2023年數學高考一輪復習真題演練(2021-22年真題)專題12導數中的“距離”問題

專題12導數中的“距離”問題

【題型歸納目錄】

題型一：曲線與直線的距離

題型二：曲線與點的距離

題型三：曲線與圓的距離

題型四：曲線與拋物線的距離

題型五：曲線與曲線的距離

題型六：橫向距離

題型七：縱向距離

【典例例題】

題型一：曲線與直線的距離

例1.已知函數/(x)=(x+a)2+(/or+e“)；!，若存在/,使得/(x。),，J,則實數a的值是

e'+1

【解答】解：/(x)=(x+a)2+(Iwc+ea)2,

二函數f(x)可看作動點M(x,/?%)與動點N(-a,-ea)之間距離的平方，

動點M在y=/nr的圖像上，可在丁=夕的圖像上，

問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，

由y=/nr,得y=1=e,貝(Ix=1，

xe

故曲線上的點A/d，-1)到直線y="距離的最小值是4=,

eJ/+]

則/(■￥)...「,根據題意若存在玉)，使得/(x0)?J，

+1e-+1

則/(%)=號/此時N恰為垂足，

由K“N=_L,故"(不)=」,解得：a=4,

e-a°—】ee+e

e

故答案為：01.

e+e

例2.已知函數/(x)=(x+a)2+0+g)2,若存在%使得/(與),,――,則實數。的值為—

ee"+1

【解答】解：函數/(x)=(x+a)2+g+q)2,

e

函數f(x)可以看作是動點M(x,e,)與動點N(-a,‘)之間距離的平方，動點M在函數y="的圖象上，N在

直線y=±x的圖象上,

問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，

由y=，得，yr=ex=—?解得x=-1?

e

所以曲線上點A/（-l,l）到直線y=-x的距離最小，最小距離d=-=2=,

ee亞+1

4

則/（x）…十二，

e~+1

根據題意，要使/（七）,,士，則/（內）=已，

e+1e+1

a1

此時N恰好為垂足，由解得“=小1.

一。+1e~+1

故答案為：二/一」1.

e2+*57l

例3.若實數a,b,c,4滿足仍+42-3/也）2+（。一6/+2）2=0,則J（a-c）2+S-d）2的最小值為

【解答】解：?.?實數。，b,c,d滿足（。+/-3歷a）2+（c-d+2）2=0,

b+a2-3lna=0,c—d+2=0.

分別設y=/(x)=3/nx-x2(x>0),y=x+2.

設直線y=x+2與曲線y=3/〃x-x“x>0)相切于點P(xQ,%).

33,

則f(x)=—2x>f\x0)=---2.XQ=1,解得=1,y0=—1.

XX。

_U+1+2|

點尸到直線y=x+2的距離d=272.

則Qg_c?+$_d￥的最小值為2&.

故答案為：2&.

例4.設函數/。）=（》-4）2+（2如-24）2,其中x>o,awR,存在x0使得/（x。）,,改成立，則實數包的值

5a

是—.

【解答】解：函數/（x）可以看作是動點與動點N（a,2a）之間距離的平方,

動點M在函數y=2/nr的圖象上，N在直線y=2x的圖象上，

問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，

79

由y=2//tr得，y=—=2,解得x=l,?,.曲線上點M（l,0）到立線y=2%的距離最小，最小距離d=—

xx/5

4

則/(幻..丁

根據題意，要使fa,),,1,則f(x0)W，此時N恰好為垂足，

卜=2、12

由,—1)可得嗎？

x0=\,a=~,實數區(qū)的值是5

5a

故答案為：5

例5.已知函數/(1)=爐-2ax+e6x-6aeyx+10/的最小值是',則。的值是—

【解答】解：^f(x)=x2-2ax+e6x-6ae3x4-10a2

=(%2—2ux+Q-)+(e，'_6ae"+9c『)=(x-ci)^+(e''—3Q)?,

可得/?表示兩點a,/'),(a,3a)的距離的平方，

即有函數y=/，,y=3x圖象上的兩點距離的最小值的平方為;,

設宜線y=3x+/與函數y=e*的圖象相切，

設切點為(/〃,〃)，可得3=3*",解得加=0,

即有切點為(0,1),

則(0-4)2+(1-302=*,

解得a=2，

10

則a的值為0.3.

例6.設函數/(x)=(x-q)2+4(/nx-a)2,其中x>0,a&R.若存在正數x(1,使得/(%),,《成立，則實數a

的值是()

121

A.-B.-C.-D.1

552

【解答】解：函數/(x)可以看作是動點加/)與動點N(a,2〃)之間距離的平方，

動點M在函數丁=2歷%的圖象上，N在直線y=2x的圖象上，

問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，由y=2仇r得，/=-=2,解得％=1,

x

9R

曲線上點M(l,0)到直線j=2x的距離。=詈，

4

則/(幻…丁

根據題意，要使/(%)),,[，則/(%)=[，此時N恰好為垂足，

由￡WN=~~―-=--，解得a=-?

a-\25

故選：A.

例7.設函數/(x)=(x-a)2+(加x2-2a)2,其中x>0,awR,存在/使得/(%),,人成立，則實數/?的最

小值為()

124

A.-B.-C.-D.1

555

【解答】解：函數/(X)可以看作動點P(x,/〃f)與點Q(?2〃)的距離的平方，點P在曲線y=2加x上,

點Q在直線y=2x上，問題轉化為直線上的點到曲線上的點的距離的最小值，由y=2/〃工求導可得

/=-,令y'=2,解得x=l,此時y=2/〃1=0,則M(l,0),所以點M(l,0)到直線y=2x的距離

X

d=/2=正即為直線與曲線之間最小的距離，故fMmin=^=i.

j22+(-l)25八"""5

由于存在/使得f5),,6，則f(x)“而即6…3，

故選：C.

例8.已知函數〃x)=；(x-2f)3+(；x-/川+1)3-^若對任意的正實數f,/(X)在R上都是增函數，則

實數a的取值范圍是()

49916

A.(-00,-]B.(-00,-]C.(-co,不D.(-OD,—]

11Q

【解答]解：/(x)=—(x-2f)3+(-x-lnt+l)3--2^,

3313

二?f\x)—+—(—x—lnt+1)2——62,

2222

又對任意的正實數，f(x)在R上都是增函數，

3313一1

二.f(x)=—(x—2/)24—(—x—Int+1)~—tz..0/lxG7?卜.恒.成乂,即q,(%—2/)~+(—x—Int+1)~在x￡/?卜-恒成

22222

立，

?.?。-2，)2+('犬-/加+1)2的幾何意義為動點(2/,/9-1)到直線丫=!X，即x—2y=0上點的距離的平方，

其最小值為⑵-2/加+2)2.

5

令g⑺=2(—/〃f+i)，g?)=也a,

t

當，￡(0,1)時，g")v0,當f￡(l,+oo)時，g”)>0,

，gQ)*=g(1)=4,則匚2)j的最小值為,

.??實數。的取值范圍是(TO,學.

故選：D.

例9.已知實數a,b,c,4滿足|/〃(a-l)-b|+|c-d+2|=0,則(a-4+3-df的最小值為()

A.20B.8C.4D.16

【解答】解：由題意可知，b=ln{a—1),d=c+2>

3-。2+(6-〃)2的幾何意義為曲線6=/〃3-1)上的點3,6)到直線4=0+2上的點。,4)連線的距離的平方,

不妨設曲線y=/〃(x-l)，直線y=x+2,設與宜線y=x+2平行且與曲線y=/〃(x—1)相切的直線方程為

y=x+"?,

顯然直線y=x+2與直線y=x+m的距離的平方即為所求,

f

由y=ln(^x—1)?得y=----,設切點為(x0，y0),

x-1

—=i

%-1%0=2

則%=玉)+機，解得＜m=—2,

y°=lnix{}-1)Jo=O

直線y=x+2與直線y=x+m的距離為性目=2a,

(a-c)2+(b-d)2的最小值為8.

故選：B.

題型二：曲線與點的距離

例10.若點A(O,f)與曲線y=/nr上點5距離最小值為2力，則實數/為()

A.例2+3B.歷3+2C.g/〃3+3D.g/〃2+2【解答】解：設點3坐標為(兌，lnx?),其中拓>0,

???>'=1，.??過點3的切線斜率為,，

x%

?.?當直線AB與過點B的切線垂直時，點A與點B間的距離最小，.?.此時皿;=-x0,/%,t=-q2,

點A與點B間的距離最小值收+(/“,-。2=收+康=2百,

即x。4+x。’—12=0,.解得：玉；=3,又%>0,玉,=G，

t=lnxQ+x；=Iny/i+3=—Irii+3,

故選：C.

例11.若點A(r,o)與曲線y=/上點尸的距離的最小值為2石，則實數1的值為()

+如

A.4---B.4--------C.3+—D.3

3232

【解答】解：>="的導數為了=",

設P(m,e”),可得過P的切線的斜率為*,

當好垂直于切線時，AP取得最小值26,

m\

可得1e二=，

m-te

且Q(mT)2+e2Hl=2上,

可得(小一。2-(加一。-12=0,

解得力—=-3(4舍去)，

即有/，〃=，—加=3,解得初二也，

2

f=3+也，

2

故選：D.

題型三：曲線與圓的距離

例12.已知點尸為函數〃x)=Ec的圖象上任意一點，點Q為圓［x—(e+3f+V=l任意一點，則線段尸。的

e

長度的最小值為（）

222

e-yje-1\12e+1-eyle+1-e11

A.-------------B.---------------C.--------------D.e+——1

eeee

【解答】解：由圓的對稱性可得只需考慮圓心Q(e+L0)到函數/(x)=/，優(yōu)圖象上一點的距離的最小值.

e

設f(x)圖象匕一點、(mjmn)，

由y(x)的導數為『(幻=4,

X

即有切線的斜率為A:=’，

m

Inm-0

可得=-m,

m—{e+—）

即有Inm+trT-(e+—)〃?=0,

由g(x)=Inx+x2-(e+-)x，可得g'(x)=-4-2x-(e+-),

exe

當2v%v3時，g'(x)>0，g&)遞增.

又g(e)=lne+e2-(e+-)-e=O9

e

可得X=e處點(e,l)到點Q的距離最小，且為Jg,

則線段PQ的長度的最小值為、,即Jl+e-

Vee

故選：C.

例13.已知點P為函數/(%)=濟x+e(%>2)圖象上任意一點，點Q為圓b-(e+,+l)f+y2=1上任意一點,

e

則線段PQ的長度的最小值為()

Jl+e2(1+e)-e\l2e2+1-e

A.------------------------B.-----------------

【解答】解：設尸*,/Mr+e),又圓[x-(e+[+l)]2+y2=i的圓心為MQ+,+LO),

ee

令g(4=PM2=(x-e-------1)2+(/nx+e)2,

e

，/、coz1八2e2lnx/、小

g(x)—2x—2(eH----F1)H-------1--------,(x>2).

exx

…、-2e\-lnx2(x2+\-lnx-e)八

g〃(x)=2——-+——=----------;------------>0,

XXX

???g'(x)單調遞增，而g，(e)=0.;.g(x)在(2,e)遞減，在(e,w)遞增，

/、(、(1+e)2.->(l+f)(l+e)2

g(x),“M=g(e)=-j—+(1+e)-=------------------->

ee

.YPMU叵》

e

則線段PQ的長度的最小值為J"e2(l+e)_1；

e

故選：A.

例14.已知點P為函數/(x)=/nr的圖象上任意一點，點。為圓[x-(e+1)/+y2='上任意一點，則線段PQ

e4

長度的最小值為()

.e-y!e2-1宜2\Je24-1-e萬1e1+1-e、11

A.-------------B.---------------C.-------------D.e+------

e2e2ee2

【解答】解：由圓的對稱性可得只需考慮圓心C(e+1,0)到函數f(x)=/nx圖象上一點的距離的最小值.

e

設/(x)圖象上一點(m,lnm),

由/(X)的導數為f'(x)=-,即有切線的斜率為4=L,

xm

Inm-0

可rz得n--------=-m,

加一(e+一)

e

即有Inm+機2一(e+-)m=0,

e

由g(x)=1nx+x2-(e+-)x，可得g'(x)=—4-2x-4--)?

exe

當2<xv3時，g'(x)>0,g(x)遞增.

又g(e)=Ine-ke2-(e+-)*e=0?

e

可得X=e處點P(e,1)到點。的距離最小，且為小口，

則線段PQ的長度的最小值為、24e^-e

\e222e

故選：B.

例15.已知點P為函數/(x)=e，的圖象上任意一點，點Q為圓1尸+>2=i上任意一點，則線段尸。長度

的最小值為()

A.V2-1B.1C.&D.G-1【解答】解：由圓的對稱性可得只需考慮圓心。(1,0)到函數

f(x)=ex圖象上一點的距離的最小值.

設f(x)圖象上一點(祖,d"),

由f(x)的導數為八%)=e",

即有切線的斜率為&=e%

可得

m—\

即有/"'+m—1=0,

由g(x)=e2*+x-l,可得g<x)=2e2*+l>0,g(x)遞增.

又g(0)=0，

可得x=0處點(0,1)到點。的距離最小，且為&，

則線段PQ的長度的最小值為應-1，

故選：A.

題型四：曲線與拋物線的距離

例16.設以4,b)=J(a-b)2+(lna-—)2+—(tz>0,/?e7?),當〃，力變化時向。力)的最小值為____.

V44

【解答】解：設f(x)=l)vc,g(x)=—,!Hll.(a-b)2+(/na--)2表示函數f(x)上一點與函數g(x)上

4V4

一點Q(b,左)之間的距離，

4

元2一ir

又函數g(x)=—表示焦點為尸(0,1),準線為y=-l的拋物線，山拋物線的定義可得一=ieF|-l,

44

由圖觀察可知，當點尸運動至點P,且b垂直于過點產的函數f(x)=/nx的切線，點Q為線段fF與函數

2

g(x)=二的交點時，IPQI+IQFI-1最小,

4

1(

設/與，%),./(x)=L則%%,解得x。=1,即尸(1,0),

x,[%=()

??.IP0+IQFI—1的最小值為|尸產|-1=>/[71-1=夜-1.

故答案為：&-1.

I22

例17.設力=J(x-4)2+(/nx-幺了+幺+1.(aeR),則。的最小值為()

V44

A.—B.1C.y/2D.2

2

2

【解答】解：S=(x-a)2+(/nx--)2(?e/?),其幾何意義為：

4

2

兩點(x.Inx)，(a,—)的距離的平方，

4

由y=祇的導數為了=，,,

x%

點(a,幺)在曲線y=L%2上，

44

,1,1

y=—x,/.k=—x^,

222

令fM=Inx，^(x)=—x2，

4

則ZXx)=J(x「w)2+[/a)-g(w)]2+g(w)+l,而g(w)+1是拋物線y=上的點到準線y=7的距離,

即拋物線y=!爐上的點到焦點?I)的距離，

4

則?？梢钥醋鲯佄锞€上的點(馬，g(X2))到焦點距離和到f{x)=lnx上的點的距離的和，

即|AF|+|A例，

由兩點之間線段最短，得。的最小值是點尸(0,1)到f(x)=/nx上的點的距離的最小值，

由點到直線上垂線段最短，這樣就最小，

即取lnxn)?

則ra>)?㈣=T,垂直，

%

2

則/叫)-1=-x0,解得飛=1,

，產到8(1,0)的距離就是點F(0,l)到以x)=lnx上的點的距離的最小值，

；.￡)的最小值為|。尸|=垃.

故選：C.

曲線與曲線的

例18.設點尸在曲線y=ge，上，點Q在曲線y=/"(2x)上，則|PQ|的最小值為()A

.\—ln2

B.V2(l-/n2)C.\+ln2D.向l+ln2)

【解答】解：,.?y=L"，該函數的定義域為A,值域為(0,x),x=ln2y,

函數y=』，與y=/〃(2x)互為反函數，

其圖象關于直線y=x對稱，

兩曲線上點之間的最小距離就是y=x與y=ge"上點的最小距離的2倍.

設y=ge*上點(%,%)處的切線與直線y=x平行，

則3=1,

2

/.玉)=ln2,y()=1,

點(%,%)到y(tǒng)=x的距離為任，"=*1一1〃2),

5

則IPQ|的最小值為—(l-/n2)x2=V2(l-Ini).

故選：B.

例19.設點尸在曲線y=e2*上，點。在曲線丫=3^上，則|PQ|的最小值為()

A.—(l-/n2)B.72(1-/?2)C.72(1+/?2)D.—(1+/?2)

22

【解答】解：y=e2,與y=互為反函數，它們圖象關于直線y=x對稱；

又由直線的斜率無=2e2*=l,得修=一；歷2,

所以切線方程為x-y+g+/〃2=0,

則原點到切線的距離為"=芋（1+/〃2）,

IPQ\的最小值為2d=m（1+ln2）.

故選：D.

例20.設點P在曲線y=2e'上，點Q在曲線y=/nx-/〃2上，貝力P0的最小值為（）

A.\-ln2B.72（1-/?2）C.2（1+/〃2）D.&（1+勿2）【解答】解：?.?解：；丫=2-與y=/nr—加2互

為反函數，

先求出曲線），=2爐上的點到直線y=x的最小距離.

設與直線y=x平行且與曲線），=2爐相切的切點尸（x0,%）.

y'=2ex,

2e*=1.解得=ln—=-ln2

ln-

:.y°=2e2=1.

夜（1+歷2）

得到切點P（-歷2,1）,到直線y=x的距離d=

2

|「（21的最小值為2"=&（1+勿2）,

故選：D.

例21.設點P在曲線y=e川上，點。在曲線y=-1+京r上，則|「。|最小值為（）

A.V2B.20C.夜（1+加2）D.72（1-/?2）

【解答】解：?.?y=e、M與y=-l+/nr互為反函數，

先求出曲線y=0向上的點到直線y=x的最小距離.

設與直線y=x平行且與曲線y=e'”相切的切點P（x。，%）.

y'=ex'1,解得%=-1.，%=e""=1.

得到切點P（-l,l）,到直線y=x的距離d=號.

.」尸。|最小值為2夜.

故選：B.

例22.設滿足方程（24/%/-。）2+??-〃七+3+（/）2=0的點（4力），（c,d）的運動軌跡分別為曲線M,N,若

在區(qū)間［1,e］內，曲線M,N有兩個交點（其中e=2.71828…是自然對數的底數），則實數機的最大值

e

為（）

31

A.4B.4+2加3C.e+2+—D.一+3e-2

【解答】解:v(2alna-b)2+(c2-mc+3+d)2=0>

/.2alna—b=0,c2-tnc+3+d=0

依題意，曲線M:y=,曲線N:y=-f+如一3,

9

其中曲線N可化為：y=-（x--）2+—-3,其圖象如圖，要使在區(qū)間已1，e］內曲線“，N有兩個交點,

24e

則必有曲線N在x取e時y的值需小于或等于2elne=2e，

故要使得tn最大，只需2e=-e2+me-3

解得：c3

ffl=g-+2e+3=e+2+—,

ee

例23.已知直線丁=人與函數/（幻=2太+3和g（x）=or+/nr分別交于A,3兩點，若AB的最小值為2,則

【解答】解：設A（x，b）,B（4,份，可設芭＜/，

則石+

23=ax2+lnx2—b,

+/噸，

：.X}=—(0^2-3)

113

AB|=x,-%=(1-~6/)%2-~Inx^+—,

則八,一蕓=『")'

由的最小值為2,可得2-々＞0,

函數在(0,')上單調遞減，在(一^,+8)上單調遞增，

2—a2-a

.?.X=-^時，函數y取得極小值，且為最小值2,

2-a

HF1七八1、11I13c

即4(1——〃)?------------In---------F—=2,

22-a22-a2

解得<2=1,

由％2=1,

則b=嵇+InXy=1+/nl=1,

可得a+/?=2.

故答案為：2.

例24.已知直線y=h與函數f(x)=2x+5和g(x)=or+/nx的圖象分別交于A、3兩點，若|的最小值

為3,則加一b=.

【解答】解：設

A(x，b),B(X2,b),x2>0,

則2玉+5=仁+伍與=b，

則％=3(/+1曲2-5)，

則|AB|=X2一百=4-5(^^9+lux?-5)=~[(2—a)/—+5],

設h(x)=(2-a)x-Inx+5，x>0,

則hf(x)=2-a--,

x

??M0的最小值為3,

.?."(x)=o的根為*=—!—,且函數力(x)在(一!一，+8)上遞增，貝U(T?,—!—)上遞減，

2—ci2—a2—ci

則函數的最小值為h(一!一)=一!一x(2-￡Z)-In—!一+5=6

2-a2-a2-a

即1-/"-^—+5=6即/〃一'一=0,則一?一=1得2—a=1,a=\,

2-a2-a2-a

此時W=l,則6=1+/〃1=1,

即2?—。=2-1=1,

故答案為：1

例25.設直線y=a與函數f(x)=e',g(x)=石的圖象分別交于A,8兩點，貝！||AB|的最小值為()

A.2--/n2B.---IniC.2+-In2D.-+-In2【解答】解：?.?直線直線y=a與函數/(x)=e*,

222222

g(x)=?的圖象分別交于4,B兩點，

/.A(lna,a),B(a2,a),其中〃>/也，J3.a>0.

.JABI=a2-Ina,設函數/z(a)=a2-Ina,

H(a)=2a~—>a>0,

a

令〃(a)=0,解得a—,

2

當〃(a)>0,即a〉立時，函數在(等，+8)單調遞增，

當〃(a)<0,即0<“<絲時，函數在(0,2)單調遞減，

22

故。=變時，函數有最小值，最小值為力(立)=1-(-工歷2),

2222

故線段9的長度的最小值為

22

故選：D.

例26.己知函數/(x)=e2，，g(x)=//tr+；的圖象分別與直線y=人交于A,B兩點,貝U|AB|的最小值為(

)

2+仇2lri3

A.1B.e21C.-----D.e---

22

【解答】解：由題意，A(-lnb,b),B(e"S,b),其中/.〉」/“〃，且b>0,

22

b--1x~1

2

所以|A8|=e2_31nb,令元)=e?(x>0),

x.111

則"(x)=e2——=。時，解得x=_L,

2x2

所以0c時，/Z(x)<0；x>!時，/Z(x)>0,

22

則/?(x)在(0,6上單調遞減，在(；，+00)上單調遞增,

題型七：縱向距離

例27.直線x=a(a>0)分別與直線y=3x+3,曲線y=2x+/nx交于A、B兩點,則|A8|最小值為.

【解答】解：f(x)=3x+3-2x-lnx=x-Iwc+3?

則廣⑴=i」，

X

..當Ocxvl時,f'(x)<0.當x>l時,/z(x)>0,

.?"(X)在(0,1)上單調遞減，在(l,+oo)上單調遞增，

.?.當X=1時，即4=1時，f(x)取得最小值/(1)=4,

的最小值為4.

故答案為：4.

例28.直線x=a分別與曲線y=2(x+l),y=x+/nr交于A、B兩點,則的最小值為()

A.3B.2C.—D.-

42

【解答】解：令f{x}=2x+2-x-lnx=x-lnx+2>

則廣(為=1」，

X

.,.當0<x<l時，/'(x)<0，當x>l時，/'(x)>0,

.?"(X)在(0,1)上單調遞減，在(1,+<?)上單調遞增，

.?.當X=1時,，即4=1時，f(x)取得最小值/(1)=3,

：\AB|的最小值為3.

故選：A.

例29.直線x=a(q>0)分別與曲線y=2x+l,y=x+/nx相交于A,3兩點，則|AB|的最小值為()

A.1B.2C.&D.y/3

【解答】解：令f(x)=2x+l-x-lnx=x-lnx+\,

則r(x)=l—.?.當0cxe1時，f(x)<0,當x>l時，f'(x)>0,

X

.??/(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+00)上單調遞增，

.?.當X=1時，即4=1時，f(x)取得最小值/(1)=2,

.JABI的最小值為2.

故選：B.

【過關測試】

一、單選題

1.若x、a、6為任意實數，若(a+l)2+S-2)2=l,則(x-a)2+(lnx-b)2最小值為()

A.2夜B.9C.9-4&D.2a-1

【答案】C

【解析】

【分析】

由題可知，問題可轉化為圓。+1)2+。-2)2=1上動點到函數)，=底圖像上動點距離的最小值，即求函數y

=lru匕動點到圓心(-1,2)距離的最小值，數形結合可知當)，=hu?在(加,1"〃)處的切線與和(-1,2)連

線垂直時為最小值，據此求出，〃的值，即可得到答案.

【詳解】

由(a+l>+S-2)2=l可得(a/)在以(-1,2)為圓心，1為半徑的圓匕

(x-a)2+([nx-h)2表示點(。力)與點(x,huj的距離的平方，

即表示圓(x+l『+(y-2)2=l上動點到函數y=lnx圖像上動點距離的平方.

設為)，=liu?上一點，且在處的尸山的切線與(加,lnm)和(-1,2)連線垂直，可得

\nm-211

-------------=-1,

"?+1m

即有Inm+病+m=2,

由/("2)=1M+>+6在機>0時遞增，且/。)=2,可得6=1,即切點為(1,0),

圓心與切點的距離為d="(1+1)2+(0-2)2=20,

由此可得(X-a)2+(lar-力2的最小值為(2&-I)2=9-472.

)

A1

A?2B.1c.V2D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

理解原代數式的含義，轉化為函數形式，再分析其幾何意義，構造函數即可求解.

【詳解】

a=e*-1,c=In(c?-1),(a-c)2+(Z>-J)2=[e"T-ln(d-l)]"+[(0一1)-(1一1)了,

令匕一1=±,4-1=尤2,則(a—cj=(e''—Inx?)一+(3一々J，

其幾何意義為點A(±,e')與點8(馬/11七)之間距離的平方，

設f(x)=e',g(x)=lnx,則點A和2分別在〃x)和g(x)的圖像上，如下圖，

顯然〃x)和g(x)互為反函數，其圖像關于產X對稱,

則A與2的最短距離必然在直線產x的垂線匕點A與點B關于尸x對稱,不妨設B(x,lnx),則A(lnx,x),

AB2=2(x-lnx)2,設〃(x)=x-lnx,/z'(x)=l--=^—!■,

當x>l,4(x)>0,0<x<l,/z'(x)<0,在x=l處取得最小值〃(1)=1,

即〃(x)21>。，，當Zi(x)取最小值時,即是AB?取得最小值,

AB2的最小值為2x1?=2；

故選：D.

3.設直線x=f與函數〃力=2/送(力=欣的圖像分別交于點M,N,則|MV|的最小值為()

1e1

A.—I-In2B.31n2—1C.—1D.—

222

【答案】A

【解析】

【分析】

列出|MN|的表達式，利用導數方法，分析其單調性求最小值即可.

【詳解】

由題意MQ,2f2),,

所以=令殖)=2產-Inf,則=

當0</<g時，h'(t)<0,當時，所以的濡=《g)=；+ln2,

即1班1的最小值為[+[112,

故選：A.

4.己知函數/(x)=lnx+l,g(x)=2e'V，若/(加)=g(〃)成立，則吁”的最小值是

A.—FIn2B.e—2C.In2—D.&—

222

【答案】A

【解析】

【詳解】

分析：設/(〃?)=g(〃)=f,則f>0,把松〃用，表示，然后令人。)=機-〃，由導數求得力⑺的最小值.

詳解：設/(〃?)=g(〃)=f,則f>0,m=?■'>〃=ln4+!=lnf-ln2+!,

222

m-n=e"'-\nt+\n2--,h(t)=e"'-\nt+\n2--,則//'?)=/^-Lh'\t)=e-'+^>0,二人'?)是

22tr

(0,+8)上的增函數，

又“(l)=o,.?.當re(0,i)時，"(r)<0,當/e(l,+8)時，/i'(r)>0,

即力⑺在(0,1)上單調遞減，在(l,y)上單調遞增，/?⑴是極小值也是最小值，

刀⑴=4+ln2,的最小值是l+1112.

22

故選A.

點睛：本題易錯選B,利用導數法求函數的最值，解題時學生可能不會將其中求人-。的最小值問題，通過

構造新函數，轉化為求函數〃⑺的最小值問題，另外通過二次求導，確定函數的單調區(qū)間也很容易出錯.

5.設O=+q+則。的最小值為

A.變B.1C.J2D.2

2

【答案】C

【解析】

【詳解】

由題可得：設/(x)=Inx,g(x)=；x2，所以。為g(x)上任意一點到/(X)上任一點及拋物線焦點的距離之和，

所以距離表達式為產而可，令依)=爐+(In犬一1尸，h'(x)=2x+與二1,顯然在［OJ遞減，U,zo)

22

遞增所以Kx)min=〃⑴=2,故7%+(lnx-l)最小值為及

點睛：本題的解題關鍵是要將題意轉化為拋物線上的點到hix上的點距離與焦點的距離之和，然后借助導數

求最值即可解決問題，此題較難

6.已知直線＞分別與直線y=2x-2和曲線＞=2e*+x相交于點A,B,則線段48長度的最小值為()

A.g(3+ln2)B.3-ln2C.2e-lD.3

【答案】A

【解析】

【分析】

根據題意設兩交點分別為A(x”a),B(x2,a),可得，%=l+e"+；%，長度I-司=1+泊，

考查函數g(x)=1+e'-gx求最值即可得解.

【詳解】

已知直線y=a與直線y=2x-2,曲線y=2e'+x分別交點A,B,設4%,。)，3(/,a),則有2為一2=2e"+%,

變形可得芭=g(2+2e'2+x2)=l+e*2+gx2,

又由IA8|=|x(—