北師大版七年級（下冊）數(shù)學(xué)第五章生活中的軸對稱單元期末檢測試題

.../北師大版七年級下冊數(shù)學(xué)第五章生活中的軸對稱單元測試題一．選擇題〔共10小題1．如圖,OP為∠AOB的角平分線,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C、D,則下列結(jié)論錯誤的是〔A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD2．如圖,在△ABC中,AC的垂直平分線分別交AC、BC于E,D兩點,EC=4,△ABC的周長為23,則△ABD的周長為〔A．13 B．15 C．17 D．193．如圖,在△ABC中,DE是AC的垂直平分線,△ABC的周長為19cm,△ABD的周長為13cm,則AE的長為〔A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm4．如圖所示,線段AC的垂直平分線交線段AB于點D,∠A=50°,則∠BDC=〔A．50° B．100° C．120° D．130°5．如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E為BC延長線上一點,∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D,則∠D的度數(shù)為〔A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°6．一個等腰三角形一邊長為4cm,另一邊長為5cm,那么這個等腰三角形的周長是〔A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不對7．下列圖形中不是軸對稱圖形的是〔A． B． C． D．8．如圖,把一張矩形紙片ABCD沿EF折疊后,點A落在CD邊上的點A′處,點B落在點B′處,若∠2=40°,則圖中∠1的度數(shù)為〔A．115° B．120° C．130° D．140°9．如圖,D是直角△ABC斜邊BC上一點,AB=AD,記∠CAD=α,∠ABC=β．若α=10°,則β的度數(shù)是〔A．40° B．50° C．60° D．不能確定10．如圖,∠B=∠C,∠1=∠3,則∠1與∠2之間的關(guān)系是〔A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180° C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°二．填空題〔共10小題11．如圖,OP為∠AOB的平分線,PC⊥OB于點C,且PC=3,點P到OA的距離為．12．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48°,則該等腰三角形的底角的度數(shù)為．13．如圖,在△ABC中,AB=AC=6,AB的垂直平分線交AB于點E,交BC于點D,連接AD,若AD=4,則DC=．14．如圖,AD是△ABC中∠BAC的平分線,DE⊥AB于點E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,則AC的長是．15．如圖所示,已知△ABC的周長是20,OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,則△ABC的面積是．16．如圖,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點D．已知BD：CD=3：2,點D到AB的距離是6,則BC的長是．17．如圖,△ABC中,∠A=80°,∠B=40°,BC的垂直平分線交AB于點D,連結(jié)DC,如果AD=3,BD=8,那么△ADC的周長為．18．如圖,∠AOB是一角度為10°的鋼架,要使鋼架更加牢固,需在其內(nèi)部添加一些鋼管：EF、FG、GH…,且OE=EF=FG=GH…,在OA、OB足夠長的情況下,最多能添加這樣的鋼管的根數(shù)為．19．已知：如圖,△ABC中,BO,CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線,過O點的直線分別交AB、AC于點D、E,且DE∥BC．若AB=6cm,AC=8cm,則△ADE的周長為．20．如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=130°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分別找一點M、N,使△AMN周長最小時,則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為．三．解答題〔共10小題21．如圖,在△ABC中,∠ACB=90゜,BE平分∠ABC,交AC于E,DE垂直平分AB于D,求證：BE+DE=AC．22．如圖,在△ABC中,AB=AC,點D是BC邊上的中點,DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F．求證：DE=DF．23．如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,BD是∠ABC的平分線,求∠BDC的度數(shù)．24．如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,AE⊥BE于點E,且BE=．求證：AB平分∠EAD．25．如圖,△ABC是等邊三角形,BD平分∠ABC,延長BC到E,使得CE=CD．求證：BD=DE．26．如圖,在△ABC中,DM、EN分別垂直平分AC和BC,交AB于M、N兩點,DM與EN相交于點F．〔1若△CMN的周長為15cm,求AB的長；〔2若∠MFN=70°,求∠MCN的度數(shù)．27．如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線MN交AB于點D,交AC于點E,且AC=15cm,△BCE的周長等于25cm．〔1求BC的長；〔2若∠A=36°,并且AB=AC．求證：BC=BE．28．已知點D、E在△ABC的BC邊上,AD=AE,BD=CE,為了判斷∠B與∠C的大小關(guān)系,請你填空完成下面的推理過程,并在空白括號內(nèi),注明推理的根據(jù)．解：作AM⊥BC,垂足為M∵AD=AE,∴△ADE是三角形,∴DM=EM〔又∵BD=CE,∴BD+DM=,即BM=；又∵〔自己所作,∴AM是線段的垂直平分線；∴AB=AC〔∴．29．電信部門要修建一座電視信號發(fā)射塔P,按照設(shè)計要求,發(fā)射塔P到兩城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等,到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．請在圖中作出發(fā)射塔P的位置．〔尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡30．以點A為頂點作兩個等腰直角三角形〔△ABC,△ADE,如圖1所示放置,使得一直角邊重合,連接BD,CE．〔1說明BD=CE；〔2延長BD,交CE于點F,求∠BFC的度數(shù)；〔3若如圖2放置,上面的結(jié)論還成立嗎？請簡單說明理由．北師大版七年級下冊數(shù)學(xué)第五章生活中的軸對稱單元測試題參考答案與試題解析一．選擇題〔共10小題1．〔2016?XX如圖,OP為∠AOB的角平分線,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C、D,則下列結(jié)論錯誤的是〔A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD[分析]先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PC=PD,再利用HL證明△OCP≌△ODP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠CPO=∠DPO,OC=OD．[解答]解：∵OP為∠AOB的角平分線,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C、D,∴PC=PD,故A正確；在Rt△OCP與Rt△ODP中,,∴△OCP≌△ODP,∴∠CPO=∠DPO,OC=OD,故C、D正確．不能得出∠CPD=∠DOP,故B錯誤．故選B．[點評]本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì),得出PC=PD是解題的關(guān)鍵．2．〔2016?天門如圖,在△ABC中,AC的垂直平分線分別交AC、BC于E,D兩點,EC=4,△ABC的周長為23,則△ABD的周長為〔A．13 B．15 C．17 D．19[分析]根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AD=DC,AE=CE=4,求出AC=8,AB+BC=15,求出△ABD的周長為AB+BC,代入求出即可．[解答]解：∵AC的垂直平分線分別交AC、BC于E,D兩點,∴AD=DC,AE=CE=4,即AC=8,∵△ABC的周長為23,∴AB+BC+AC=23,∴AB+BC=23﹣8=15,∴△ABD的周長為AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15,故選B．[點評]本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用,能熟記線段垂直平分線性質(zhì)定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵,注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．3．〔2016?XX州如圖,在△ABC中,DE是AC的垂直平分線,△ABC的周長為19cm,△ABD的周長為13cm,則AE的長為〔A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm[分析]根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AD=DC,AE=CE=AC,求出AB+BC+AC=19cm,AB+BD+AD=AB+BC=13cm,即可求出AC,即可得出答案．[解答]解：∵DE是AC的垂直平分線,∴AD=DC,AE=CE=AC,∵△ABC的周長為19cm,△ABD的周長為13cm,∴AB+BC+AC=19cm,AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm,∴AC=6cm,∴AE=3cm,故選A．[點評]本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用,能熟記線段垂直平分線性質(zhì)定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵,注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．4．〔2016?XX如圖所示,線段AC的垂直平分線交線段AB于點D,∠A=50°,則∠BDC=〔A．50° B．100° C．120° D．130°[分析]根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DCA=∠A,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計算即可．[解答]解：∵DE是線段AC的垂直平分線,∴DA=DC,∴∠DCA=∠A=50°,∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°,故選：B．[點評]本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì),掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．〔2016?棗莊如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E為BC延長線上一點,∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D,則∠D的度數(shù)為〔A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°[分析]先根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠2,∠3=∠4,再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,∠1=∠3+∠D,則2∠1=2∠3+∠A,利用等式的性質(zhì)得到∠D=∠A,然后把∠A的度數(shù)代入計算即可．[解答]解：∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點D,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠ACE=∠A+∠ABC,即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,∴2∠1=2∠3+∠A,∵∠1=∠3+∠D,∴∠D=∠A=×30°=15°．故選A．[點評]本題考查了三角形內(nèi)角和定理,關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°和三角形外角性質(zhì)進行分析．6．〔2016?湘西州一個等腰三角形一邊長為4cm,另一邊長為5cm,那么這個等腰三角形的周長是〔A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不對[分析]分4cm為等腰三角形的腰和5cm為等腰三角形的腰,先判斷符合不符合三邊關(guān)系,再求出周長．[解答]解：當(dāng)4cm為等腰三角形的腰時,三角形的三邊分別是4cm,4cm,5cm符合三角形的三邊關(guān)系,∴周長為13cm；當(dāng)5cm為等腰三角形的腰時,三邊分別是,5cm,5cm,4cm,符合三角形的三邊關(guān)系,∴周長為14cm,故選C[點評]此題是等腰三角形的性質(zhì)題,主要考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系,分類考慮是解本題的關(guān)鍵．7．〔2016?XX下列圖形中不是軸對稱圖形的是〔A． B． C． D．[分析]根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．[解答]解：根據(jù)軸對稱圖形的概念可知：A,B,D是軸對稱圖形,C不是軸對稱圖形,故選：C．[點評]本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．8．〔2016?聊城如圖,把一張矩形紙片ABCD沿EF折疊后,點A落在CD邊上的點A′處,點B落在點B′處,若∠2=40°,則圖中∠1的度數(shù)為〔A．115° B．120° C．130° D．140°[分析]根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出∠BFE=∠EFB',∠B'=∠B=90°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CFB'=50°,進而解答即可．[解答]解：∵把一張矩形紙片ABCD沿EF折疊后,點A落在CD邊上的點A′處,點B落在點B′處,∴∠BFE=∠EFB',∠B'=∠B=90°,∵∠2=40°,∴∠CFB'=50°,∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°,即∠1+∠1﹣50°=180°,解得：∠1=115°,故選A．[點評]本題考查了矩形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用,能綜合運用性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵,注意：折疊后的兩個圖形全等．9．〔2016?莊河市自主招生如圖,D是直角△ABC斜邊BC上一點,AB=AD,記∠CAD=α,∠ABC=β．若α=10°,則β的度數(shù)是〔A．40° B．50° C．60° D．不能確定[分析]根據(jù)AB=AD,可得出∠B=∠ADB,再由∠ADB=α+∠C,可得出∠C=β﹣10°,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出β即可．[解答]解：∵AB=AD,∴∠B=∠ADB,∵α=10°,∠ADB=α+∠C,∴∠C=β﹣10°,∵∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°,即β+β﹣10°=90°,解得β=50°,故選B．[點評]本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì),是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．10．〔2016?XX模擬如圖,∠B=∠C,∠1=∠3,則∠1與∠2之間的關(guān)系是〔A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180° C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°[分析]由已知條件∠B=∠C,∠1=∠3,在△ABD中,由∠1+∠B+∠3=180°,可推出結(jié)論．[解答]解：∵∠1=∠3,∠B=∠C,∠1+∠B+∠3=180°,∴2∠1+∠C=180°,∴2∠1+∠1﹣∠2=180°,∴3∠1﹣∠2=180°．故選B．[點評]本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)的應(yīng)用．二．填空題〔共10小題11．〔2016?XX如圖,OP為∠AOB的平分線,PC⊥OB于點C,且PC=3,點P到OA的距離為3．[分析]過P作PD⊥OA于D,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PD=PC,從而得解．[解答]解：如圖,過P作PD⊥OA于D,∵OP為∠AOB的平分線,PC⊥OB,∴PD=PC,∵PC=3,∴PD=3．故答案為：3．[點評]本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．〔2016?XX等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48°,則該等腰三角形的底角的度數(shù)為69°或21°．[分析]分兩種情況討論：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出頂角∠BAC,再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出底角的度數(shù)．[解答]解：分兩種情況討論：①若∠A＜90°,如圖1所示：∵BD⊥AC,∴∠A+∠ABD=90°,∵∠ABD=48°,∴∠A=90°﹣48°=42°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=〔180°﹣42°=69°；②若∠A＞90°,如圖2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°,∴∠BAC=180°﹣42°=138°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=〔180°﹣138°=21°；綜上所述：等腰三角形底角的度數(shù)為69°或21°．故答案為：69°或21°．[點評]本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及余角和鄰補角的定義；注意分類討論方法的運用,避免漏解．13．〔2016?XX如圖,在△ABC中,AB=AC=6,AB的垂直平分線交AB于點E,交BC于點D,連接AD,若AD=4,則DC=5．[分析]過A作AF⊥BC于F,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BF=CF=BC,由AB的垂直平分線交AB于點E,得到BD=AD=4,設(shè)DF=x,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．[解答]解：過A作AF⊥BC于F,∵AB=AC,∴BF=CF=BC,∵AB的垂直平分線交AB于點E,∴BD=AD=4,設(shè)DF=x,∴BF=4+x,∵AF2=AB2﹣BF2=AD2﹣DF2,即16﹣x2=36﹣〔4+x2,∴x=0.5,∴DF=0.5,∴CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.5×2=5,故答案為：5．[點評]此題考查了等腰三角形的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度不大,注意掌握轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14．〔2016?XX模擬如圖,AD是△ABC中∠BAC的平分線,DE⊥AB于點E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,則AC的長是3．[分析]過點D作DF⊥AC于F,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF,再根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．[解答]解：如圖,過點D作DF⊥AC于F,∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線,DE⊥AB,∴DE=DF,由圖可知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,×4×2+×AC×2=7,解得AC=3．故答案為3．[點評]本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．〔2016?XX二模如圖所示,已知△ABC的周長是20,OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,則△ABC的面積是30．[分析]根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得點O到AB、AC、BC的距離都相等〔即OE=OD=OF,從而可得到△ABC的面積等于周長的一半乘以3,代入求出即可．[解答]解：如圖,連接OA,過O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB,∴OE=OF=OD=3,∵△ABC的周長是22,OD⊥BC于D,且OD=3,∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×〔AB+BC+AC×3=20×3=30,故答案為：30．[點評]本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì),判斷出三角形的面積與周長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．〔2016?白云區(qū)校級二模如圖,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點D．已知BD：CD=3：2,點D到AB的距離是6,則BC的長是15．[分析]作DE⊥AB于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD=DE,根據(jù)題意求出BD的長,計算即可．[解答]解：作DE⊥AB于E,∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,∴CD=DE=6,又BD：CD=3：2,∴BD=9,∴BC=BD+DC=15,故答案為：15．[點評]本題考查的是角平分線的性質(zhì),掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．17．〔2016?句容市一模如圖,△ABC中,∠A=80°,∠B=40°,BC的垂直平分線交AB于點D,連結(jié)DC,如果AD=3,BD=8,那么△ADC的周長為19．[分析]根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB=DC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)證明CA=CD=DB=8,根據(jù)三角形周長公式計算即可．[解答]解：∵BC的垂直平分線交AB于點D,∴DB=DC,∴∠DCB=∠B=40°,∵∠A=80°,∠B=40°,∴∠ACB=60°,∴∠ACD=20°,∴∠ADC=80°,∴CA=CD=DB=8,∴△ADC的周長=AD+AC+CD=19,故答案為：19．[點評]本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì),掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．18．〔2016?XX模擬如圖,∠AOB是一角度為10°的鋼架,要使鋼架更加牢固,需在其內(nèi)部添加一些鋼管：EF、FG、GH…,且OE=EF=FG=GH…,在OA、OB足夠長的情況下,最多能添加這樣的鋼管的根數(shù)為8．[分析]根據(jù)已知利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì),找出圖中存在的規(guī)律,根據(jù)規(guī)律及三角形的內(nèi)角和定理不難求解．[解答]解：∵添加的鋼管長度都與OE相等,∠AOB=10°,∴∠GEF=∠FGE=20°,…從圖中我們會發(fā)現(xiàn)有好幾個等腰三角形,即第一個等腰三角形的底角是10°,第二個是20°,第三個是30°,四個是40°,五個是50°,六個是60°,七個是70°,八個是80°,九個是90°就不存在了．所以一共有8個．故答案為8．[點評]此題考查了三角形的內(nèi)角和是180度的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)；發(fā)現(xiàn)并利用規(guī)律是正確解答本題的關(guān)鍵．19．〔2016?XX一模已知：如圖,△ABC中,BO,CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線,過O點的直線分別交AB、AC于點D、E,且DE∥BC．若AB=6cm,AC=8cm,則△ADE的周長為14cm．[分析]兩直線平行,內(nèi)錯角相等,以及根據(jù)角平分線性質(zhì),可得△OBD、△EOC均為等腰三角形,由此把△AEF的周長轉(zhuǎn)化為AC+AB．[解答]解：∵DE∥BC∴∠DOB=∠OBC,又∵BO是∠ABC的角平分線,∴∠DBO=∠OBC,∴∠DBO=∠DOB,∴BD=OD,同理：OE=EC,∴△ADE的周長=AD+OD+OE+EC=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm．故答案是：14cm．[點評]本題考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定及性質(zhì),正確證明△OBD、△EOC均為等腰三角形是關(guān)鍵．20．〔2016?XX校級一模如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=130°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分別找一點M、N,使△AMN周長最小時,則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為100°．[分析]作點A關(guān)于BC的對稱點A′,關(guān)于CD的對稱點A″,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題,連接A′A″與BC、CD的交點即為所求的點M、N,利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A′+∠A″,再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠AMN+∠ANM=2〔∠A′+∠A″,然后計算即可得解．[解答]解：如圖,作點A關(guān)于BC的對稱點A′,關(guān)于CD的對稱點A″,連接A′A″與BC、CD的交點即為所求的點M、N,∵∠BAD=130°,∠B=∠D=90°,∴∠A′+∠A″=180°﹣∠130°=50°,由軸對稱的性質(zhì)得：∠A′=∠A′AM,∠A″=∠A″AN,∴∠AMN+∠ANM=2〔∠A′+∠A″=2×50°=100°．故答案為：100°．[點評]本題考查了軸對稱確定最短路線問題,軸對稱的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì),確定出點M、N的位置是解題的關(guān)鍵,要注意整體思想的利用．三．解答題〔共10小題21．〔2016?歷下區(qū)一模如圖,在△ABC中,∠ACB=90゜,BE平分∠ABC,交AC于E,DE垂直平分AB于D,求證：BE+DE=AC．[分析]根據(jù)角平分線性質(zhì)得出CE=DE,根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AE=BE,代入AC=AE+CE求出即可．[解答]證明：∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵ED⊥AB,BE平分∠ABC,∴CE=DE,∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∵AC=AE+CE,∴BE+DE=AC．[點評]本題考查了角平分線性質(zhì)和線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用,注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．22．〔2016?歷下區(qū)一模如圖,在△ABC中,AB=AC,點D是BC邊上的中點,DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F．求證：DE=DF．[分析]D是BC的中點,那么AD就是等腰三角形ABC底邊上的中線,根據(jù)等腰三角形三線合一的特性,可知道AD也是∠BAC的角平分線,根據(jù)角平分線的點到角兩邊的距離相等,那么DE=DF．[解答]證明：證法一：連接AD．∵AB=AC,點D是BC邊上的中點∴AD平分∠BAC〔三線合一性質(zhì),∵DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F．∴DE=DF〔角平分線上的點到角兩邊的距離相等．證法二：在△ABC中,∵AB=AC∴∠B=∠C〔等邊對等角…〔1分∵點D是BC邊上的中點∴BD=DC…〔2分∵DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F∴∠BED=∠CFD=90°…〔3分在△BED和△CFD中∵,∴△BED≌△CFD〔AAS,∴DE=DF〔全等三角形的對應(yīng)邊相等．[點評]本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．23．〔2016?XX二模如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,BD是∠ABC的平分線,求∠BDC的度數(shù)．[分析]首先由AB=AC,利用等邊對等角和∠A的度數(shù)求出∠ABC和∠C的度數(shù),然后由BD是∠ABC的平分線,利用角平分線的定義求出∠DBC的度數(shù),再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠BDC的度數(shù)．[解答]解：∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠C==70°,∵BD是∠ABC的平分線,∴∠DBC=∠ABC=35°,∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=75°．[點評]本題考查了等腰三角形的性質(zhì),角平分線的定義,三角形內(nèi)角和定理等知識,解答本題的關(guān)鍵是正確識圖,利用等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角求出∠ABC與∠C的度數(shù)．24．〔2016?西城區(qū)一模如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,AE⊥BE于點E,且BE=．求證：AB平分∠EAD．[分析]根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=BC,AD⊥BC根據(jù)角平分線的判定定理即可得到結(jié)論．．[解答]證明：∵AB=AC,AD是BC邊上的中線,∴BD=BC,AD⊥BC,∵BE=BC,∴BD=BE,∵AE⊥BE,∴AB平分∠EAD．[點評]本題考查了等腰三角形的性質(zhì),角平分線的性質(zhì),熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．〔2016?門頭溝區(qū)一模如圖,△ABC是等邊三角形,BD平分∠ABC,延長BC到E,使得CE=CD．求證：BD=DE．[分析]根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=30°,再根據(jù)角之間的關(guān)系求得∠DBC=∠CED,根據(jù)等角對等邊即可得到DB=DE．[解答]證明：∵△ABC是等邊三角形,BD是中線,∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°〔等腰三角形三線合一．又∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED,∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE〔等角對等邊．[點評]此題主要考查學(xué)生對等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的理解及運用；利用三角形外角的性質(zhì)得到∠CDE=30°是正確解答本題的關(guān)鍵．26．〔2016春?吉州區(qū)期末如圖,在△ABC中,DM、EN分別垂直平分AC和BC,交AB于M、N兩點,DM與EN相交于點F．〔1若△CMN的周長為15cm,求AB的長；〔2若∠MFN=70°,求∠MCN的度數(shù)．[分析]〔1根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AM=CM,BN=CN,然后求出△CMN的周長=AB；〔2根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠MNF+∠NMF,再求出∠A+∠B,根據(jù)等邊對等角可得∠A=∠ACM,∠B=∠BCN,然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．[解答]解：〔1∵DM、EN分別垂直平分AC和BC,∴AM=CM,BN=CN,∴△CMN的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB,∵△CMN的周長為15cm,∴AB=15cm；〔2∵∠MFN=70°,∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°,∵∠AMD=∠NMF,∠BNE=∠MNF,∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°,∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°,∵AM=CM,BN=CN,∴∠A=∠ACM,∠B=∠BCN,∴∠MCN=180°﹣2〔∠A+∠B=180°﹣2×70°=40°．[點評]本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì),等邊對等角的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,〔2整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．27．〔2016春?滕州市期末如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線MN交AB于點D,交AC于點E,且AC=15cm,△BCE的周長等于25cm．〔1求BC的長；〔2若∠A=36°,并且AB=AC．求證：BC=BE．[分析]〔1根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE,然后求出△BCE的周長=AC+BC,再求解即可；〔2根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠C=72°,根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE,根據(jù)等邊對等角可得∠ABE=∠A,再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠BEC=72°,從而得到∠BEC=∠C,然后根據(jù)等角對等邊求解．[解答]〔1解：∵AB的垂直平分線MN交AB于點D,∴AE=BE,∴△BCE的周長=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC,∵AC=15cm,∴BC=25﹣15=10cm；〔2證明：∵∠A=36°,AB=AC,∴∠C=〔180°﹣∠A=〔180°﹣36°=72°,∵AB的垂直平分線MN交AB于點D,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A,由三角形的外角性質(zhì)得,∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°,∴∠BEC=∠C,∴BC=BE．[點評]本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì),三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì),等角對等邊的性質(zhì),綜合題難度不大,熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．28．〔2016春?XX縣校級期末已知點D、E在△ABC的BC邊上,AD=AE,BD=CE,為了判斷∠B與∠C的大小關(guān)系,請你填空完成下面的推理過程,并在空白括號內(nèi),注明推理的根據(jù)．解：作AM⊥BC,垂足為M∵AD=AE,∴△ADE是等腰三角形,∴DM=EM〔等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線又∵BD=CE,∴BD+DM=CE+EM,即BM=CM；又∵AM⊥BC〔自己所作,∴AM是線段BC的垂直平分線；∴AB=AC〔線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等∴∠B=∠C．[分析]首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),得DM=EM,結(jié)合已知條件,根據(jù)等式的性質(zhì),得BM=CM,從而根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),得AB=AC,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明．[解答]解：作AM⊥BC,垂足為M∵A