三角學(xué)全等公理的教學(xué)設(shè)計(jì)研究

淮北師范大學(xué)2013屆學(xué)士學(xué)位論文三角學(xué)全等公理的教學(xué)設(shè)計(jì)研究學(xué)院、專業(yè)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究方向數(shù)學(xué)教育學(xué)生姓名李俊福學(xué)號20091101061指導(dǎo)教師姓名張昆指導(dǎo)教師職稱講師2013年4月24日三角學(xué)全等公理的教學(xué)設(shè)計(jì)研究摘要本文首先給出三角形全等公理的概念,并指出《全等三角形》教學(xué)設(shè)計(jì)的重點(diǎn)與難點(diǎn),從生活中的實(shí)例去激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題求知欲,使整個(gè)教學(xué)過程充滿趣味性.本文著重去引導(dǎo)學(xué)生注意身邊的事物與數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系,學(xué)會對已學(xué)數(shù)學(xué)知識的靈活運(yùn)用,并學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題,解決問題,如;日常生活中人們是怎么利用三角形全等？學(xué)習(xí)三角形全等對于我們中考以及以后的學(xué)習(xí)有哪些幫助？在本章教學(xué)設(shè)計(jì)將為同學(xué)們展現(xiàn)并解決這些數(shù)學(xué)問題,重新認(rèn)識三角形全等公理及其它有關(guān)的性質(zhì),教會學(xué)生轉(zhuǎn)化思維方式,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力,分析問題、解決問題和綜合運(yùn)用知識能力.但是在學(xué)習(xí)中學(xué)生們都會忽略知識產(chǎn)生背景以及形成過程,更談不上對知識的靈活運(yùn)用,不會理論聯(lián)系實(shí)際把握知識的重難點(diǎn).所以在本課題教學(xué)設(shè)計(jì)中將解決這些問題是非常重要的.關(guān)鍵詞:三角形全等,公理,教學(xué)設(shè)計(jì),邏輯思維ResearchofteachingonTrigonometryCongruentAxiomaticdesignAbstractAtfirst,thispaperintroducestheconceptoftrianglesarecongruentaxiom,pointsoutthekeypointsanddifficultiesofcongruenttrianglesinteachingdesign,stimulatesstudents’desiretofindproblemsinlifeandmakesthewholeteachingprocessinteresting.Thispaperfocusonguidingstudentstopayattentiontotheconnectionbetweenthingsaroundusandmathematicalknowledge,tolearntoflexiblyusetheacquiredmathematicalknowledgetofindproblemsandsolvethem.Forexample,howdopeopleusecongruenttrianglesindailylife?Cancongruenttriangleshelpusinseniorhighschoolentranceexaminationandfuturestudy?Havingshownandsolvedthemathematicalproblems,andrecognizedtrianglesarecongruentaxiomandotherrelatednature,thispaperaimsatteachingstudentstransitionalthinkingmethod,cultivatingstudentslogicalthinkingability,analyzeandsolveproblems’ability,andtheabilityinintegratingknowledge.Becausestudentsoftenignorethebackgroundknowledgeandtheformationprocess,letaloneflexiblyuseknowledgeandgraspthekeypointsanddifficultpointsatthebaseoftheoryandpractice,itisimportanttosolvetheseproblemsinthisprojectinstructionaldesign.Keywords:congruenttriangles,axiom,instructionaldesign,logicalthinking目錄一、提出問題 1二、教材的選擇以及教學(xué)設(shè)計(jì)方法 1三、三角形全等的概念及其分析 2四、三角形全等判定及其應(yīng)用 2(一)公理ASA的證明 2(二)公理SAS的證明及例題 3(三)公理SSS的證明及例題 5(四)公理AAS的證明及例題 5(五)公理HL的證明 7五、三角形全等的性質(zhì)及其應(yīng)用計(jì)算 7六、課外興趣探究 9結(jié)論 9參考文獻(xiàn) 10致謝 11PAGE9提出問題在我國,隨著中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革,發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、簡化解題步驟、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力已經(jīng)成為中小學(xué)教師教學(xué)研究的焦點(diǎn),如何把學(xué)習(xí)內(nèi)容與其他學(xué)科相聯(lián)系以及與生活知識聯(lián)系起來,也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究主要內(nèi)容.但是也帶來了一些弊端,例如,課本變得越來越簡單,只有一些概念敘述,幾個(gè)定理公理的證明,然后就是例題的鞏固練習(xí),給老師的教學(xué)帶來了一定的困難,教師若是按照書本內(nèi)容教學(xué)完不成教學(xué)大綱要求,學(xué)生也學(xué)不到什么東西,這就要求我們認(rèn)真選擇教材,因材施教.上?？茖W(xué)技術(shù)出版社出版的八年級數(shù)學(xué)（上冊）全等三角形這章內(nèi)容開篇就說全等三角形的判定是幾何中邏輯邏輯推理的基礎(chǔ)[1].相比較而言,美國教材注重學(xué)生動手實(shí)干,從中尋找到新的問題,由此自然過渡到下一節(jié)的內(nèi)容,使學(xué)生總處于有問題組織而成的情景脈絡(luò)之中,我國教材注重正反例的解析,已達(dá)到鞏固知識的目的,對探究過程中的步驟的要求并不是很嚴(yán)格,大部分是給出條件后,讓學(xué)生探究最后的結(jié)論是否正確[2].在應(yīng)試教育大環(huán)境下,學(xué)生和老師往往為了分?jǐn)?shù)只注重解題方法與結(jié)果,對于理論知識來源并不深入探究,導(dǎo)致學(xué)生部分理論知識和邏輯推理訓(xùn)練欠缺.通過《三角學(xué)全等公理的教學(xué)設(shè)計(jì)研究》培養(yǎng)學(xué)生能夠直觀觀察比較三角形圖形識別兩個(gè)三角形全等,并通過正確的學(xué)習(xí)方法掌握理解并能靈活運(yùn)用兩個(gè)三角形全等判定進(jìn)行解題,以期達(dá)到理論的掌握邏輯思維得到訓(xùn)練.由此可知初中生學(xué)習(xí)定理（公理）及其邏輯推理是必要的,也是完全可能的[3].教材的選擇以及教學(xué)設(shè)計(jì)方法由于地域差異,各個(gè)地區(qū)的中學(xué)教材也各不相,本文就以上海科學(xué)技術(shù)出版社出版的八年級數(shù)學(xué)（上冊）為準(zhǔn),同時(shí)適當(dāng)綜合一些優(yōu)秀的教案來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)研究.對于三角形全等判定我們大致可以分為三部分,公理的引入,公理的證明,例題的鞏固公理.引入可以上一堂課布置作業(yè)讓學(xué)生去探究一下,并準(zhǔn)備好上課的必要工具,上課時(shí)候老師再進(jìn)行論述引導(dǎo),對于公理的明確和鞏固,我們教材的順序來看邊角邊公理與角邊角公理并沒有邏輯順序,只不過遵循了歐幾里德《幾何原本》中的順序而[4].從中學(xué)平面幾何教材可以看到,三角形全等公理的教學(xué)設(shè)計(jì)有許多方法,例如可以采用課前預(yù)習(xí),課堂講解,課后鞏固的傳統(tǒng)教育模式;采用觀摩教學(xué)方法;課堂動手實(shí)踐教學(xué)等的方法.通過對學(xué)生和一些任課教師大量調(diào)查和一些同學(xué)和本人的實(shí)習(xí)和家教經(jīng)驗(yàn),認(rèn)為采用傳統(tǒng)的課堂講授加上小組動手實(shí)踐分析討論的教學(xué)方法比較好,能夠吸引學(xué)生的注意力,培養(yǎng)他們的動手能力,注意上課的板書設(shè)計(jì),爭取讓大部分同學(xué)一目了然,能給初學(xué)者減少負(fù)擔(dān),激發(fā)求知欲.同時(shí)能夠訓(xùn)練邏輯思維能力,語言組織能力等等.若在條件允許情況下,可以使用幾何畫板來演示我們所需要進(jìn)行教學(xué)的幾何圖形.并滲透”觀察實(shí)驗(yàn)、概括歸納”的數(shù)學(xué)教學(xué)方法以及”從特殊到一般再到特殊”的辯證唯物主義思想.三角形全等的概念及其分析思考：下面的圖形中,形狀和大小完全相同的圖形有哪幾對？.通過同學(xué)們的討論、理解,與老師的分析,我們可以得到如下答案；A與F;B與G;C與H;D與I;E與J是完全相同一般情況下,稱能夠完全重合兩個(gè)圖像,叫做全等形(congruentfigures)[1],如上圖B與G,兩個(gè)三角形能夠完全重合,稱為全等三角形,表明他們的大小形狀一樣.全等三角形（congruenttriangles）中互相重合的邊叫做對應(yīng)邊,顯然三角形對應(yīng)邊相等.全等三角中互相重合的角叫做對應(yīng)角,顯然,全等三角形的對應(yīng)角相等,從而可以看出互相重合的頂點(diǎn)叫對應(yīng)頂點(diǎn)[1].記兩個(gè)三角形全等時(shí),通常用表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)位置上,例如我們知道三角形有三條邊和三個(gè)角,確定一個(gè)三角形的形狀、大小至少需要其中有三個(gè)元素.確定三角形的形狀、大小的條件能否作為判定三角形全等條件呢?四、三角形全等判定及其應(yīng)用我們原來學(xué)習(xí)過用尺規(guī)作出一些簡單的線段、角度,下面我們利用尺規(guī)作圖畫出三角形,來研究兩個(gè)三角形全等的條件.若是條件允許,我們也可以制作多媒體課件來進(jìn)行展示公理的推導(dǎo)過程,使其更加形象生動,加深學(xué)生對于圖形的記憶力和對公理的理解.(一)公理ASA的證明我們用等腰三角板在硬紙板上畫出兩個(gè)等腰直角三角形,然后用剪刀把它們剪下來,把剪好的圖形疊放在一起,多次嘗試變動,看看它們能否完全重合?我們再看看下面作的這個(gè)圖形是不是完全重合？將所作的與疊一疊,你會發(fā)現(xiàn)它們是否完全重合?由此可以得出什么結(jié)論?由此我們可以得出判定兩個(gè)三角形全等的第一個(gè)定理；兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.簡記”角邊角”或”ASA”[1].換一句話說;角兩頭站,中間一條縫（邊）,兩角頂點(diǎn)字母組成邊.(二)公理SAS的證明及例題在硬紙板上畫兩個(gè)相等的角,在這兩個(gè)相等角中,以這兩個(gè)角的頂點(diǎn)為一個(gè)端點(diǎn)在角的兩邊分別畫出對應(yīng)相等線段,連接另兩個(gè)端點(diǎn),就構(gòu)成了兩個(gè)三角形,然后剪下兩個(gè)三角形,把這兩個(gè)三角形重疊在一起,可以多做幾次,看看是否完全重合?我們看看下面作的這個(gè)圖形是不是完全重合?;由此我們可以得出判定兩個(gè)三角形全等的第二個(gè)定理；兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等,簡記為”邊角邊”或”SAS”[1].換句話說;邊在兩頭角在中間,角的頂點(diǎn),字母在邊上用兩次.例題;有一塊不規(guī)則的湖泊,下面是兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)的能夠粗略地測量出湖泊兩端A、B的距離的方案,請你分析一下兩種方案的理由.方案一：小明想出了這樣一個(gè)方法,如圖①所示,先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D,使CD＝BC,再定出BF的垂線DE,使A、C、E在同一條直線上,測得DE的長就是AB的長.你能說明一下這是為什么嗎？方案二：小軍想出了這樣一個(gè)方法,如圖②所示,先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)魚池兩端A、B的點(diǎn)C,連結(jié)AC并延長到點(diǎn)D,使CD＝CA,連結(jié)BC并延長到E,使CE＝CB,連結(jié)DE,量出DE的長,這個(gè)長就是A、B之間的距離.你能說明一下這是為什么嗎？解；粗看一下和前面的例子有相似之處.小明的做法有道理,其理由如下:因?yàn)锳B⊥BF,DE⊥BF,所以∠ABC＝∠FED又因?yàn)锳、C、E三點(diǎn)在同一條直線上,所以∠ACB＝∠ECD,且BC＝DC,所以△ABC≌△EDC（ASA）,所以AB＝DE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.小軍的做法有道理,其理由如下：因?yàn)樵凇鰽BC和△DCE中,CD＝CA,∠ACB＝∠DCE（對頂角相等）,CE＝BC,所以△ABC≌△DEC（SAS）,所以AB＝DE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.以上兩個(gè)例題有相似之處,學(xué)習(xí)的時(shí)候要求學(xué)生會舉一反三,進(jìn)而加深記憶.(三)公理SSS的證明及例題;由此我們可以得出判定兩個(gè)三角形全等的第三個(gè)定理；三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.簡記為”邊邊邊”或”SSS”[1].上面的結(jié)論說明,只要三角形三邊的長度確定了,這個(gè)三角形的形狀和大小完全確定,這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.日常生活中,我們常會看到應(yīng)用三角形穩(wěn)定性的例子.如建立斜拉橋上的三角形結(jié)構(gòu)、三條腿的板凳等等.(四)公理AAS的證明及例題探究,我們已經(jīng)知道ASA、SAS、SSS都可以作為判定兩個(gè)三角形全等的條件.其實(shí),在三角形的六個(gè)基本元素中選擇三個(gè)元素對應(yīng)相等,除了可以配成SAS、ASA、SSS外,還可以配成;AAA、SSA(ASS)、AAS(SAA).想一想,分別滿足后面三組條件中任一組的兩個(gè)三角形,即;三個(gè)角分別相等；兩邊和其中一邊的對角分別相等；兩角和其中一角的對邊分別相等.能判定這兩個(gè)三角形全等嗎?學(xué)生動手作一作,想一想,探一探.分小組進(jìn)行討論研究一下,老師適當(dāng)引導(dǎo)加以提示.上述”探究”中的命題（1）、（2）,它們是不成立的.這里老師一定要講清楚AAA、SSA(ASS)不成立的原因,否則以后的證明題目中學(xué)生還會出現(xiàn)這類證明的結(jié)果,為了加深學(xué)生的記憶力,可以舉出以下例子,如邊長不等兩個(gè)等邊三角形他們的三個(gè)角均為,但是這兩個(gè)等邊三角形不全等.如圖,對于（3）,由三角形三個(gè)內(nèi)角和等于,可以推算第三個(gè)角也相等,這樣也全等,AAS就可以轉(zhuǎn)化為ASA,從而可以判定這樣的兩個(gè)三角形也全等.由此我們可以得出判定兩個(gè)三角形全等的第四個(gè)定理：即兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.簡記為”角角邊”或者”AAS”[1].換句話;兩角并頭站,邊在底下行.例如圖,點(diǎn)B、F、C、D在一條直線上,AB=ED,AB//ED,AC//EF.;.由此可知,判定兩個(gè)三角形全等的條件,有ASA、SAS、AAS、SSS四種情況,我們知道直角三角形屬于特殊的三角形,除了證明上述證明一般三角形的判定定理外,有沒有特定的方法來證明直角三角形呢?(五)公理HL的證明由此我們可以得到判定兩個(gè)直角三角形全等的定理;斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.簡記為”斜邊、直角邊”或”HL”[1].了解判定三角形全等公理,我們就可以帶著結(jié)果去尋找我們需要的條件,證明三角形全等就容易些,因此,除了要精心設(shè)計(jì)例題外,還要展現(xiàn)解體的思維過程,并啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生逐一排除阻礙,逐步頓悟,挖掘思維價(jià)值,越過思維障礙,從而使學(xué)生的.學(xué)生是不是會想到三角形全等,周長和面積也就相等.那么,周長和面積相等,兩個(gè)三角形就不一定全等.例如,邊長分別為5、5、8和6、.五、三角形全等的性質(zhì)及其應(yīng)用計(jì)算1．全等三角形對應(yīng)角相等.2．全等三角形對應(yīng)邊相等.3．全等三角形對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等.4．全等三角形對應(yīng)角的角平分線相等.5．全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等.6．全等三角形面積相等.7．全等三角形周長相等.8．全等三角形對應(yīng)角的三角函數(shù)值相等.1、如圖所示,AB是OD的弦,半徑OC、OD分別交AB于點(diǎn)E、F,且AE=BF,請你找出線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.2、(例2[7])已知AB=AC,AD=AE,AB與CD交于M,AC與BE交于N,求證；AM=AN.注:上題通過兩次證明加深學(xué)生對證明三角形全等的認(rèn)識,再次總結(jié)了兩次證明全等的分析方法,這種方法很必要.3、（2010·潼南中考）如圖,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,點(diǎn)G是BC延長線上一點(diǎn),連結(jié)AG,點(diǎn)E、F分別在AG上,連接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4.(1)證明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°,求EF的長.證明:（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長為2的正方形,所以AB=AD,在△ABE和△DAF中,,所以△ABE≌△DAF.解（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以∠1+∠4=90o因?yàn)椤?=∠4,所以∠1+∠3=90o∴∠AFD=90o在正方形ABCD中,AD∥BC,所以∠1=∠AGB=30o在Rt△ADF中,∠AFD=90o,AD=2,由三角函數(shù)定理,所以AF=,DF=1,由(1)得△ABE≌△ADF,所以AE=DF=1,所以EF=AF-AE=.六、課外興趣探究有興趣的情況下可以探討一下,三角形的周長和面積都相等這兩個(gè)條件對證明三角形全等,通過添加適當(dāng)?shù)臈l件,得到三角形全等的相關(guān)結(jié)論.定理[6].若兩個(gè)三角形周長和面積都相等,并且有一個(gè)角對應(yīng)相等,則這兩個(gè)三角形全等.推論1[6].若兩個(gè)三角形周長和面積都相等,并且有一邊對應(yīng)相等則這兩個(gè)三角形全等.推論2[6].若兩個(gè)三角形有一角及其對邊對應(yīng)相等且周長相等,則這兩個(gè)三角形全等.推論3[6].若兩個(gè)三角形有一角及其對邊對應(yīng)相等且面積相等,則這兩個(gè)三角形全等.結(jié)論對于全等三角形的研究,實(shí)際是平面幾何中對封閉的兩個(gè)圖形關(guān)系研究的第一步.三角學(xué)全等公理也是研究線段和角相等的重要工具,它是兩個(gè)三角形間最簡單,最直接,最常見的關(guān)系.它為以后學(xué)習(xí)軸對稱圖形、中心對稱圖形、四邊形、多邊形、相似三角形等理論學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ),并且是證明線段相等、角相等以及兩線互相垂直、平行的重要依據(jù).因此必須熟練地掌握全等三角形的判定方法（ASA、SAS、SSS、AAS、HL）,并且要求學(xué)生靈活應(yīng)用.因此在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中,盡量