專題01二次根式的化簡(jiǎn)與求值

專題01二次根式的化簡(jiǎn)與求值 閱讀與思考二次根式的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題常涉及最簡(jiǎn)根式、同類根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、換元等技巧.有條件的二次根式的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題是代數(shù)變形的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，這類問(wèn)題包含了整式、分式、二次根式等眾多知識(shí)，又聯(lián)系著分解變形、整體代換、一般化等重要的思想方法，解題的基本思路是：1、直接代入直接將已知條件代入待化簡(jiǎn)求值的式子.2、變形代入適當(dāng)?shù)刈儣l件、適當(dāng)?shù)刈兘Y(jié)論，同時(shí)變條件與結(jié)論，再代入求值.數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)中充滿了矛盾，如正與負(fù)，加與減，乘與除，數(shù)與形，有理數(shù)與無(wú)理數(shù)，常量與變量、有理式與無(wú)理式，相等與不等，正面與反面、有限與無(wú)限，分解與合并，特殊與一般，存在與不存在等，數(shù)學(xué)就是在矛盾中產(chǎn)生，又在矛盾中發(fā)展.想一想：若（其中x,y,n都是正整數(shù)），則都是同類二次根式，為什么？例題與求解【例1】當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是（）A、0B、－1C、1D、（紹興市競(jìng)賽試題）【例2】化簡(jiǎn)（1）（黃岡市中考試題）（五城市聯(lián)賽試題）（3）（北京市競(jìng)賽試題）（4）（陜西省競(jìng)賽試題）解題思路：若一開(kāi)始把分母有理化，則計(jì)算必定繁難，仔細(xì)觀察每題中分子與分母的數(shù)字特點(diǎn)，通過(guò)分解、分析等方法尋找它們的聯(lián)系，問(wèn)題便迎刃而解.思想精髓：因式分解是針對(duì)多項(xiàng)式而言的，在整式，分母中應(yīng)用非常廣泛，但是因式分解的思想也廣泛應(yīng)用于解二次根式的問(wèn)題中，恰當(dāng)?shù)刈黝愃朴谝蚴椒纸獾淖冃?，可降低一些二次根式?wèn)題的難度.【例3】比大的最小整數(shù)是多少？（西安交大少年班入學(xué)試題）解題思路：直接展開(kāi)，計(jì)算較繁，可引入有理化因式輔助解題，即設(shè)想一想：設(shè)求的值.（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）形如：的根式為復(fù)合二次根式，常用配方，引入?yún)?shù)等方法來(lái)化簡(jiǎn)復(fù)合二次根式.【例4】設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，求x＋y的值.（“宗瀘杯”競(jìng)賽試題）解題思路：從化簡(jiǎn)條件等式入手，而化簡(jiǎn)的基本方法是有理化.【例5】（1）代數(shù)式的最小值.（2）求代數(shù)式的最小值.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：對(duì)于（1），目前運(yùn)用代數(shù)的方法很難求此式的最小值，的幾何意義是直角邊為a，b的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，從構(gòu)造幾何圖形入手，對(duì)于（2），設(shè)，設(shè)A（x，0），B(4，5)，C(2，3)相當(dāng)于求AB＋AC的最小值，以下可用對(duì)稱分析法解決.方法精髓：解決根式問(wèn)題的基本思路是有理化，有理化的主要途徑是乘方、配方、換元和乘有理化因式.【例6】設(shè)，求的值.解題思路：配方法是化簡(jiǎn)復(fù)合二次根式的常用方法，配方后再考慮用換元法求對(duì)應(yīng)式子的值.能力訓(xùn)練A級(jí)1.化簡(jiǎn)：（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）2.若，則＝_____(北京市競(jìng)賽試題)計(jì)算：（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）4.若滿足0＜x＜y及的不同整數(shù)對(duì)（x，y）是_______（上海市競(jìng)賽試題）5.如果式子化簡(jiǎn)結(jié)果為2x－3，則x的取值范圍是（）A.x≤1B.x≥2C.1≤x≤2D.x＞06、計(jì)算的值為（）A．1B.C.D.5（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）7．a(chǎn)，b，c為有理數(shù)，且等式成立，則2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999B.2000C.2022D.不能確定（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）8、有下列三個(gè)命題甲：若α，β是不相等的無(wú)理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)；乙：若α，β是不相等的無(wú)理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)；丙：若α，β是不相等的無(wú)理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）9、化簡(jiǎn)：（1）（2）（3）（4）（天津市競(jìng)賽試題）（5）（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）10、設(shè)，求代數(shù)式的值.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）11、已知，求x的值.設(shè)（n為自然數(shù)），當(dāng)n為何值，代數(shù)式的值為1985？B級(jí)1.已知.(四川省競(jìng)賽試題)2.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則＝＿＿＿＿（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）3.已知.（重慶市競(jìng)賽試題）4.那么＝＿＿＿＿＿.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）5.a，b為有理數(shù)，且滿足等式則a＋b＝（）B.4C.6D.8(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)6．已知，那么a，b，c的大小關(guān)系是（）B.b＜a＜cC.c＜b＜cD.c＜a＜b(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)7.已知，則的值是（）A.B.C.D.不能確定8.若[a]表示實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，則等于（）D.4（陜西省競(jìng)賽試題）9．把中根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，則原式應(yīng)等于（）A.B.C.D.（武漢市調(diào)考題）10、化簡(jiǎn)：（1）（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）（2）（新加坡中學(xué)生競(jìng)賽試題）（3）