(完整版)三角函數(shù)及解三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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1.任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)α是任意一具角，P(,)xy是α的終旁邊的任意一點(diǎn)（異

于原點(diǎn)），它與原點(diǎn)的距離

是0r=>，這么sin,cosyx

rr

αα==

，

()tan,0y

xx

α=≠

三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終旁邊點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)。

2.三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：

（一全二正弦，三切四余弦）

＋＋－＋－＋－－－＋＋－

sinαcosαtanα

3.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

（1）平方關(guān)系：2

222

1

sin

cos1,1tancosαααα

+=+=

（2）商數(shù)關(guān)系：sintancosα

αα

=

（用于切化弦）※平方關(guān)系普通為隱含條件，直截了當(dāng)運(yùn)用。注意“1”的代換

4.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

誘導(dǎo)公式（把角寫成απ

±2

k形式，利用口訣：奇變偶別變，符號(hào)看象限）

Ⅰ）?????=+=+=+xxkxxkxxktan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(πππⅡ）?????-=-=--=-xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(Ⅲ）??

???=+-=+-=+xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(πππⅣ）?????-=--=-=-xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(πππⅤ）???????=-=-ααπααπsin)2cos(cos)2sin(Ⅵ）???

????-=+=+α

απααπsin)2cos(cos)2sin(

5.特別角的三角函數(shù)值

6.三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)sinyx=

cosyx=tanyx=

圖像

定義域RR

,2xxkkZππ??≠+∈????

值域

[]1,1-

[]1,1-

R

最

值

當(dāng)22

xkπ

π=+

()kZ∈時(shí)，

max1y=；

當(dāng)22

xkπ

π=-

()kZ∈時(shí)，當(dāng)()2xkkZπ=∈時(shí)，

max1y=；當(dāng)2xkππ=+

()kZ∈時(shí)，min1y=-．

既無(wú)最大值也無(wú)最小值

度

0o30o45o60o90o120o135o150o180o

?

270

360o

弧度

6

π4π3π2π23π34π56ππ

32

π2π

sinα

12

22

32

1

3222

12

1

cosα

1

3222

120

1

2-22-32-1-01

tanα033

1

3

無(wú)

3-

1-

3

3

-

無(wú)

函

數(shù)性質(zhì)

7.函數(shù)sin()yAxω?=+圖象的畫法：①“五點(diǎn)法”――設(shè)Xxω?=+，令X＝0，

3,,

,22

2

π

π

ππ求出相應(yīng)的x值，計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象；②圖象變換法：這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用辦法。

8.圖像的平移變換：函數(shù)sin()yAxkω?=++的圖象與sinyx=圖象間的關(guān)系：

要特殊注意，若由()sinyxω=得到()sinyxω?=+的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移

|

|?

ω

個(gè)單位例：以sinyx=變換到4sin(3)3

yxπ=+為例

sinyx=向左平移

3

π

個(gè)單位（左加右減）

sin3yxπ?

?=+??

?

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

13倍（縱坐標(biāo)別變）sin33yxπ?

?=+??

?

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍（橫坐標(biāo)別變）4sin33yxπ??=+?

?

?

sinyx=橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1

3

倍（縱坐標(biāo)別變）()sin3yx=

向左平移

9π個(gè)單位（左加右減）sin39yxπ??=+???sin33xπ?

?=+??

?

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍（橫坐標(biāo)別變）4sin33yxπ??=+?

?

?

注意：在變換中改變的始終是x。

9、三角恒等變換

1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：(1）βαβαβαcossincossin)sin(+=+(2）βαβαβαcossincossin)sin(-=-(3）βαβαβαsinsincoscos)cos(-=+(4）βαβαβαsinsincoscos)cos(+=-(5）β

αβ

αβαtantan1tantan)tan(-+=

+?()()tantantan1tantanαβαβαβ+=+-

(6）β

αβ

αβαtantan1tantan)tan(+-=

-?()()tantantan1tantanαβαβαβ-=-+

(7)sincosabαα+

)α?+(其中,輔助角?所在象限由點(diǎn)(,)ab所在的象限決定

,sintanb

a

???=

=

=

，該法也叫合一變形).(8)

)4tan(tan1tan1θπθθ+=-+)4

tan(tan1tan1θπ

θθ-=+-

10、二倍角公式

（1）

（2）（3）

11.落冪公式：（1）（2）

12.升冪公式（1）2

cos2cos12

α

α=+（2）2

sin

2cos12

α

α=-

（3）2)2

cos2(sinsin1α

α

α±=±（4）αα22cossin1+=（5）2

cos

2

sin2sinα

α

α=

aaacossin22sin=1cos2sin21sincos2cos2

2

2

2

-=-=-=aaaaaa

a

a2

tan1tan22tan-=

22cos1cos2

aa+=22cos1sin2

aa-=

13.三角變換：

函數(shù)名稱變換：三角變形中常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。采納公式：其中，

比如：

x

xycos3sin+=

)

cos)

3(13sin)

3(11(

)3(12

2

2

2

22xx++

++=

)cos23sin2

1(2xx+=

)3sincos3cos(sin2ππxx+=)3sin(2π+=x

注意:“湊角”運(yùn)用：()ααββ=+-，()αββα=--，()()12ααββα=+--???

?

14、三角形中常用的關(guān)系：

，，，，

常見(jiàn)數(shù)據(jù)：

3215tan-=?,3275tan+=?,

15、正弦定理：在C?AB中，a、b、c分不為角A、B、C的對(duì)邊，R為C?AB的外接圓的半徑，則有2sinsinsinabc

RC

===AB（R是三角形外接圓半徑）

．注：正弦定理的變形公式：

①2sinaR=A，2sinbR=B，2sincRC=；

②sin2aRA=，sin2bRB=，sin2c

CR

=；

③::sin:sin:sinabcC=AB

16、余弦定理：在C?AB中，有

2222cosabcbc=+-A，2222cosbacac=+-B，2222coscababC=+-

注：余弦定理的推論：222cos2bcabc+-A=，222

cos2acbac

+-B=，222cos2abcCab+-=．

17、三角形面積公式：111

sinsinsin222CSbcabCac?AB=A==B

)sin(cossin22?θθθ++=

+baba222

2sin,cosbabbaa+=

+=

??)sin(sinCBA+=)cos(cosCBA+-=2

cos2sinC

BA+=)(2sin2sin

CBA+-=)(2cos2cosCBA+=sin15cos75cos15?=?=

?=?=

兩邊夾角的正弦值兩邊之積??=

?21

ABCS高底?=?2

1

ABCS

注：（1）①假如一具三角形兩邊的平方和等于第三邊，這么第三邊所對(duì)的角為

直角；

②假如小于第三邊的平方，這么第三邊所對(duì)的角為鈍角；

③假如大于第三邊的平方，這么第三邊所對(duì)角為銳角。（課本第6頁(yè)右下角）

例如a、b、c是C?AB的角A