高中數(shù)學(xué) (1.2.1 解決有關(guān)測量距離的問題)示范教案 新人教A版必修5

1.2

應(yīng)舉1.2.1

解有測距的題從說解斜三角形知識在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海等都要用到這方面的知識．對于解斜三角形的實(shí)際問題，我們要在理解一些術(shù)語（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等的礎(chǔ)上，正確地將際問題中的長度、角度看成三角形相應(yīng)的邊和角，創(chuàng)造可解的條件綜合運(yùn)用三角函數(shù)知以及正弦定理和余弦定理來解決習(xí)部分知識有助于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決實(shí)際問題的能力．本節(jié)的例1、例2是個(gè)關(guān)測量距離的問.1是測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，例是測兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間距離的問.對于例1可引導(dǎo)學(xué)生分析這個(gè)問題實(shí)際上就是已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問題以用正弦定理去解決．對于例2首先把不可到達(dá)的兩點(diǎn)A、之的離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長的問題把未知的BC和AC的題轉(zhuǎn)化為例中量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題．教重析測量問題的實(shí)際情景，從而找到測量距離的方.教難際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定根題意建立數(shù)學(xué)模型出示意圖．教準(zhǔn)角板、直尺、量角器等三目一知與能能夠運(yùn)用正弦定理弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問題解用的測量相關(guān)術(shù)語，:坡度、俯角、方向角、方位角等二過與法1.首先通過巧妙的設(shè)疑順利地導(dǎo)新課為后的幾節(jié)課做良好鋪墊次結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況“出問題——引發(fā)思考——探索猜想——總結(jié)規(guī)律——反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開例題變同通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類比解決實(shí)際問題．對于這的開放性題目要鼓勵(lì)學(xué)生討論，引導(dǎo)學(xué)生從多角度發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹更c(diǎn)和矯正．2.通過解三角形的應(yīng)用的學(xué),高解決實(shí)際問題的能力三情態(tài)與值1.激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興,并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；2.通過解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng),要求學(xué)生體會具體問題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問,以及數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn)、生活實(shí)際中所發(fā)揮的重要作.時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力．教過導(dǎo)新師前面言第一章“三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代文家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離什神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道于未知的距離高度等存在著許多可供選擇的測量方案比可以應(yīng)用全三角形相三角形的方法或助解直角三角形等等不同的方法但于在實(shí)際測量問的真實(shí)背景下些方法會不能實(shí)施如因?yàn)闆]有足夠的空間不用全等三角形的方法測量所以，有些方法會有局限性是面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的天們開始學(xué)習(xí)正弦定理弦理在科學(xué)實(shí)踐中的重要1

應(yīng)用，首先研究如何測量距離．推新解決實(shí)際測量問題的過程一般要充分認(rèn)真理解題意確作出圖形把實(shí)際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解［題析【1如圖，設(shè)、兩在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離，測量者在A的側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)，出的距離是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°．求、兩的距離(精確到師啟發(fā)提問）：ABC中，據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較恰當(dāng)？師啟發(fā)提問）：運(yùn)用該定理解題還需要哪些邊和角呢？請學(xué)回答．生從題可以知道角角，所以角B就以道，又因?yàn)榭梢粤砍鰜恚詰?yīng)該用正弦定理．生這是道關(guān)于測量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題，題目條件告訴了邊的對角AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)知角算出的對角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊．解根據(jù)正弦定理，得sinsinABC

，

ACsinsinsin55sin75sinsinsin(180sin答A、兩間距離為65.7米[識展變：燈塔A、海洋觀察站C的離都等于km,塔在察站的偏東30°，燈塔B在觀察站C南東60°則、之的距離為多少？老師導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型．解：

a【2如圖，兩都在河的對岸（不可到達(dá)一測量B點(diǎn)間距離的方法[師講這是例1的式題究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測量問題先要構(gòu)造三角形，所以需要確定、兩．根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊即可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算、的離．解量可以在河岸邊選定兩點(diǎn)CCD=在C兩分別測得BCA=α,ACD=,=γ∠=δ，在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理2

sin(

sin(

，

asin計(jì)算出和后再在△ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出、兩間的距離AC

2

2

BCcos

.[動探還有沒有其他的方法呢？師生一起對不同方法進(jìn)行對比、分析．[識展若在河岸邊選取相距40米CD兩，測得∠BCA=60°∠ACD=30°，∠=45°∠=60°,略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB[師講師可見在研究三角時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)如找到最優(yōu)的方法主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式．〔學(xué)生閱讀課本14頁了解測中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子〕師解三形的知識在量航幾何物學(xué)等方面都有非常廣泛的應(yīng),如果我們?nèi)ッ總€(gè)應(yīng)用題中與生產(chǎn)生活實(shí)際所聯(lián)系的外殼,就暴出解三角形問題的本質(zhì),這就提高分析問題和解決問題的能力及化實(shí)際問題為抽象的數(shù)學(xué)問題的能力下面,我們再看幾個(gè)例題來說明斜三角形在實(shí)際中的一些應(yīng)用【3如下圖是曲連桿機(jī)構(gòu)的示意圖，當(dāng)曲柄繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過連桿AB的傳遞，活塞做直線往復(fù)運(yùn)動，當(dāng)曲柄在位置時(shí)，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點(diǎn)A在A處，設(shè)連桿AB為340，曲柄CB長為85mm，曲柄自按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)80°，求活塞移動的距離（即連桿的端點(diǎn)A動的距離）.精確到mm）師用實(shí)模型或多媒動畫演示，讓學(xué)生觀察到B與B重合AA重，故AC=＋＝425，且A=C-．師通過察你能建立個(gè)數(shù)學(xué)模型嗎？生問題歸結(jié)為：已中，BC＝mm，＝34mm，∠＝80°，求AC．師如何AC呢？生由已ABBC可先由正弦定理求出，由三角形內(nèi)角和為180°求出，最后由正弦定理求出AC．解如圖）在△中，由正弦定理可得3

sin

BC80340因?yàn)锽C＜，所以A為銳∴=14°15′，∴B＝180°（＋）又由正弦定理，AC

AB34085C0.9848

≈344.3(∴=–=(AB+)-=(340+85)-答：活塞移動的距離為81mm．師請同們設(shè)AC=x用余弦定理解之，課后完成[識展變：艦在敵島A南偏50°相距12海里B處現(xiàn)艦正由島沿北偏10°方向以海里時(shí)速度航行問我需以多大速度什么方向航行才能用2小追上敵艦？師你能據(jù)方位角畫圖嗎？生引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生作圖）師根據(jù)意及畫出的位圖請大家建立數(shù)學(xué)模型．生例題結(jié)為已知三形的兩邊和它們的夾角，求第三邊及其余角解如圖，在△中由弦定理得=AC+

-·ACco∠BAC=20+12--

BC∴我艦的追擊速度為14海/時(shí)又在△中由弦定理得4

22ACACsinAinsinBsinBC

3205∴ABCarcsin2814

514答：我艦航行的方向?yàn)楸逼珫|arcsin[法導(dǎo)

514師你能納和總結(jié)解三角形應(yīng)用題的一般方法與步驟嗎？生①分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖．②建模根據(jù)已知條件與求解目把知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型．③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解．④檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解．生即解三角形的基思路：師解斜角形應(yīng)用題見的會有哪幾種情況？生實(shí)問題經(jīng)抽象概括后，已知與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之．生實(shí)問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)三角形中，這時(shí)需按順序逐步在兩個(gè)三角形中求出問題的解．生實(shí)問題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個(gè)，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理．某人在M汽站的北偏西20°方向上的處，觀察到點(diǎn)C處一輛汽車沿公路向站行駛．公路的走向是M站的偏東40°開始時(shí)，汽車到A的距為千米汽車前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千．問汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)車站？解由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20千米到達(dá)B．在△ABC中，=31，，=21由余弦定理得ACBC2cosACBC,則

22C

43231

,5

C

1231

,所以sin∠M=sin（120°Cs-s120°sin=

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