《一元二次方程解法》經(jīng)典例題精講

(xy2)(xy2)2《一元二次程的解法》典例題精講例1方x25

．分析：解一元二次方程的方法有四種，而此題用直接開平方法較好．解：x25

，x

，25

，x＝±5．∴

xx2

．例2方程．分析：如果把x＋3看作一個(gè)字母y，就變解方程了．解：

(x

，x2

，xx

，∴

，12

．例3方程．分析：解此題雖然可用因式分解法、公式法來解，但還是用直接開平方法較好．解：

2)

81整理，

4(x

，(x2)

2

814，x

92∴

x1

13，x2．注意：對(duì)可用直接開平方法來解的一元二次方程，一定注意方程有兩個(gè)解；x

，則

x

；若

(x

，則

．例4方x

2

2

．分析：此題不能用直接開平方法來解，可用因式分解法或用公式法來解．解法一x

2

3x0

，(x－2)(x－1)＝0，x－2＝0，x－1＝0，/

2222222222∴

xx1

．解法二∵a＝1，b＝－3，c＝2，∴

b

，∴

x

1

．∴

x，x

．注意：用公式法解方程時(shí)，要正確地確定方程各項(xiàng)的系數(shù)a、、c的值，先計(jì)算“△”的值，若△，則方程無解，就不必解了．例5關(guān)于x的方程

x

2mn)

．分析：先將原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程為關(guān)于x的方程，即x為未知數(shù)，，n為已知數(shù)．在確

的情況下，利用公式法求解．解：把原方程左邊展開，整理，得3mxmn)

．∵a＝1，b＝－2m

，∴

b3m))4n

(m

．∴

x

(m2

3m(m2．∴

x，xm

．注意：解字母系數(shù)的一元二次方程與解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程一樣，都要先把方程化為一般形式，確定、b、cb

4ac

的值，然后求解．但解字母系數(shù)方程時(shí)要注意：哪個(gè)字母代表未知數(shù)，也就是關(guān)于哪個(gè)未知數(shù)的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的、b、c與方程中字母系數(shù)的、b、c相混淆(3)

2

開平方時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)兩種情況，但根號(hào)前有正負(fù)號(hào)包括了這兩種可能，因此，

(m2n)

2n)

．例6配方法解方2x

7x

．分析：解一元二次方程雖然一般不采用配方法來解，但配方法的方法本身重要，要記住．解：2x

7x

，x

73x2，/

222；(3)2224ac221222；(3)2224ac2211xx

3x

，4

2516

，∴

7x4．∴

xx1

12．注意：用配方法解一元二次方程，要把二次項(xiàng)系數(shù)化1，方程左邊只有二次項(xiàng)，一次項(xiàng)右邊為常數(shù)項(xiàng)，然后方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊就配成了一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方．例7解方程，判別下列方程的根的情況：(1)

2x

3x

；(2)

16y7x

．分析：要判定上述方程的根的情況，只要看根的判別4ac符號(hào)就可以了．解：(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4，

的值的∴

b4ac41

．∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)∵a＝16，b＝－24，c＝9，∴

b

22

．∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解．(3)將方程化為一般形

，5x

2

7x

．∵a＝4，b＝－7，c＝5，∴

b4ac＝49－100＝－51<0．∴方程無實(shí)數(shù)解．注意：對(duì)有些方程要先將其整理成一般形式，再正確確定a、、c的符號(hào)．例8知方5xkx

的一個(gè)根是2，求另一根及k的值．分析：根據(jù)韋達(dá)定理

bcxx易得另一根和k的值．再是根據(jù)方程解的意義可知x＝2時(shí)方程成立即把＝2代入原方程先求出值再求出方程的另一根．但方法不如第一種．解：設(shè)另一根為，則/

22121所以22222121所以222k625，∴

x

35，k＝－7．即方程的另一根為，的值為－7．b注意：一元二次方程的兩根之和為a，兩根之積為a．例9用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方2x

3x

兩根的(1)平方和；(2)倒數(shù)和．分析：已知

3x，2．要求(1)

x

2

，(2)

1xx2

，關(guān)鍵是把

xx2

、

1xx1

轉(zhuǎn)化為含有

xx121

的式子．因?yàn)閮蓴?shù)和的平方，等于兩數(shù)的平方和加上這兩數(shù)積的2倍，即b)

2aba

(ab)

，由此可求(1)．同樣，用兩數(shù)和與積表示兩數(shù)的倒數(shù)和．解：(1)∵

1x，2，∴

xx11

2

2xx12

3294

134；(2)

xx13212

x2xx12

1＝3．注意：利用兩根的和與積可求兩根的平方和、倒數(shù)和，其關(guān)鍵是把平方和、倒數(shù)和變成兩根的和與積，其變形的方法主要運(yùn)用乘法公式．例知方2x

的兩根平方和是34，求m的值．/

12122222222221212222222222xpx22分析：已知

mx，x2

12

，m就要在上面三個(gè)式子中設(shè)法用

xx和xx2

來表示

xx2

，m便可求出．解：設(shè)方程的兩根為x121

x、xm2．

，則∵

)2xx1122

，∴

2x(x)1212＝－30．∵

xx12

2，∴m＝－30．注意解此題的關(guān)鍵是把式子

x

x2

變成含

xx1212

的式子從而求得m的值．例一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根是2、10．分析因?yàn)槿魏我辉畏匠潭伎苫癁槎雾?xiàng)系數(shù)為1)

xpx

的形式．如設(shè)其根為

xx

，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得xx

．將p、q的值代入方程中，即得所求方程

(x)xx12

．解：設(shè)所求的方程為

xpx

．∵2＋10＝－p，2×10＝q，∴p＝－12，q＝．∴所求的方程為x

．注意以

xx

為根的一元二次方程不止一個(gè)但一般只寫出比較簡(jiǎn)單的一個(gè)．例知兩個(gè)數(shù)的和等于8，積等于9，求這兩個(gè)數(shù)．分析：把這兩個(gè)數(shù)看作某個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的兩個(gè)根，則這個(gè)方程的一次項(xiàng)系數(shù)就應(yīng)該是－，常數(shù)項(xiàng)應(yīng)該是9，有了這個(gè)方程，再求出它的根，即是這兩個(gè)數(shù)．解設(shè)這兩個(gè)數(shù)為

x12

這兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程為

x

．∵

xxx1212

，∴方程為8x0

．解這個(gè)方程得

x7x2

，∴這兩個(gè)數(shù)為

74

．/

22例圖22-2-1，在長(zhǎng)為32m，寬為20m的長(zhǎng)方形地面上，修筑兩條同樣寬而且互相垂直的道路下的部分作為綠化用草地使草地的面積，那么道路的寬度應(yīng)是多少？分析：設(shè)道路的寬度為xm，則兩條道路的面積和32x20xx題中的等量關(guān)系為：草地面積＋道路面積＝長(zhǎng)方形面積．解：設(shè)道路的寬度為，則32x23220．

2

．x

2

52x100

，(x－2)(x－50)＝0，x－2＝0，x－50＝0，∴

x，x

．∵x＝50不合題意，∴取x＝2．答：道路的寬度為2m．注意：兩條道路重合了一部分，重合的面積x．因此計(jì)算兩條道路的面積和時(shí)應(yīng)減去重合面．例鋼鐵廠去年1份鋼的產(chǎn)量為5000噸，3月份上升到7200，求這兩個(gè)月平均每月增長(zhǎng)的百分率是多少？分析：設(shè)平均每月增長(zhǎng)的百分率為x，則增一次后的產(chǎn)量為50