自動控制理論2014秋三大第五章頻率特性法

2023/3/1第五章頻率特性法頻率響應(yīng)法(Frequency-responseanalysis)是二十世紀三十年代發(fā)展起來的一種經(jīng)典工程實用方法,是一種利用頻率特性進行控制系統(tǒng)分析的圖解方法,可方便地用于控制工程中的系統(tǒng)分析與設(shè)計。頻率法用于分析和設(shè)計系統(tǒng)有如下優(yōu)點：（1）不必求解系統(tǒng)的特征根，采用較為簡單的圖解方法就可研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）系統(tǒng)的頻率特性可用實驗方法測出。（3）用頻率法設(shè)計系統(tǒng)，可以忽略噪聲的影響。

本章主要討論頻率響應(yīng)法的基本概念、典型環(huán)節(jié)及系統(tǒng)頻率特性的求法、頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系和閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性等。2023/3/1本章內(nèi)容第一節(jié)頻率特性的基本概念第二節(jié)典型環(huán)節(jié)的頻率特性第三節(jié)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制第四節(jié)乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性第五節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性第六節(jié)根據(jù)閉環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的時域響應(yīng)本章小結(jié)、重點和習(xí)題2023/3/1第一節(jié)頻率特性的基本概念

本節(jié)從討論系統(tǒng)在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)出發(fā)，把握頻率特性的基本概念。頻率特性又稱頻率響應(yīng)，它是系統(tǒng)（或元件）對不同頻率正弦輸入信號的響應(yīng)特性（圖5-1）。

一、系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)輸出設(shè)r(t)為正弦信號，

作用于線性定常系統(tǒng)G(s)

，輸出響應(yīng)為c（t），則輸出信號為同頻率的正弦信號，但輸出的振幅和相圖5-1正弦信號對線性系統(tǒng)的作用2023/3/1位一般均不同于輸入量，且隨著輸入信號頻率的變化而變化，如圖5-2所示：

圖5-2輸入輸出信號的對比2023/3/1設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：已知輸入，其拉氏變換A為常量，則系統(tǒng)輸出為為G(s)的極點

(5-1)若系統(tǒng)無重極點，則（5-1）式可寫為(5-2)對（5-2）式求拉氏反變換，則得系統(tǒng)的輸出信號2023/3/1(5-3)若系統(tǒng)穩(wěn)定，均具有負實部，當(dāng)時，上式中的暫態(tài)分量將衰減為零，這時，可得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：待定系數(shù)

其中將代入上式，并利用歐拉公式，可求得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為2023/3/1以上分析表明，在正弦信號的作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是一個正弦函數(shù)，其頻率與輸入信號的頻率相同，振幅為輸入信號幅值的倍，相移為二、頻率特性的定義

1、頻率響應(yīng)在正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)值稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，記為c(t)。2023/3/1

2、頻率特性

系統(tǒng)頻率響應(yīng)c(t)與輸入正弦信號r(t)的復(fù)數(shù)比稱為系統(tǒng)的頻率特性，是隨輸入正弦信號角頻率變化而變化的復(fù)變函數(shù)，記為G(j)，即式中,是穩(wěn)態(tài)輸出信號的幅值與輸入信號的幅值之比，稱為幅頻特性。是穩(wěn)態(tài)輸出信號的相角與輸入信號相角之差(相移)，稱為相頻特性。在系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)中，令s=j，即可得到系統(tǒng)的頻率特性。有開環(huán)頻率特性與閉環(huán)頻率特性之分。3、頻率特性與傳遞函數(shù)、微分方程表示的關(guān)系頻率特性與傳遞函數(shù)、微分方程表示的關(guān)系如圖5-3所示。2023/3/1三、頻率特性表示法頻率特性可用解析式或圖形來表示。圖5-3系統(tǒng)表示法之間的關(guān)系2023/3/1（一）解析表示系統(tǒng)開環(huán)頻率特性可用以下解析式表示：幅頻-相頻形式：

指數(shù)形式(極坐標(biāo))：三角函數(shù)形式：實頻-虛頻形式：2023/3/1（二）系統(tǒng)頻率特性常用的圖解形式極坐標(biāo)圖(Polarplot)——奈奎斯特圖（Nyquist）系統(tǒng)頻率特性為幅頻-相頻形式當(dāng)在0～變化時,相量G(j)的幅值和相角隨而變化,與此對應(yīng)的相量G(j)的端點在復(fù)平面G(j)上的運動軌跡就稱為幅相頻率特性或Nyquist曲線。畫有Nyquist曲線的坐標(biāo)圖稱為極坐標(biāo)圖或Nyquist圖。2023/3/1【例5-1】繪制G(s)H(s)=1/(Ts+1)系統(tǒng)的幅相頻率特性圖。解：寫出頻率特性的表達式對于本題，可以證明，G(j)H(j)的實部和虛部滿足下式：上式表明，系統(tǒng)幅相頻率特性曲線是G(j)H(j)平面上以(1/2,0j)為圓心，

1/2為半徑的下半圓（因相角總小于零）。

2023/3/1繪制出的幅相頻率特性(nyquist)曲線如圖5-4所示?；蛘撸簣D5-4慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性2023/3/12.對數(shù)坐標(biāo)圖(logarithmicplot)—伯德圖（Bode

diagram

）如將系統(tǒng)頻率特性G(j)的幅值和相角分別繪在半對數(shù)坐標(biāo)圖上,分別得到對數(shù)幅頻特性曲線（縱軸：對幅值取分貝數(shù)后進行分度；橫軸：對頻率取以10為底的對數(shù)后進行分度）和相頻特性曲線（縱軸：對相角進行線性分度；橫軸：對頻率取以10為底的對數(shù)后進行分度），合稱為伯德圖(Bode圖)。

對數(shù)幅頻特性記為，單位為分貝（dB)。對數(shù)相頻特性記為，單位為弧度（rad)。Bode圖的特點

Bode圖在控制工程設(shè)計和綜合中，具有以下優(yōu)點。

（1）橫坐標(biāo)按頻率取對數(shù)分度，低頻部分分辨率高，而高頻部分分辨粗略。與對實際控制系統(tǒng)（一般為低頻系統(tǒng)）的頻率分辨要求吻合。2023/3/1（2）幅頻特性取分貝數(shù)［20Lg|G（s）H（s）|］后，使各因子間的乘除運算變?yōu)榧訙p運算，在Bode圖上則變?yōu)楦饕蜃臃l特性曲線的疊加，大大簡化了作圖過程，使系統(tǒng)設(shè)計和分析變得容易。

（3）可采用由直線段構(gòu)成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使繪圖十分簡便。（4）在控制系統(tǒng)的設(shè)計和調(diào)試中,開環(huán)放大系數(shù)K是最常變化的參數(shù)。而K的變化不影響對數(shù)幅頻特性的形狀,只會使幅頻特性曲線作上下平移。

【例5-2】繪制G(s)H(s)=1/(Ts+1)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻特性曲線(Bode圖)。解：由2023/3/1得：當(dāng)從0變化到時，分別繪制Bode圖如下：工程實踐中，一般采用分段直線（漸近線）來繪制系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線L()，用取有限個頻率點計算相角并描繪曲線的方法繪制()曲線。必要時在一些特殊頻段進行修正。2023/3/1例如本例中，在低頻時，即時，可以近似認為，則有：低頻時的對數(shù)幅值曲線是一條0分貝的直線。在高頻時，即時，則有：

高頻時的對數(shù)幅頻特性曲線是一條斜率為-20分貝/十倍頻程(－20dB/Dec(decuple)，即頻率每增加10倍，幅值就下降20dB）的直線。

=1/T時，前述兩條直線相交，

=1/T稱為轉(zhuǎn)折頻率。

用matlab繪制的對數(shù)頻率特性曲線如圖5-5所示。2023/3/1精確曲線

漸近線

漸近線

Asymptote

Cornerfrequency

Exactcurve精確曲線

Exactcurve圖5-5慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性（漸近線及精確曲線）用上述近似方法產(chǎn)生的最大誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)折頻率處，為。2023/3/1第二節(jié)典型環(huán)節(jié)的頻率特性本節(jié)介紹幾種典型環(huán)節(jié)的頻率特性（bode圖和nyquist圖）。一、比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的頻率特性為：相應(yīng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性為：K=10時的Bode圖見左圖，nyquist圖是一個與頻率無關(guān)的常量,幅值為K(實軸上一點)，相角為零。見下圖。圖5-6比例環(huán)節(jié)的Bode圖圖5-7比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖2023/3/1二、積分環(huán)節(jié)與微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的頻率特性為：相應(yīng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性為：微分環(huán)節(jié)的頻率特性為：相應(yīng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性為：可見，積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性均只相差一個負號。積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)的Bode圖見圖5-8和5-9。相頻特性對數(shù)幅頻特性2023/3/1圖5-8積分環(huán)節(jié)的Bode圖Matlab繪制bode圖：>>bode(tf(1,[1,0]))2023/3/1Matlab繪制bode圖：>>bode(tf([1,0],1))圖5-9微分環(huán)節(jié)的Bode圖2023/3/1圖5-11積分、微分環(huán)節(jié)的nyquist圖（matlab繪制）圖5-10積分、微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性與負虛軸重合,由0到變化時,幅值由到零,相角始終為-90o。微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性與正虛軸重合，由0到變化時,幅值由0到,相角始終為90o。Matlab繪制nyquist圖：>>nyquist(tf(1,[1,0]))或nyquist(tf([1,0],1))2023/3/1依此類推，可以得到n階積分或微分環(huán)節(jié)的頻率特性：這些幅頻特性曲線將通過點，的對數(shù)頻率特性曲線如圖5-12所示。2023/3/1-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec圖5-12的bode圖2023/3/1三、慣性環(huán)節(jié)見例【5-1】和例【5-2】。四、一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為頻率特性為：相應(yīng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性為：近似處理：低頻時：高頻時：一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖見圖5-13。2023/3/1圖5-13一階微分環(huán)節(jié)的bode圖2023/3/1一階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性是一條平行于正虛軸的射線,當(dāng)由0到變化時，幅相頻率特性起于

10點指向

90o一階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖如圖5-14所示。圖5-14一階微分環(huán)節(jié)的nyquist圖2023/3/1五、振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)式中，，稱為自然振蕩角頻率。頻率特性為：相應(yīng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性為：2023/3/1在低頻時，即當(dāng)?shù)皖l漸近線為一條0分貝的水平線時，L()=-20log1=0dB在高頻時，即時，其對數(shù)幅頻特性曲線是一條斜率為-40分貝/十倍頻程的直線

處，漸近線相交，為其轉(zhuǎn)折頻率，在精確曲線與漸近線之間存在一定的誤差，誤差的大小與的取值有關(guān)，阻尼比越小，誤差越大。當(dāng)時，bode圖將會出現(xiàn)峰值。2023/3/1振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性如圖5-14所示。圖5-14振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性2023/3/1振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性如圖5-15所示。圖5-15振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性2023/3/1幅值誤差與

關(guān)系見圖5-16。圖5-16幅值誤差與的關(guān)系2023/3/1振蕩環(huán)節(jié)的諧振頻率與諧振峰值討論與峰值之間的關(guān)系。在幅頻特性中，令對求導(dǎo)：求得稱為諧振頻率，代入幅頻特性，得到相應(yīng)的諧振峰值為

當(dāng)時，幅值曲線不可能有峰值出現(xiàn)，即不會有諧振。

2023/3/1與關(guān)系曲線見圖5-17。

/dB圖5-17與的關(guān)系曲線2023/3/1振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性圖為一不規(guī)則的圓弧。當(dāng)由0到變化時，頻率特性起于正實軸上（1，0j）點，終止于坐標(biāo)原點。圓弧線隨由1到0時幅值變大，當(dāng)=1/T=n時，交虛軸于1/2處。其極坐標(biāo)圖見圖5-18。圖5-18振蕩環(huán)節(jié)的nyquist圖2023/3/1六、二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)頻率特性為：相應(yīng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性為：二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖與二階振蕩系統(tǒng)的Bode圖對稱于頻率軸。圖見圖5-19。2023/3/1圖5-19二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖2023/3/1二階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性為起于實軸上10o點，由0到變化時，頻率特性向左上方延伸指向180o處。見圖5-20。

圖5-20二階微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖2023/3/1七、遲后（延遲）環(huán)節(jié)遲后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)頻率特性為：相應(yīng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性為：遲后環(huán)節(jié)的Bode圖見右圖。圖5-21遲后環(huán)節(jié)的Bode圖2023/3/1遲后環(huán)節(jié)的幅相頻率特性為圓心在坐標(biāo)原點、半徑為1的單位圓。當(dāng)由0到變化時，特性曲線由10o點順時針方向旋轉(zhuǎn)，相角（為負值）不斷增加而幅值恒為1。見下圖。圖5-22遲后環(huán)節(jié)的Nyquist圖2023/3/1第三節(jié)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制一、開環(huán)系統(tǒng)Bode圖的繪圖方法控制系統(tǒng)一般由多個環(huán)節(jié)組成，在繪制系統(tǒng)Bode圖時，應(yīng)先將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式，再逐步繪制。常用方法有三種。（一）環(huán)節(jié)曲線疊加法

繪圖步驟概括如下:(1)將系統(tǒng)開環(huán)頻率特性寫為各個典型環(huán)節(jié)乘積形式，確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率（如果有的話）(2)將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線分別畫于半對數(shù)坐標(biāo)紙上；(3)將各環(huán)節(jié)幅頻特性曲線進行疊加(在各轉(zhuǎn)折點處各環(huán)節(jié)幅值數(shù)相加)，求得開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線。2023/3/1(4)將各環(huán)節(jié)相頻特性曲線進行疊加(選取若干個值，將各環(huán)節(jié)在此處的相頻數(shù)值疊加)，求得開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線。(5)如需要精確對數(shù)幅頻特性，則可在各轉(zhuǎn)折頻率處加以修正?！纠?-3】設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制其開環(huán)對數(shù)頻率特性圖。解：

(1)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性可寫成：(2)將五個環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線分別繪于圖5-23中2023/3/1(3)將L1()～L5()疊加，求得開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線L()。

(4)將1()～5()疊加,得開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線

()。最后得到該系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性如圖5-23所示。圖5-23例5-3系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性2023/3/1（二）順序斜率疊加法本方法不必將各個典型環(huán)節(jié)的L()繪出,而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L()曲線,

()曲線可用前述辦或后面介紹的計算法繪制。繪制步驟概括如下:（1）將系統(tǒng)開環(huán)頻率特性改寫為各個典型環(huán)節(jié)的乘積形式,確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率（如果有的話）,并將轉(zhuǎn)折頻率由低到高依次標(biāo)注到半對數(shù)坐標(biāo)紙上。

(2)繪制L()的低頻段漸近線；a.如為0型系統(tǒng),低頻段平行于頻率軸,高度為20lgK;b.如為I型以上系統(tǒng),則低頻段（或其延長線）在=1處的幅值也為20lgK,斜率為-20dB/dec2023/3/1(3)按轉(zhuǎn)折頻率由低頻到高頻的順序,在低頻漸近線的基礎(chǔ)上,每遇到一個轉(zhuǎn)角頻率,根據(jù)環(huán)節(jié)的性質(zhì)改變漸近線斜率,繪制漸近線,直到繪出轉(zhuǎn)折頻率最高的環(huán)節(jié)為止。最后一段漸近線的斜率應(yīng)為-20(n-m)dB/dec,可用該公式驗證變換過程；(4)必要時應(yīng)對L()曲線進行修正。【例5-4】設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)頻率特性曲線。解：

(1)先將傳遞函數(shù)化成Bode圖的標(biāo)準(zhǔn)式，則原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)椋?2)將各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率由低到高依次標(biāo)于軸上,如圖5-24所示。

2023/3/1(3)繪制低頻漸近線。由于是I型系統(tǒng),=1處的幅值為20lgK=17.5(dB)。以此點為基準(zhǔn)繪制系統(tǒng)低頻部分漸近線,是一條斜率為-20dB/dec的直線。

(4)由低頻到高頻順序繪出對數(shù)幅頻特性漸近線。在低頻漸近線的基礎(chǔ)上,每遇到一個環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,根據(jù)該環(huán)節(jié)的性質(zhì)作一次斜率變化,直至最后一個環(huán)節(jié)完成為止。

(5)必要時對漸近線進行修正,畫出精確的對數(shù)幅頻特性。圖5-24例5-4系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性2023/3/1（三）計算法根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G(j)H(j),寫出相應(yīng)的對數(shù)幅頻和相頻特性表達式L()和(),依次代入若干個值(一般從最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10開始到最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍取值),分別計算不同的L()和()值，逐點描繪,即可繪制出系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線。該方法常用于計算和繪制()曲線。二、開環(huán)系統(tǒng)極坐標(biāo)圖的繪圖方法一般工業(yè)控制系統(tǒng)都是由多個環(huán)節(jié)組成的，若逐點計算繪圖將十分繁瑣，以下介紹工程常用的繪制概略幅相曲線的方法，主要步驟為:

1.將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)分解為

Gi(S）（i=1,2,…）——除K/sv外的其他典型環(huán)節(jié)。2023/3/12.確定幅相曲線的起點和終點幅相曲線的起點為G（j0+）H（j0+），終點為G（j）H（j）。（1）起點——=0+(即低頻段)，除比例、積分和微分環(huán)節(jié)外，其他典型環(huán)節(jié)的頻率特性在起點處有Gi(j0＋)H(j0+)=1·ej0+。故與系統(tǒng)的類型有關(guān)，見圖5-25。一般有圖5-25頻率特性的低頻段形狀2023/3/1幅相特性曲線的起點有以下結(jié)論：起點處的幅值：起點處的相角：有時需要求取幅相特性的低頻漸近線（2）終點(即高頻段)，此時頻率特性的幅值與分子和分母多項式的階次差（n-m）值有關(guān)。對于實際物理系統(tǒng)總有nm，可得、

2023/3/1終點處的幅值：終點處的相角：3．確定幅相曲線與實軸、虛軸的交點及中頻段的其他特征點系統(tǒng)幅相特性曲線與負實軸的交點坐標(biāo)是判定系統(tǒng)穩(wěn)定的關(guān)鍵因素，而與實軸的交點可用于確定中頻段的位置，中頻段的形狀主要由頻率特性的分子、分母中各因子的時間常數(shù)決定。（1）曲線與實軸交點坐標(biāo)的求取令虛部為零，即或2023/3/1求出，代入實部Re[G(j)H(j)］中，可得幅相曲線與實軸的交點坐標(biāo)。（2）曲線與虛軸交點坐標(biāo)的求取。同理令Re[G(j)H(j)]=0，求得代入虛部可確定曲線與虛軸的交點坐標(biāo)。（3）列表計算一些中、高頻段的頻率點坐標(biāo)（4）逐點描繪幅相特性曲線【例5-5】設(shè)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為：

試繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖。解：本系統(tǒng)m=0,n-m=3,=1低頻段0+時，G(j0)H(j0)=<-90o，具有-2.5的低頻漸近線。高頻段

時，G(j)H(j)=0<-90o32023/3/1將頻率特性寫為實部虛部的形式：其實部當(dāng)時，為－2.5中頻段：令I(lǐng)m[G(j)H(j)]=0，求出

=10,取

=10代入

Re[G(j)H(j)]=-0.4可知與實軸交點坐標(biāo)為(-0.4,j0)。

由Re[G(j)H(j)]=0，可得=

表明幅相特性曲線僅在坐標(biāo)原點處與虛軸相交。2023/3/1將以上特征點概略地繪制如圖5-26。圖5-26例5-5系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖2023/3/1用matlab繪制的該系統(tǒng)極坐標(biāo)圖如圖5-27所示。圖5-27例5-5系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖2023/3/1三、最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)Minimumphasesystemsandnon-minimumphasesystems最小相位傳遞函數(shù)非最小相位傳遞函數(shù)在右半s平面內(nèi)既無極點也無零點的傳遞函數(shù)在右半s平面內(nèi)有極點和（或）零點的傳遞函數(shù)最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)請看例子2023/3/1對于最小相位系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)由單一的幅值曲線唯一確定。對于非最小相位系統(tǒng)則不是這種情況。見圖5-29。

圖5-28最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的零-極點分布圖2023/3/1非最小相位系統(tǒng)

最小相位系統(tǒng)

圖5-29的相角特性

相同的幅值特性和2023/3/1在具有相同幅值特性的系統(tǒng)中，最小相位傳遞函數(shù)（系統(tǒng)）的相角范圍，在所有這類系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍，都大于最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍

最小相位系統(tǒng)，幅值特性和相角特性之間具有唯一的對應(yīng)關(guān)系。這意味著，如果系統(tǒng)的幅值曲線在從零到無窮大的全部頻率范圍上給定，則相角曲線被唯一確定但這個結(jié)論對于非最小相位系統(tǒng)不成立。

反之亦然2023/3/1最小相位系統(tǒng)，相角在時變?yōu)椋簄為極點數(shù)，m為零點數(shù)。時的斜率都等于因此，為了確定系統(tǒng)是不是最小相位的既需要檢查對數(shù)幅值曲線高頻漸近線的斜率，又需檢查在時相角。對數(shù)幅值曲線的斜率為并且相角等于那么該系統(tǒng)就是最小相位系統(tǒng)。判斷最小相位系統(tǒng)的另一種方法兩個系統(tǒng)的對數(shù)幅值曲線在時，如果2023/3/1四、系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性與閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系

在一定輸入信號作用下，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（類型）及開環(huán)放大系數(shù)K值有關(guān)。靜態(tài)位置、速度和加速度誤差常數(shù)分別描述了0型、1型和2型系統(tǒng)的低頻特性。通過分析給定的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線（Bode圖），可確定系統(tǒng)的誤差系數(shù)，從而求出穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的類型確定了低頻時對數(shù)幅值曲線的斜率。因此，對于給定的輸入信號，控制系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差，以及穩(wěn)態(tài)誤差的大小，都可以從觀察對數(shù)幅值曲線的低頻區(qū)特性予以確定。2023/3/11、0型系統(tǒng)

對類似圖5-30所示的0型系統(tǒng)的Bode圖，通過低頻段高度L(0)=20lgKp（dB）,可求出Kp=10L(0)/20。從而計算出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。圖5-300型系統(tǒng)的bode圖2023/3/12、I型系統(tǒng)對圖4-31所示I型系統(tǒng)Bode圖,低頻段漸近線斜率為-20dB/dec。有兩種情況：（1）低頻段或低頻段延長線與0dB線相交，則交點處的頻率

=Kv

；

(2)低頻段或低頻段漸近線的延長線在=1時的幅值為20lgKv

。圖5-31I型系統(tǒng)的bode圖2023/3/1證明：（1）在I型系統(tǒng)中有：（2）設(shè)交點上的頻率為2023/3/13、II型系統(tǒng)

圖4-32所示為II型系統(tǒng)Bode圖，低頻段漸近線的斜率為-40dB/dec，有兩種不同情況：

(1)低頻段或低頻段的延長線在=1時的幅值為20lgKa。(2)低頻段漸近線或低頻段漸近線的延長線與0dB線相交，

則交點處的頻率=Ka1/2；圖5-32II型系統(tǒng)的bode圖2023/3/1證明：（1）在II型系統(tǒng)中有：（2）2023/3/1【例5-6】有I型系統(tǒng)如圖5-33所示。試證明：斜率為-40dB／dec的直線(或其延長線)與0dB線交點(令為3)，為轉(zhuǎn)折頻率2與1的幾何中點。解：設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為

則有，圖5-33某I型系統(tǒng)的bode圖在伯德圖上點恰好是點與點的中點

2023/3/1第四節(jié)乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和相對穩(wěn)定性

時域中閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征根都具有負的實部，即位于s平面的左半部。也可用代數(shù)判據(jù)—Routh（勞斯）和赫爾維茨判據(jù)判斷。本節(jié)介紹工程實用的圖解法判據(jù)—Nyquist（奈奎斯特）判據(jù)和

Bode(伯德)圖的穩(wěn)定性分析。

一、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的基本原理

Nyquist判據(jù)是利用系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的圖解法.可用于判斷閉環(huán)系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，也能計算系統(tǒng)的相對穩(wěn)定指標(biāo)和改善系統(tǒng)性能的方法。（－）映射原理

Nyquist判據(jù)依據(jù)復(fù)變函數(shù)中的映射原理。設(shè)有復(fù)變函數(shù)

2023/3/1S平面上的點,將按上式映射到F(S)平面上的相應(yīng)點；零點將映射到F(S)平面上的原點,極點將映射到F(S)平面上的無限遠點,而其它普通點將映射到F(S)平面上除原點外的有限值點。例如：

當(dāng)取時，為即s平面上的點（1＋j2）映射到F（s）平面上的（1.115+j0.577）點，因此，當(dāng)動點sl在s平面上順時針方向繞封閉曲線C一周時,則在F(s)平面上也將映射出一條閉合曲線。如圖5-34所示。2023/3/1圖5-34s平面與F(s)平面的映射2023/3/1更為具體的例子見圖5-35。圖5-35上半s平面內(nèi)的直線和在平面上的變換

2023/3/1映射原理：設(shè)C為s平面上不經(jīng)過F(s)的任何極點的封閉曲線，C中包含了F(s)的p個極點和z個零點，則當(dāng)動點s順時針在C上圍繞一周時,映射到F(s)平面上的閉曲線將逆時針圍繞坐標(biāo)原點N

次，且有

N=p-z

例如，對于其零點為極點為：當(dāng)s平面上的封閉曲線包圍兩個的極點時，平面上的軌跡將逆時針方向包圍平面上原點兩次

。見圖5-36。2023/3/10圖5-36s平面與F(s)平面的映射定理示例12023/3/1當(dāng)s平面上的封閉曲線包圍兩個的極點和兩個零點時，平面上的軌跡將逆時針方向包圍平面上原點0次

，即不包圍原點。見圖5-37。D1ABFEDCA1B1F1E1C1圖5-37s平面與F(s)平面的映射定理示例22023/3/1如果s平面上的曲線只包圍一個零點，相應(yīng)的的軌跡將逆時針包圍原點－1次，即順時針包圍原點一次；如果s平面上的封閉曲線既不包圍的零點又不包圍的極點，平面上的軌跡將永遠不會包圍其原點。見圖5-38。圖5-38s平面與F(s)平面的映射定理示例32023/3/1（二）特征函數(shù)F（s）與G(S)H（S）的關(guān)系設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)G(S)H(S)=B(S)／A(S),則閉環(huán)傳遞函數(shù)為令F(s)為系統(tǒng)的閉環(huán)特征式，則有顯然，F(xiàn)(s)的極點就是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點；而F(s)的零點就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程：

F(S)=1＋G(S)H(S)=0

則有

G(S)H(S)=F(S)-1這意味著G(S)H(S)與F(S)相差實數(shù)1。在映射原理中,閉曲線圍繞F(S)平面原點的次數(shù)等于閉曲線圍繞G(S)H(S)平面上的(－1,j0)點的次數(shù)。如圖5-39所示。2023/3/1圖5-39G(S)H(S)平面與F(S)=1＋G(S)H(S)平面即可利用前述已繪制的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線(Nyquist曲線)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2023/3/1（三）Nyquist軌線

1932年Nyquist將映射原理用于自動控制理論的研究,成功地解決了經(jīng)典控制理論中系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析問題。Nyquist為了分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，令s平面上的封閉曲線包圍整個右半s平面。這時的封閉曲線由整個軸C1(從到)和右半s平面上半徑為無窮大的半圓軌跡C2構(gòu)成（軌跡的方向為順時針方向），該封閉曲線為奈奎斯特回線。見圖5-40。s平面上的奈奎斯特回線C1部分映射為平面上即為的頻率特性曲線（以代s），C2部分映射一點。因為：圖5-40奈奎斯特回線C1C22023/3/1因為奈奎斯特回線包圍了整個右半s平面，所以它包圍了的所有正實部的極點和零點。如果在右半s平面不存在零點，則閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面不存在閉環(huán)極點，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

據(jù)此,可利用映射原理判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。二、Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)

（一）Nyquist判據(jù)當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s平面的原點及虛軸上沒有極點時(例如0型系統(tǒng)),得Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)從-+時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)按逆時針方向包圍(-1,0j)點P周，P為位于s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)目,即N＝P。2023/3/1【例5-7】

設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：繪制頻率特性曲線，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：的頻率特性曲線如圖5-41所示。在右半s平面內(nèi)沒有任何極點，即P＝0的軌跡不包圍所以該系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。圖5-41例5-7的極坐標(biāo)圖2023/3/1（二）虛軸上有開環(huán)極點時的乃氏判據(jù)當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(j)H(j)在s平面的虛軸上有極點時(含有積分環(huán)節(jié)，例如I型系統(tǒng)以上系統(tǒng)),則不能使用乃氏判據(jù)。因為映射定理要求s平面上的封閉曲線不經(jīng)過F（s）的奇點。為了在這種情況下應(yīng)用乃氏穩(wěn)定判據(jù)，需對乃氏回線進行修改，為此，以虛軸上的開環(huán)極點為圓心,無限小的正數(shù)

為半徑作右半圓,形成完整的Nyquist回線。如圖5-42所示。圖5-42修改后的乃氏回線及其映射2023/3/1此半徑為的半圓在s平面可表示為：映射到平面為：上式說明當(dāng)s沿著小半圓從運動到時，角從－90度變化到90度，而平面上的映射曲線將沿半徑為無窮大的圓弧按順時針方向從變化到。轉(zhuǎn)過的角度為,見圖5-42。由此時的平面上完整的映射曲線，即可依據(jù)乃氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)2023/3/1【例5-8】

設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)H(s)

繪制頻率特性曲線，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)含有一個積分環(huán)節(jié)，即，其乃氏回線應(yīng)排除s平面的原點，頻率特性由從90度到－90度，半徑為無窮大的半圓弧段補全。如圖5-43所示。顯然，補全后的nyquist曲線不包圍（－1，j0）點，又，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半部沒有極點所以該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。圖5-43例5-8的乃氏回線及其Nyquist圖2023/3/1【例5-9】

設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：繪制頻率特性曲線，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)含有兩個積分環(huán)節(jié)，即，其乃氏回線應(yīng)排除s平面的原點，頻率特性由從180度到－180度，半徑為無窮大的圓弧段補全。如圖5-44所示。顯然，補全后的nyquist曲線包圍(-1，j0)點兩次，又該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半部沒有極點，所以該閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（閉環(huán)系統(tǒng)在s平面右半部有2個極點。）圖5-44例5-9的乃氏回線及其Nyquist圖2023/3/1【例5-10】設(shè)系統(tǒng)具有開環(huán)傳遞函數(shù)：試確定以下兩種情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性：增益K較小增益K較大。解：分別繪出兩種情況下的nyquist圖如下，易判斷其穩(wěn)定性。小K值時是穩(wěn)定的

大K值時是不穩(wěn)定的

圖5-44例5-10的Nyquist圖2023/3/1【例5-11】

設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為：該系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性取決于和的相對大小。試畫出該系統(tǒng)的奈奎斯特圖，并確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：1、當(dāng)時，

的軌跡不包圍2、當(dāng)時，

的軌跡通過點這表明極點位于虛軸上，因此系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。3、當(dāng)時，

的軌跡順時針方向包圍點兩次，因此系統(tǒng)有兩個閉環(huán)極點位于右半s平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

系統(tǒng)是穩(wěn)定的見圖5-45。2023/3/1圖5-45例5-11的Nyquist圖2023/3/1【例5-12】

設(shè)一個閉環(huán)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)：試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：因此得開環(huán)系統(tǒng)的nyquist圖如圖5-46所示。2023/3/1圖5-46例5-12的Nyquist圖圖5-46中的奈奎斯特圖表明，軌跡順時針方向包圍點一次，即又，在右半s平面內(nèi)有一個極點(p＝1),所以有，這表明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個極點在右半s平面，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2023/3/1【例5-13】

設(shè)一個閉環(huán)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)：試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：令虛部等于0，可以得到：2023/3/1該系統(tǒng)的nyquist圖如圖5-47所示，從圖中可以看出軌跡逆時針方向包圍點一次。又開環(huán)系統(tǒng)有一個極點位于s平面右半部，所以N＝p閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。這是一個開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，但是回路閉合后，變成穩(wěn)定系統(tǒng)的例子。圖5-47例5-13的Nyquist圖漸近線2023/3/1三、根據(jù)Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性（一）Bode圖與Nyquist圖之間具有對應(yīng)關(guān)系：1，Nyquist圖上的單位園—Bode圖幅頻特性上的0dB線2，Nyquist圖上的負實軸—Bode圖相頻特性上的-1800線（二）正、負穿越如開環(huán)頻率特性按逆時針方向包圍（）一周，則必然從上而下穿越負實軸的線段一次，這種伴隨著相角增加的穿越稱為正穿越。反之，稱為負穿越。對應(yīng)于Bode圖上面，在的頻段內(nèi)，隨著的增加，相頻特性由上而下穿過線為負穿越。反之為正穿越。如圖5-48所示。2023/3/1)(LwdBws/raddB0ws/rad00)(wF-1800圖5-48Nyquist圖與Bode圖的對應(yīng)關(guān)系ImRe-1－＋2023/3/1（二）Bode圖上的穩(wěn)定判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)由0變到時，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性的頻段內(nèi)，相頻特性穿越線的次數(shù)（正穿越與負穿越次數(shù)之差）為p/2，p為s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)。2023/3/1四、系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性與穩(wěn)定裕度在實際控制系統(tǒng)中,首先要求系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的(即絕對穩(wěn)定性),并且還要求有一定的穩(wěn)定程度,即穩(wěn)定裕度。系統(tǒng)穩(wěn)定裕度用于表征系統(tǒng)的相對穩(wěn)定程度，經(jīng)常作為控制系統(tǒng)的頻率域性能指標(biāo)。（－）系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的表述如右圖：K值較小時，系統(tǒng)穩(wěn)定；K值較大時，系統(tǒng)不穩(wěn)定的；K取某個值時，Nyquist曲線通過(-1,j0)點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)Nyquist曲線與實軸交點坐標(biāo)離(-1,0j)點的距離，可作為表征系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的一個指標(biāo)。通常用相角裕度和幅值裕度Kg表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕度。圖5-49不同K值時系統(tǒng)的Nyquist圖2023/3/1（二）相角裕度和幅值裕度Kg的定義（PhaseMargin

andGainMargin)1、相角裕度使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定需要增加的相角,稱為相角裕量,用表示。

Nyquist曲線與單位圓交點處(此處幅值為1）的稱為福值穿越頻率(Gaincross-overfrequency，又稱剪切頻率),記為c

。則有

=180+(c)

穩(wěn)定系統(tǒng)的>0,越大,系統(tǒng)相對穩(wěn)定性越高。圖5-49相角裕度和幅值裕度的定義2023/3/12、幅值裕度Kg

Nyquist曲線與負實軸交點處幅值的倒數(shù)稱為幅值裕度(增益裕度)，記為Kg。它是一個系數(shù)，表示開環(huán)增益增加Kg

倍，則閉環(huán)系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)。交點處的稱為相角穿越頻率(Phasecross-overfrequency),記為g(此處()=180o），參見圖5-49,則有：以分貝數(shù)表示時：穩(wěn)定系統(tǒng)的Kg>1,或Kg(dB)>0,Kg越大，相對穩(wěn)定性越高。

穩(wěn)定系統(tǒng)和不穩(wěn)定系統(tǒng)的相角裕度及幅值裕度見圖5-50(極坐標(biāo)圖表示)和圖5-51（對數(shù)坐標(biāo)圖）。2023/3/1相位穿越頻率幅值穿越頻率圖5-50穩(wěn)定系統(tǒng)和不穩(wěn)定系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度????穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)2023/3/1PositiveGainMarginPositivePhaseMarginStableSystemUnstableSystem0dBNegativeGainMarginNegativePhaseMargin0dB圖5-51穩(wěn)定系統(tǒng)和不穩(wěn)定系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度2023/3/1（三）關(guān)于相角裕度和增益裕度的幾點說明1、控制系統(tǒng)的相角裕度和增益裕度是系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖對-1+j0點靠近程度的度量。這兩個裕度可以作為設(shè)計準(zhǔn)則。對于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，增益裕度指出了系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益能夠增大多少。對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，增益裕度指出了為使系統(tǒng)穩(wěn)定，增益應(yīng)當(dāng)減少多少。2、嚴格地講，只用增益裕度和相位裕度，都不足以說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。為了確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，必須同時給出這兩個量。但在粗略地估計系統(tǒng)的暫態(tài)指標(biāo)時，有時主要用相角裕度提出要求。3、對于最小相位系統(tǒng)，只有當(dāng)相位裕度和增益裕度都是正值時，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。負的裕度表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。適當(dāng)?shù)南辔辉６群驮鲆嬖６瓤梢苑乐瓜到y(tǒng)中元件變化造成的影響。2023/3/14、為了得到滿意的性能，相位裕度應(yīng)當(dāng)在之間，增益裕度應(yīng)當(dāng)大于6分貝。一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為無窮大，因為這類系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖與負實軸不相交。因此，理論上一階或二階系統(tǒng)不可能是不穩(wěn)定的。當(dāng)然，一階或二階系統(tǒng)在一定意義上說只能是近似的，因為在推導(dǎo)系統(tǒng)方程時，忽略了一些小的時間滯后，因此它們不是真正的一階或二階系統(tǒng)。如果計及這些小的滯后，則所謂的一階或二階系統(tǒng)可能是不穩(wěn)定的。一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為多少？2023/3/1K=1時系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度。要求通過增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕度為20dB，相位裕度解：即

相位穿越頻率增益裕度【例5-14】

一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)

傳遞函數(shù)為2023/3/1增益裕度：根據(jù)K=1時的開環(huán)傳遞函數(shù)相位裕度增益穿越頻率剪切頻率2023/3/1

由題意知2023/3/1驗證k＝2.5時是否滿足相位裕度的要求。

2023/3/1驗證是否滿足相位裕度的要求。根據(jù)不難看出，就能同時滿足相位裕度和增益裕度的要求。

的要求，則得：K＝1,2.5,5.2時的對數(shù)頻率特性參見圖5-52。2023/3/1圖5-52K＝1,2.5,5.2時的相角裕度和幅值裕度2023/3/1【例5-15】

設(shè)一單位反饋系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性如圖5-53所示(最小相位系統(tǒng))。寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則求的穩(wěn)態(tài)誤差。解：由圖得看對數(shù)幅頻特性??！

2023/3/1-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec0.010.115rad/sdB10圖5-53例5-15系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性2023/3/1或1、由積分環(huán)節(jié)的延長線與0dB的交點（）確定

2、由積分環(huán)節(jié)的延長線與的垂直線交點確定積分環(huán)節(jié)向上平移的分貝數(shù)20dB，根據(jù)確定由于是最小相位系統(tǒng)，因而可通過計算相位裕度是否大于零來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由圖可知在處則得>>0系統(tǒng)穩(wěn)定單位斜坡輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為2023/3/1第五節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性一、單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)單位反饋控制系統(tǒng)。其開環(huán)和閉環(huán)頻率特性有如下關(guān)系：用開環(huán)Nyquist圖確定閉環(huán)頻率特性可由圖5-54來實現(xiàn)。由圖可見：（1）當(dāng)=1時，

（2）系統(tǒng)特征式1+G(j1)H(j1)由(-1,0j)點到A點的相量用PA表示。（3）系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性為圖5-54由nyquist圖確定閉環(huán)頻率特性2023/3/1

即在=1處，閉環(huán)頻率特性的幅值等于相量OA與PA的幅值之比，閉環(huán)頻率特性的相角等于相量OA與PA的夾角這樣求出不同頻率處的幅值和相角，即可繪制出閉環(huán)頻率特性曲線。二、等M圓圖（等幅值軌線）設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為:G(j)H(j)=X()＋jY(),則閉環(huán)頻率特性為則有設(shè)M=1,則上式表示一條過點（-1/2,0），平行于虛軸的直線。

2023/3/1當(dāng)M<>1時，則式（4-25）可寫為這是一個以(-M2/(M2-1),0j)為圓心，|M/(M2-1)|為半徑的圓方程。繪出不同M值的園族，稱為等M圓。繪有等M圓族的坐標(biāo)圖稱為等M圓圖。（1）M<1時,等M圓在直線-1/2右側(cè),圓心位于原點右邊，M越小,M圓越小,M=0時收斂于坐標(biāo)原點；（2）當(dāng)M>1時,隨著M增大,M圓變小,當(dāng)M時收斂于（-1,j0）（3）M圓是以實軸和M=1直線為對稱的圓簇。圖5-55等M圓圖2023/3/1三、等N圓（等相角軌線）由式,閉環(huán)頻率特性(j)的相角

()可表示為設(shè)tg=N，則由：可得：改寫為：配方運算得：

這是一個以（-1/2，j/2N)為圓心，為半徑的圓族。2023/3/1等N圓圖如圖5-56所示。從圖中可見：（1）當(dāng)a>0時,隨著的減小,N圓變大;并在G(s)平面的上半部。（2）當(dāng)<0時,隨著的減小,N圓變大,并在G(s)平面實軸的下半部。（3）實軸上下的N圓以角的正負值對稱,左右以過(-1/2，0j)點平行于虛軸的直線對稱,且都通過原點和(-1,j0)點。（4）對于給定的值的等N圓,只是一個圓的一段圓弧。圖5-56等N圓圖2023/3/1四、等M圓和等N圓的應(yīng)用將系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線繪在等M圓和等N圓圖上,可以求得系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性在各頻率處的幅值和相角,因此繪出閉環(huán)幅頻特性和相頻特性曲線。如圖5-57所示，在等M圓坐標(biāo)紙上繪制系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist曲線，從Nyquist曲線與各等M圓交點處可求得不同頻率時閉環(huán)頻率特性的幅值；圖5-57疊加到等M圓、等N圓上面的nyquist圖2023/3/1

同理，在等N圓坐標(biāo)紙上繪制某系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist曲線，從Nyquist曲線與各等N圓交點處可求得不同頻率時閉環(huán)頻率特性的相角；

通過不同頻率時的幅值、相角，可以得到閉環(huán)頻率特性圖。見圖5-58。與Nyquist曲線相切的等M圓的M值即為系統(tǒng)的諧振峰值Mr,對應(yīng)的頻率稱為

諧振頻率r圖5-58利用等M圓、等N圓求閉環(huán)頻率特性2023/3/1五、尼柯爾斯(Nichols)圖線尼柯爾斯

(Nichols)提出了將等M圓和等N圓圖移植到對數(shù)幅相圖上進行分析的方法，形成了Nichols圖法。

1.Nichols圖的構(gòu)成特點Nichols圖如圖5-59所示。Nichols坐標(biāo)系:橫坐標(biāo)為線性分度的開環(huán)相角，縱坐標(biāo)為分貝數(shù)分度的開環(huán)幅值。①等M圓變?yōu)橐?/p>

-180o線為軸的左右對稱曲線，其中部分為封閉曲線(M>0dB)。M值越大封閉曲線越小。②等N圓變?yōu)橐?180o線為中心的左右對稱曲線。左半平面由上到下為0～180o，右半平面由上到下是0～-180o負角。③等M曲線和等N曲線繪于同一張Nichols坐標(biāo)紙上。

2023/3/12.Nichols圖的應(yīng)用將開環(huán)頻率特性繪制到有等M曲線和等N曲線的Nichols坐標(biāo)紙上，則通過開環(huán)頻率特性曲線與等M曲線和等N曲線的交點，可得各頻率處閉環(huán)頻率特性的M值(單位為分貝)和相角(單位為o)。與等M曲線相切出的M值即為系統(tǒng)諧振峰值Mr，對應(yīng)的頻率即為諧振頻率r。圖5-59尼柯爾斯圖線2023/3/1第六節(jié)由閉環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的時域響應(yīng)

頻率特性分析法比時域性能分析簡便，且有成熟的圖解法可供使用，但頻率特性分析是一種概略性的間接方法，在要求系統(tǒng)性能指標(biāo)直接而具體時，還需從時域響應(yīng)方面進行討論。本節(jié)分析頻率特性與時域性能之間的關(guān)系以及在工程設(shè)計中的應(yīng)用。一、二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)與頻率響應(yīng)的關(guān)系

二階單位反饋控制系