《曲線和方程》導(dǎo)學(xué)設(shè)計方案

《曲線和程（1教學(xué)設(shè)計四川省德陽中學(xué)——左曦638000一教目?知與技能目標(biāo)了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系；初步領(lǐng)會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；學(xué)會根據(jù)已有的情景資料找規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力與抽象思維能力同時強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。?過與方法目標(biāo)（）過直線方程的復(fù)習(xí)引入，加強(qiáng)學(xué)生對方程的解和曲線上的點的一一對應(yīng)關(guān)系的直觀認(rèn)識（）形成曲線和方程概念的過程中，學(xué)生經(jīng)歷觀察，分析，討論等數(shù)學(xué)活動過程，探索出結(jié)并能有條理的闡述自己的觀點；（能用所學(xué)知識理解新的概并運用概念解決實際問題從體會轉(zhuǎn)化化歸的思想方法高思維品質(zhì)，發(fā)展應(yīng)用意識。?情與態(tài)度目標(biāo)（）過概念的復(fù)習(xí)引入，從特殊到一般，讓學(xué)生感受事物的發(fā)展規(guī)律；（通本節(jié)課的學(xué)習(xí)學(xué)生能體驗幾何問題可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題來研究正識到數(shù)學(xué)是決實際問題的重要工具；（）生通過觀察、分析、推斷可以獲得數(shù)學(xué)猜想，體驗到數(shù)學(xué)活動充滿著探索性和創(chuàng)造性。二教分1、教學(xué)分析：因為學(xué)生已有了方程（有時用函數(shù)式的形式出現(xiàn)）表示曲線的感性認(rèn)識（特別是二元一次方程表示直線進(jìn)一步研究平面內(nèi)的曲線和含有兩個變數(shù)的方程之間的關(guān)系由觀表象上升到抽象概念的過程。所以本節(jié)課采用了復(fù)習(xí)引入課題，從特殊到一般的方法讓學(xué)生易于受。在概念的探索過程中采用了舉反例的方法來揭示概念的內(nèi)涵。在概念的應(yīng)用即例題的設(shè)計方面，重鞏固對概念的兩個條件的認(rèn)識。2、教學(xué)重點“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念由直觀表象上升到抽象概念的過程，學(xué)生容易對定義中為什么要規(guī)定兩個關(guān)系產(chǎn)生困惑，原因是不理解兩者缺一都將擴(kuò)大概念的外延。由于生已經(jīng)具備了用方程表示直線，拋物線等實際模型，積累了感性認(rèn)識的基礎(chǔ)，所以可用舉反例的方法解決困惑，通過反例，揭示“兩者缺一”與直覺的矛盾，從而又促使學(xué)生對概念表述的嚴(yán)密性進(jìn)行探，自然地得出定義。為強(qiáng)化其認(rèn)識，又決定用集合相等的概念來解釋曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系，并以此工具來分析實例，這將有助于學(xué)生的理解，有助于學(xué)生通其法、知其理3、教學(xué)難點怎樣利用定義驗證曲線是方程的曲線是曲線的方生在作業(yè)中容易犯想當(dāng)然的錯，通常在已知曲線建立方程的時候，不驗證方程的解為坐標(biāo)的點在曲線上，就斷然得出所求的是線的方程為突破難點本課設(shè)計三種有層次的例題例3是概念的直接運用例4是明曲線的方程，例5是念的逆向運用。通過這些例題讓學(xué)生再一次體會“二者”缺一不可三學(xué)分此前，學(xué)生已知，在建立了直角坐標(biāo)系后平面內(nèi)的點和有序?qū)崝?shù)對之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，有了用方（時用函數(shù)式的形式出現(xiàn)表曲線的感性認(rèn)（特別是二元一次方程表示直線要一步研究平面內(nèi)的曲線和含有兩個變數(shù)的方程之間的關(guān)系，是由直觀表象上升到抽象概念的過，對學(xué)生有相當(dāng)大的難度學(xué)生在學(xué)習(xí)容易產(chǎn)生的問題是理曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點”這兩句話在揭示“曲線和方程”關(guān)系時各自所起的用。本1/6

節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)也只能是初步領(lǐng)會，要求學(xué)生能答出曲線和方程間必須滿足兩個關(guān)系時才能稱“曲線的方程”和“方程的曲線”兩者缺一不可，并能借助實例指出兩個關(guān)系的區(qū)別。四教方1、教法：教學(xué)過程是教師和學(xué)共同參與的過程，啟發(fā)學(xué)生自主性學(xué),充分調(diào)動學(xué)生的積極性、主動性；有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生素質(zhì)。根據(jù)這樣的原則和所要完成的教學(xué)目標(biāo)，為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，我采用如下的教學(xué)方法：(1)引導(dǎo)探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律通過學(xué)觀察坐標(biāo)系中的曲線和方程之間的關(guān)系得出曲線和方程的概念，這能充分調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性。(2)嘗試指導(dǎo)法，以學(xué)生為主體以訓(xùn)練為主線。這樣更能突出重點、解決難點，使學(xué)生的分析問題和解決問題的能力得到進(jìn)一步的提高。2、學(xué)法：教給學(xué)生方法比教給生知識更重要，本節(jié)課注重調(diào)動學(xué)生積極思考、主動探索，盡可能地增加學(xué)生參與教學(xué)活動的時間和空間，我進(jìn)行了以下學(xué)法指導(dǎo)：(1)觀察分析：讓學(xué)生要學(xué)會觀問題，分析問題和解決問題。(2)練習(xí)鞏固：讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)在運用，從而鞏固對概念的理解，找出未掌握的內(nèi)容及其差距。五教活程1、承上啟下，提出課題師：在本節(jié)課之前，我們研究過直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對應(yīng)關(guān)系：在面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可以用一個二元一次方程來表示，同時任何一個二元一次方程表示著一條直線。下面看一個具體的例子：例1：畫出方程

x

表示的直線y

Y

YO

XO借助多媒體讓學(xué)生再一次從直觀上深刻體會須同時滿直線上的點的坐標(biāo)都是方程的解和（以這個方程的解為坐標(biāo)的都是直線上的點方的解的集合與直線上所有點的集合之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，那么直線（圖形）方（數(shù)量）。類比方程

y

2

與如圖所示的拋物線這

條拋物線是否與這個二元方程y

2

也能建立這種對應(yīng)關(guān)系呢？（照例1的析方式的得出答案是肯定.）推廣：那么對任意的曲線和二元方程是否都能建立這種等價關(guān)系呢？這就是今天這節(jié)課的內(nèi)容曲線和方程書課題）現(xiàn)在請同學(xué)們思考這樣的問題：?F(x,y)=0/

方程

F(,y)

的解與曲線C上點的坐標(biāo)具備怎樣的關(guān)系，就能用方程

F(,y)

表示曲線C，同時曲線C也表著方程

F(y)

,為什么要具備這些條件？（將問題重述一遍，使每個學(xué)生聽清楚。學(xué)生思考，討論，口答）（說明：運用學(xué)生熟知的舊知識，由特殊到一般，既提出了課題，又為形成曲線和方程的概念供了實際模型。但是如果就此而由教師直接給出結(jié)論，那就不僅會失去開發(fā)學(xué)生思維的機(jī)會，影學(xué)生的理解，而且會使教學(xué)變得枯燥乏味，抑制學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性。要啟動學(xué)生的思維，就要有一個明確的可供思考的問題，使學(xué)生的思維有明確的指向。這里提的思考題是以相信學(xué)生對用方程表示曲線的事實已有了初步的認(rèn)識為前提說是本節(jié)課的中議題，應(yīng)引導(dǎo)全班學(xué)生積極思維，讓多一點學(xué)生發(fā)表意見，形成“高潮題后面加上了“為什么”的問題。是為了給那些還記著“直線的方程”的定義的學(xué)生提供思考余地，增大思考題的跨度運用反例，揭示內(nèi)涵師：剛才的討論中，有的同學(xué)提到了應(yīng)具備關(guān)系上的點的坐標(biāo)都是方程的解的學(xué)到了應(yīng)具備關(guān)“以這個方程的為坐標(biāo)的點都是曲線上的點的同學(xué)雖用了不同的提法意思不外乎這兩個?，F(xiàn)在的問題是：上述的兩種提法一樣嗎？它們反映的是不是同一個事實？有何別？究竟用怎樣的關(guān)系才能把例1中線和方程的這種對應(yīng)關(guān)系完整的表達(dá)出來？為了弄清這些問題，們來研究下列例題。（說明：在討論中，學(xué)生會有各種不同的意見，教師應(yīng)予鼓勵，并隨時補正糾錯，但不要急著兩個關(guān)系并列起來拋出定義，中斷學(xué)生的探索性思維，而是再提出問題，深入探索例2:用下列方程表示如圖所示的曲線，對嗎？為什么？（）

y

（）

x

2

2

（）

（學(xué)生思考，回答）師C方程中曲線C上的不全是方程

y的解。例如點

(

，

(3,3)

等，即不符合“曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論；第2）題中，盡管“曲線上的的坐標(biāo)都是方程的解方程

x2

的解為坐標(biāo)的點卻不全在曲線C上例

D

、

3)

等，即不符合“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上”這一結(jié)論；第3）題中，則既有以方程

的解坐標(biāo)的點，如

G(

、

H(2)

等不在曲線C上，又有曲線C上點，如

M(

、

N(

等的坐標(biāo)不是方程

的解。事實上（各程所表示的曲線應(yīng)該是如圖所示的三種情況。/

Y

YO

X

O

O

X(1)(2)(3)師：上面我們既觀察、分析了完整地用方程表示曲線，用曲線表示方程的；又觀察、分析了例中所出現(xiàn)的方程與曲線間所建立的不完整的對立關(guān)系。假如我們把例1這能完整地表示曲線的程稱為“曲線的方程”的話，我們完全有條件自己給“曲線的方程”下個定義了。（說明：在概念教學(xué)中，通過反例的反襯，常常起著幫助學(xué)生理解概念的作用。反例一般應(yīng)用學(xué)生對概念有了初步的正面了解之后，這里卻用在給出概念的定義之前，那是出于這樣的考慮相信學(xué)生已經(jīng)有了用方程表示曲線的經(jīng)驗直覺上識別哪個方程能表示哪條曲然簡單的子哪個方程不能表示哪條曲線，缺少的只是用邏輯形式確切地加以陳述，給概念以定義將例中出現(xiàn)的不完整性與直觀引起矛盾，避免曲線和方程之間關(guān)系的不完整性，尋求作出必要的規(guī)定，就是產(chǎn)生“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義的過程討論歸納，得出定義師：在下定義時，針對例2（）“曲線上混有其坐標(biāo)不是方程的解的點及2）中“以方的解為坐標(biāo)的點不在曲線上”的情況，對“曲線的方程”應(yīng)作何規(guī)定？（學(xué)生口答）師：為了不使曲線上混有其坐標(biāo)不是方程的解的點，必須規(guī)定““曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解了止以方程的解為坐標(biāo)的點不在曲線上，必須規(guī)定“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點）這樣我們可以對“曲線的方程曲線”下這樣的定義：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上點與一個二元方程

f(xy)

的實數(shù)解建立了如下關(guān)系：曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解；以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點。那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。（說明：在辨析反例之后，有了關(guān)于對象所共有的本質(zhì)屬性的正確認(rèn)識，給對象以明確的定義是水到渠成，這里單獨列出作為一個教學(xué)步驟，是想突出這個中心環(huán)節(jié)，并有意識地訓(xùn)練學(xué)生依知覺的分散的已知知識給概念下定義的創(chuàng)造能力4、變換表達(dá)，強(qiáng)化理解師：大家熟知，曲線可以看作是由點組成的集合，記作；一個二元方程的解可以作為點的坐標(biāo)，因此二元方程的解集也描述了一個點集，記作F請大家思考：如何用集合C和F間關(guān)系來表述“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的兩個關(guān)系？進(jìn)而重新認(rèn)識“曲線的方程”和“方程的曲”定義。（說明這本節(jié)課第二個思維“熱點促使學(xué)生對曲線和方程關(guān)系的理解得到強(qiáng)化是認(rèn)上的再一次抽象，其結(jié)果將使學(xué)生對曲線和方程的關(guān)系的理解與記憶都趨于簡化（學(xué)生思考、口答）師：關(guān)系（）點集C是點F的子集；關(guān)系）指點集F是點集C的集。這樣，根據(jù)集合/

CFABCAO性質(zhì)，我們可以用集合相等的概念來定義“曲線的方程”和“方程的曲線板）CFABCAO(1)C

＜====＞。5：初步應(yīng)用，反復(fù)辨析。（說明：數(shù)學(xué)概念是要在運用中的以鞏固，通過運用與練習(xí)，可以糾正錯誤的認(rèn)識，促使對概的正確理解，通過反復(fù)重現(xiàn)，可以不斷領(lǐng)悟，加強(qiáng)識記。這里安排的“初步應(yīng)在于幫助生正確理解概念，通過解題辨析“兩個關(guān)系本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，為此，題目中的“曲線”與“程”都力求簡單例3：下列各題中，圖所示的曲方程為所列方程，對嗎？如果不對，是不符合關(guān)系）還是關(guān)系（）

Y

X曲線C為的線

曲線C是坐標(biāo)軸距離相等的點成的直線方程

x

方程

xY

X曲線C是點4，1）的反比例數(shù)圖象方程

y

4x學(xué)生回答）。不符合定義中的2

F但F

;（）。不符合定義中的（1

FC但F

;（）。不符合定義中的（1）和（2

且

;例4：解答下列問題，并說出各據(jù)了曲線的方程和方程的曲線定義中的哪一個關(guān)系？點

(3,B5,2)

是否在方程為

x

2

y

2

25

的圓上？已知方程為

xy225

的圓過點

C

，求的。（學(xué)生練習(xí)、回答，老師糾錯、小結(jié)/

AA師；依據(jù)關(guān)系（2知點在圓上；依據(jù)關(guān)系1知點不圓上；依據(jù)關(guān)系2得m2

；例5：證明以坐標(biāo)原點為圓心，徑等于圓的方程是

x

2

y

2

25

。（說明：課本上原有例題：證明圓心為坐標(biāo)原點，半徑等于的圓方程是

xy225

，并判斷點

5,2)是否在圓上1

。處理時將有些要求分散到了例3例中例5要求集中在“證明”上。這樣安排的意圖是先集中注意力于概念的領(lǐng)會上，對證明過程中在表述上遇到一些困難，留在這里解決，層層深入師生練習(xí)過程中，適時插話與剛才判定時一樣，證明也要緊扣定義分兩步進(jìn)行；關(guān)系”與“解”指的都是關(guān)集合中的全體元素，我們只要用證明中常用。

()0

表示“任意一個此代表“體”即可，這種方法為數(shù)學(xué)證明）三：小結(jié)師：本節(jié)課我們通過對實例的研究，掌握了“曲線的方程”定義，在領(lǐng)會定義時，要牢記關(guān)系（1者一可，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要