，因為的展開式為：，當時，該展開式中的系數(shù)為.而的展開式為：，當時，該展開式中的系數(shù)為.所以，該展開式中的系數(shù)為.故答案為：2414．函數(shù)的極小值是______．【答案】2【分析】利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，由此可求得函數(shù)的極小值.【詳解】由題意可得．由，得或；由，得，則在和上單調遞增，在上單調遞減，則．故答案為：15．已知是平面內兩個相互垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值為__________．【答案】【分析】建立直角坐標系，用坐標表示向量，根據(jù)幾何意義求解即可.【詳解】以為x軸，為y軸，建立直角坐標系，則，，設，依題意有，，，即，向量的終點在圓心為，半徑為的圓上，的最大值=；故答案為：.16．已知為雙曲線的右焦點，經(jīng)過作直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，直線與雙曲線的另一條漸近線在第二象限的交點為．若，則雙曲線的離心率為______．【答案】【分析】設，與雙曲線兩漸近線聯(lián)立可求得坐標，利用可構造齊次方程求得離心率.【詳解】由題意可設：，由得：，即；由得：，即；，，即，，即，，解得：，即雙曲線的離心率為.故答案為：.【點睛】思路點睛：求解圓錐曲線離心率或離心率取值范圍問題的基本思路有兩種：（1）根據(jù)已知條件，求解得到的值或取值范圍，由求得結果；（2）根據(jù)已知的等量關系或不等關系，構造關于的齊次方程或齊次不等式，配湊出離心率，從而得到結果.三、解答題17．下表是某高校2017年至2021年的畢業(yè)生中，從事大學生村官工作的人數(shù)：年份20172018201920202021年份代碼12345（單位：人）24478經(jīng)過相關系數(shù)的計算和繪制散點圖分析，我們發(fā)現(xiàn)與的線性相關程度很高.請建立關于的回歸方程，并據(jù)此回歸方程預測該校2023年的畢業(yè)生中，去從事大學生村官工作的人數(shù).附：，.【答案】，11人【分析】根據(jù)回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程，并求得預測值.【詳解】依據(jù)題意得：，，，，，.∴所求回歸方程為.當時，.所以預測該校2023年的畢業(yè)生中，去從事大學生村官工作的人數(shù)大約為11人.18．的內角A，B，C的對邊分別為，，.已知.(1)求B；(2)若，______，求的面積.在①，②的周長為這兩個條件中任選一個，補充在橫線上.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由正弦定理，利用三角公式整理化簡，從而求出.（2）選擇條件①：先求出，，利用正弦定理得，，即可求出的面積；選擇條件②：利用余弦定理求得，即可求出的面積.【詳解】(1)由正弦定理得，因為，所以，所以，即.因為，所以，所以.(2)選擇條件①：因為，所以，，因為，所以，解得，，所以的面積為.選擇條件②：因為的周長為，所以，因為，所以，所以.所以的面積為.19．如圖，在五面體ABCDE中，平面ABC，，，.(1)求證：平面平面ACD；(2)若，，五面體ABCDE的體積為，求直線CE與平面ABED所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）若是中點，連接，作，根據(jù)題設可得兩兩垂直，構建空間直角坐標系，令，并確定點坐標，求面、面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示即可證結論.（2）根據(jù)已知體積，結合棱錐的體積公式求出，進而求面ABED的法向量、直線CE的方向向量，應用空間向量夾角的坐標表示求線面角的正弦值.【詳解】(1)若是中點，連接，作，由知：，因為面ABC，則面ABC，又面ABC，所以，，綜上，兩兩垂直，故可構建如下圖示的空間直角坐標系，令，，，則，，，所以，，若是面的一個法向量，即，令，則，又是面的一個法向量，則，所以面面.(2)由面ABC，面ABED，則面ABED面ABC，故到面ABED的距離，即為△中上的高，因為，，則，故，所以上的高.又面ABC，則，而，有，，所以為直角梯形，令，則，綜上，，故.由（1）知：，，，，所以，，若是面ABED的一個法向量，即，令，則，而，則，所以直線CE與平面ABED所成角的正弦值為.20．已知橢圓C：經(jīng)過點，其右頂點為.(1)求橢圓C的方程；(2)若點P，Q在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為.求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，再結合，即可解出，從而得出橢圓C的方程；（2）依題可設，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，即可得到，然后結合，可找到的關系，從而可知直線PQ經(jīng)過定點，于是△APQ面積等于，即可求出其最大值．【詳解】(1)解：依題可得，，解得，所以橢圓C的方程為．(2)解：易知直線AP與AQ的斜率同號，所以直線不垂直于軸，故可設，，，由可得，，所以，，，而，即，化簡可得，①，因為，所以，令可得，②，令可得，③，把②③代入①得，，化簡得，所以，或，所以直線或，因為直線不經(jīng)過點，所以直線經(jīng)過定點．設定點，所以，，因為，所以，設，所以，當且僅當即時取等號，即△APQ面積的最大值為．21．已知且，函數(shù)．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調遞增；上單調遞減；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導函數(shù)，利用導函數(shù)的正負與函數(shù)的單調性的關系即可得到函數(shù)的單調性；（2）方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點等價轉化為方程有兩個不同的實數(shù)根，即曲線與直線有兩個交點，利用導函數(shù)研究的單調性，并結合的正負，零點和極限值分析的圖象，進而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調性得到的取值范圍.【詳解】（1）當時，,令得,當時，,當時，,∴函數(shù)在上單調遞增；上單調遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設函數(shù),則,令，得,在內,單調遞增；在上,單調遞減；,又，當趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個交點知，即在區(qū)間內有兩個解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內有兩個解．構造函數(shù)，求導數(shù)得．當時，在區(qū)間內單調遞增，所以，在內最多只有一個零點，不符合題意；當時，，令得，當時，；當時，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當時，有，即，由函數(shù)在內有兩個零點知，所以，即．構造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當且僅當時取等號，故的解為且．所以，實數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個交點等價為在區(qū)間內有兩個不相同的解．因為，所以兩邊取對數(shù)得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點．①當時，與只有一個交點，不符合題意．②當時，取上一點在點的切線方程為，即．當與為同一直線時有得直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點．記，令，有．在區(qū)間內單調遞增；在區(qū)間內單調遞減；時，最大值為，所當且時有．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因為，由得．當時，在區(qū)間內單調遞減，不滿足題意；當時，，由得在區(qū)間內單調遞增，由得在區(qū)間內單調遞減．因為，且，所以，即，即，兩邊取對數(shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間內單調遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實數(shù)a的范圍為．]【整體點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，根據(jù)曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，方法一：將問題進行等價轉化，分離參數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，圖象，利用數(shù)形結合思想求解.方法二：將問題取對，構造差函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值.方法三：將問題取對，分成與兩個函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)過原點的切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結論．方法四：直接求導研究極值，單調性，最值，得到結論.22．在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線的方程為．以坐標原點的極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求直線及曲線的極坐標方程；(2)設直線與曲線相交于，兩點，滿足，求直線的斜率．【答案】(1)；；(2).【分析】(1)對于直線l，消掉參數(shù)t化為極坐標方程即可；對于C，代入x＝ρcosθ、y＝ρsinθ化簡即可；(2)將直線的極坐標方程代入曲線C的極坐標方程，方程的兩根的絕對值即為，利用韋達定理即可求l斜率﹒【詳解】(1)；；∴直線l的方程為：；曲線的方程為：；(2)將代入曲線C的方程得，①，則M