高中數(shù)學(xué)教師備課必備系列(函數(shù)的應(yīng)用)專題六 二分法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總結(jié)資料二法概對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且f)·(的函數(shù)＝(x)，通過不地把函數(shù)()的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，可用二分法來求方程的近似解．給定精確度，二分法求函數(shù)

零點(diǎn)近似值的步驟如下：(1)確定區(qū)間(2)求區(qū)間

，，

，驗(yàn)證的中點(diǎn)；

·

＜，定精確度；(3)計(jì)算1若

：=，

就是函數(shù)的零點(diǎn)；2若3若

··

＜，令=＜，令=

（此時(shí)零點(diǎn)（此時(shí)零點(diǎn)

(4)判斷是否達(dá)到精確度；若

＜，則得到零點(diǎn)近似值（則復(fù)步驟2-4．結(jié)論:由數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的關(guān)系，我們可用二分法來求方程的近似.思考：為什么由＜，可判斷零點(diǎn)的近似值為(或)？一能二法零的件例1下函數(shù)中能用二分法求點(diǎn)的()判定一個(gè)函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)．因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適用，對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不適用．變式遷移1下函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，但不宜用二分法求交點(diǎn)橫坐標(biāo)的()數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總結(jié)資料二求數(shù)零例20.1)．分析

判斷函數(shù)y＝x－－1在間內(nèi)有無零點(diǎn)，如果有，求出一個(gè)近似零點(diǎn)精確由題目可獲取以下主要信息：①判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有無零點(diǎn)，可用根的存在性定理判斷；②精確度0.1.解本題在判斷出在內(nèi)有零點(diǎn)后可用二分法求解．解因f(1)＝－1<0，(1.5)0.875>0且函數(shù)y＝x－－的象是連續(xù)的曲線，所以它在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，用二分法逐次計(jì)算，列表如下：區(qū)間(1,1.5)(1.25,1.5)(1.25,1.375)

中點(diǎn)值1.251.3751.3125

中點(diǎn)函數(shù)近似值－0.30.22－0.05(1.3125,1.375)1.34375由于|－1.3125|＝0.0625<0.1，所以函數(shù)的一個(gè)近似零點(diǎn)為1.3125.

0.08點(diǎn)評(píng)

由于用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值步驟比較繁瑣，因此用列表法往往能比較清晰地表達(dá)．事實(shí)上，還可用二分法繼續(xù)算下去，進(jìn)而得到這個(gè)零點(diǎn)精確度更高的近似值．變式遷移2求數(shù)(x＝2－6一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)精確度0.1)．解

由于(1)＝－6<0，(2)＝，可區(qū)間(1,2)作計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算，列表如下：區(qū)間(1,2)(1.5,2)(1.5,1.75)(1.625,1.75)

中點(diǎn)1.51.751.6251.6875

中點(diǎn)函數(shù)值－2.6250.2344－1.3027－0.5618(1.6875,1.75)1.71875由于|1.75－1.6875|＝0.0625<0.1，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

－0.1707

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總結(jié)資料所以可將1.6875作函數(shù)零點(diǎn)的近似值．三二法綜運(yùn)例3

證明方程6－3＝

在區(qū)間內(nèi)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)解，并求出這個(gè)實(shí)數(shù)解(精度0.1)．分析

由題目可獲取以下主要信息：①證明方程在內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解；②求出方程的解．解答本題可借助函數(shù)fx)＝＋x－6的調(diào)性及根的存在定理證明，進(jìn)而用二分法求出這個(gè)解．證明設(shè)數(shù)f()＝2＋x6，∵(1)－1<0，(2)4>0又∵f()是增函數(shù)，所以函數(shù)f)23－在間內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，則方程6－x＝x在區(qū)間內(nèi)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)解．設(shè)該解為x，x∈?。?.5，(1.5)＝1.33>0f(1)·(1.5)<0，∴∈(1,1.5)取＝1.25(1.25)＝0.128>0，f(1)·(1.25)<0，∈(1,1.25)，取＝1.125，(1.125)＝－0.445<0，f(1.125)·(1.25)<0x∈(1.125,1.25)，取＝1.187，f5)＝－0.16<0，f(1.1875)·(1.25)<0，∴∈(1.1875,1.25)．∵|1.25－1.1875|＝0.062，∴1.1875可以作為這個(gè)方程的數(shù)解．點(diǎn)評(píng)

用二分法解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)考慮兩個(gè)方面，一是轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點(diǎn)問題，二是逐步縮小考察范圍，逼近問題的解．3變式遷移3求2的近似(精確度為0.01并將結(jié)果精確到．3解設(shè)＝，則x－＝3令fx)＝2，則函數(shù)()的零點(diǎn)的近似值就是2的近似值以下用二分法求其零點(diǎn)的近似值．由于(1)－1<0，(2)＝，可以取區(qū)間為計(jì)算的初始區(qū)間．用二分法逐步計(jì)算，列表如下：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

nn區(qū)間

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總結(jié)資料中點(diǎn)1.51.251.3751.31251.281251.2656251.25781251.26171875

中點(diǎn)函數(shù)值1.375－0.04690.59960.26100.10330.0273－0.010.0086由于|1.265－1.2578125|0.00781<0.01，所以函數(shù)fx零點(diǎn)的近似值是1.26，3即2的近似值是1.26.四總1．使用二分法求方程近似解方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適用，對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不適用．2．二分法實(shí)質(zhì)是一種逼近思想應(yīng)用．區(qū)間長(zhǎng)度為1，使用“二分法”次后，精確1度為.23．函數(shù)零點(diǎn)的近似值時(shí)，所求的精確度不同，得到的結(jié)果也不相同．精確度為ε，是指在計(jì)算過程中得到某個(gè)區(qū)(，b)后，若其長(zhǎng)度小ε，即認(rèn)為已達(dá)到所要求的精確度，可停止計(jì)算，否則應(yīng)繼續(xù)計(jì)算，直－|<ε為．練1．下列關(guān)于二分法的敘,正的()A.用二分法可以求所有函數(shù)零點(diǎn)近似值B.用二分法求方程近似解,可精確到小數(shù)點(diǎn)后任一數(shù)字C.二分法無規(guī)律可尋,無法在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行D.二分法只用于求方程的近似解【答案】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

．．．．．．2．方程32x

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總結(jié)資料在區(qū)間［－２，４］上的根必定于區(qū)間（）Ａ，］Ｂ．５，４］Ｃ，

7］Ｄ4

，２．５］【答案】【解析】主要考查函數(shù)變號(hào)零點(diǎn)的判斷方法。解：令

f(x)

3

x

，則f(

<0,

f

50>0,

f(1)

－4<0,f()

<0，f

>0所由零點(diǎn)存在判定方法，方xx

在區(qū)間［－２，４］上的根必定屬于區(qū)間［2

選D。3．用二分法求如圖所示函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時(shí)，不可能求出的零點(diǎn)是()A．C．

B．xD．x

【答案】C【解析】觀圖象可知：點(diǎn)x附近兩旁的函數(shù)值都為負(fù)值，∴點(diǎn)x不能二分法求，故選C.4．設(shè)

f

xx,用二分法求方程3

x在x

內(nèi)近似解的過程中得f【答案】(1.25,1.5)

則方程的根落在區(qū)間5在二分法方程x3x

的一個(gè)近似解時(shí),現(xiàn)在已經(jīng)將一鎖定在區(qū)(1,2)內(nèi)則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為.【答案】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

2

x．．．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)總x．．．【解析】令

f(xx

5，f(1)f(2)f()8

，所以可斷定該根所在的區(qū)間為

6．方程－６＝０的近似解（確到.０１）是．【答案】2.45【解析】主要考查二分法求函數(shù)變號(hào)零點(diǎn)的近似值方法。按二分法求函數(shù)變號(hào)零點(diǎn)的近似值方法步驟，首先令ｆ（ｘ）＝－，計(jì)算f(2)=－2<0,f(3)=3>0,在區(qū)間（2,3）零點(diǎn)，依次計(jì)算??可求得方程－＝０的近似解2.45.7二分法求方程＝在的近似解時(shí)算f(0.75)>0，即可得出方程的一個(gè)近似解為________(確度0.1)【答案】0.75或0.6875【解析】因|0.75－0.6875|，所以0.75或0.6875都可作為方的近似