【傅里葉變換基本性質(zhì)及應(yīng)用研究（論文）】

傅里葉變換基本性質(zhì)及應(yīng)用研究報(bào)告摘要：作為物理學(xué)專業(yè)必備的數(shù)學(xué)物理方法之一和工程類的重要分析手段，傅里葉變換不僅在求解數(shù)學(xué)物理方程和信號分析中發(fā)揮著極為重要的作用，而且與量子力學(xué)中的表象變換有一定的關(guān)聯(lián)性，對后續(xù)的量子力學(xué)、信號與系統(tǒng)等課程教學(xué)有較大影響．在教學(xué)過程中，傅里葉變換往往是積分變換法部分的教學(xué)切入點(diǎn)．傅里葉變換擁有良好的基本性質(zhì)，這是決定其重要性和廣泛應(yīng)用的關(guān)鍵因素之一．因此傅里葉變換的基本性質(zhì)是教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容．當(dāng)前的教材在介紹傅里葉變換的基本性質(zhì)時，都是基于基本的數(shù)學(xué)證明，而缺乏深入的物理剖析．如果站在數(shù)學(xué)物理學(xué)科方法論的角度考慮，筆者覺得非常有必要進(jìn)行這方面的教學(xué)研究，同時這對于學(xué)生掌握并靈活應(yīng)用傅里葉變換、學(xué)好物理學(xué)也非常有益．關(guān)鍵詞傅里葉變換；基本定理；應(yīng)用1傅里葉變換的數(shù)學(xué)形式在進(jìn)行性質(zhì)的詮釋之前有必要給出傅里葉積分及傅里葉變換，傅里葉積分表述為（1）其中（2）為了便于分析，下面將從振動的角度出發(fā)，首先給出上述表達(dá)式的物理對應(yīng)．如果把式（1）中的變量x和k分別視為時間和頻率的話，則可以視為振動信號，而傅里葉積分式（1）代表振動的分解，即將復(fù)雜運(yùn)動分解為簡諧振動的線性疊加，而傅里葉變換式（2）代表分解式（1）中各簡諧振動前的系數(shù)，稱為頻譜．．由于這里側(cè)重于對傅里葉變換基本性質(zhì)的物理理解而非嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，為了能從振動的角度更容易理解問題，將分解系數(shù)（頻譜）稱為“權(quán)數(shù)”，從而傅里葉變換式（2）代表分解式（1）中各簡諧振動的權(quán)數(shù)．同時為了方便，在下文中我們將分解式（1）中的各簡諧振動稱為的各分振動．下面基于以上物理對應(yīng)對傅里葉變換的5個基本性質(zhì)進(jìn)行物理詮釋.2傅里葉變換基本性質(zhì)線性性質(zhì)兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各自變換之和.數(shù)學(xué)描述是:若函數(shù)和的傅里葉變換和都存在和為任意常系數(shù),使得.物理學(xué)詮釋：基于1節(jié)中的物理對應(yīng),線性定理式（3）變得易于理解：代表振動的線性組合，考慮到振動分解式（1）的思想，所對應(yīng)的分振動權(quán)數(shù)必是和分振動權(quán)數(shù)和的線性組合，從而上式成立．平移性質(zhì)若函數(shù)存在傅里葉變換,則對任意實(shí)數(shù),函數(shù)存在傅里葉變換,且.物理學(xué)詮釋：采用1節(jié)中的物理對應(yīng)，當(dāng)給乘以時，引起相位的增加，即各簡諧分振動的相位較之多出了，從而引起的權(quán)數(shù)分布較之的權(quán)數(shù)分布發(fā)生了平移（若頻率則藍(lán)移，若頻率則紅移），平移的頻率量為，.微分關(guān)系若函數(shù)當(dāng)→時的極限為0,而其導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換存在,則有,即導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子,更一般地,若,且存在,則,即k階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子物理學(xué)詮釋：采用1節(jié)中的物理對應(yīng)，傅里葉積分式（1）代表振動的分解，即將復(fù)雜運(yùn)動分解為簡諧振動的線性疊加，當(dāng)給求導(dǎo)時，各分振動均會因此而出現(xiàn)ik，從而分振動權(quán)數(shù)變?yōu)閕k倍，即有，該性質(zhì)亦可與量子力學(xué)中的動量算符建立一定的關(guān)聯(lián)，因此該性質(zhì)的物理詮釋對學(xué)生理解后續(xù)量子力學(xué)課程中的動量算符很有好處．卷積特性若函數(shù)及都在上絕對可積,則卷積函數(shù)的傅里葉變換存在,且。卷積性質(zhì)的逆形式為即兩個函數(shù)乘積的傅里葉逆變換等于它們各自的傅里葉逆變換的卷積.Parseval定理若函數(shù)可積且平方可積,其中是的傅里葉變換,則3應(yīng)用周期信號的傅立葉變換,設(shè)周期信號為,其傅里葉變換由下式給出相應(yīng)的傅里葉逆變換為由此可見,經(jīng)過傅里葉變換,就將時域信號變成頻域信號,而經(jīng)過傅里葉逆變換又將頻域信號轉(zhuǎn)變?yōu)樵瓉淼臅r域信號了.要對連續(xù)信號進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,應(yīng)先將連續(xù)信號進(jìn)行離散化處理.信號離散化處理是以采樣定理為根據(jù)的,即:對一個具有有限頻譜的連續(xù)信號,若最高頻率為,當(dāng)采樣頻率滿足時,則此連續(xù)信號可以從此采樣值中還原.在實(shí)際應(yīng)用中,由于考慮分析精度,一般取..采樣過程如圖1所示,連續(xù)信號在每間隔時間T就采用一個樣點(diǎn)值,采樣后的脈沖序列為為,,…,,T為脈沖周期.，經(jīng)采樣后連續(xù)信號就變成了離散信號了.圖1連續(xù)信號經(jīng)采樣變?yōu)殡x散信號信號的采樣過程可以看做是乘以函數(shù),即運(yùn)用傅里葉變換的，并注意到得到這就是離散傅里葉變換的表達(dá)式.但是這個式子并不能直接用來進(jìn)行計(jì)算,因?yàn)橐獙o窮多個采樣的樣本值進(jìn)行DFT運(yùn)算,實(shí)際上是不可能的.電子計(jì)算機(jī)只能對有限數(shù)列進(jìn)行計(jì)算處理,因此,我們?nèi)個有限數(shù)列進(jìn)行研究.若采樣時間間隔為T,整個數(shù)列為,則數(shù)列的帶寬,那么頻率為,且將此結(jié)果代入(4-19)式,便可得到,因?yàn)闉殡x散值,將它記為,并互換n,K,于是DFT為離散傅里葉逆變換(IDFT)可以從(3-2)式獲得,其表達(dá)式為從上式可見,離散信號可以通過DFT和IDFT實(shí)現(xiàn)時域和頻域的相互轉(zhuǎn)換,這種轉(zhuǎn)換就為近代數(shù)字化頻譜分析和數(shù)字化波形的時間合成奠定了基礎(chǔ).數(shù)字化處理方式與模擬處理方式相比較具有許多優(yōu)點(diǎn),如穩(wěn)定性、抗干擾性、通用性、高精度和小型化等.但是,要使DFT符合實(shí)際應(yīng)用,還必須解決“實(shí)時性”和“經(jīng)濟(jì)型”的問題.FFT的出現(xiàn),有效地解決了信號實(shí)時分析的問題,經(jīng)濟(jì)性的問題也在不斷改進(jìn),特別是由于數(shù)字電路和大規(guī)模集成電路的發(fā)展,低價格、高性能的FFT處理機(jī)已經(jīng)大量涌現(xiàn)在各種科學(xué)技術(shù)和工程技術(shù)中.4總結(jié)傅里葉變換是一種特殊的積分變換,它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分.在不同的研究領(lǐng)域,傅里葉變換具有多種不同的變體形式,如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換.它通過對函數(shù)的分析來達(dá)到對復(fù)雜函數(shù)的深入理解和研究.在幾乎所有利用傅里葉變換表示和分析物理過程的領(lǐng)域里都可以傅里葉變換的實(shí)部與虛部之間或者幅度和相位之間在某些情況下存在在一定的關(guān)系.限于本文的局限性,只列舉了傅里葉變換在波動和熱傳導(dǎo)及頻譜信號方面應(yīng)用.在傳統(tǒng)的平穩(wěn)信號分析及處理中,很多理論研究和應(yīng)用研究都將傅里葉變換當(dāng)作最基本的經(jīng)典工具來使用.但是傅里葉變換存在嚴(yán)重的缺點(diǎn):用傅里葉變換的方法提取信號頻譜時,需要利用信號的全部時域信息,這是一種整體變換,缺少時域定位功能,小波變換的出現(xiàn)很好的解決了這一難題.參考文獻(xiàn)雷大軍,黃鐵鐵,姚敏,等.傅里葉變換教學(xué)方法探討[J].湘南學(xué)院學(xué)報(bào),2015(2):75-77.范迪,高潔,祁亞萍,等.淺析幾種常用變換間關(guān)系助推信號與系統(tǒng)類課程教學(xué)[J].高教學(xué)刊,2018,No.86(14):112-114.姜恩華,楊一軍,竇德召,等.數(shù)字信號處理課程中的傅里葉變換教