高考物理總復(fù)習(xí)第十章磁場(chǎng)第2講磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用

第2講磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用一、洛倫茲力的大小和方向1．定義：磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用力。2．大小(1)v∥B時(shí)，F(xiàn)＝0；(2)v⊥B時(shí)，F(xiàn)＝qvB；(3)v與B的夾角為θ時(shí)，F(xiàn)＝qvBsinθ。3．方向(1)判定方法：應(yīng)用左手定則，注意四指應(yīng)指向正電荷運(yùn)動(dòng)的方向或負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的反方向。(2)方向特點(diǎn)：F⊥B，F(xiàn)⊥v。即F垂直于B、v決定的平面。(注意B和v可以有任意夾角)【自測(cè)1帶電荷量為＋q的粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法中正確的是()A．只要速度大小相同，所受洛倫茲力就相同B．如果把＋q改為－q，且速度反向、大小不變，則其所受洛倫茲力的大小、方向均不變C．洛倫茲力方向一定與電荷速度方向垂直，磁場(chǎng)方向一定與電荷運(yùn)動(dòng)方向垂直D．粒子在只受洛倫茲力作用下運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能、速度均不變答案B二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1．若v∥B，帶電粒子以入射速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)。2．若v⊥B時(shí)，帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)，以入射速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。3．基本公式(1)向心力公式：qvB＝meq\f(v2,r)；(2)軌道半徑公式：r＝eq\f(mv,qB)；(3)周期公式：T＝eq\f(2πm,qB)；(4)運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t＝eq\f(θ,2π)T；(5)動(dòng)能：Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(p2,2m)＝eq\f(（qBr）2,2m)?！咀詼y(cè)2在探究射線性質(zhì)的過(guò)程中，讓質(zhì)量為m1、帶電荷量為2e的α粒子和質(zhì)量為m2、帶電荷量為e的β粒子，分別垂直于磁場(chǎng)方向射入同一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，發(fā)現(xiàn)兩種粒子沿半徑相同的圓軌道運(yùn)動(dòng)。則α粒子與β粒子的動(dòng)能之比是()A.eq\f(m1,m2) B.eq\f(m2,m1)C.eq\f(m1,4m2) D.eq\f(4m2,m1)答案D解析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有qvB＝meq\f(v2,r)，動(dòng)能為Ek＝eq\f(1,2)mv2，聯(lián)立可得Ek＝eq\f(q2B2r2,2m)，由題意知α粒子和β粒子所帶電荷量之比為2∶1，故α粒子和β粒子的動(dòng)能之比為eq\f(Ekα,Ekβ)＝eq\f(\f(qeq\o\al(2,1),m1),\f(qeq\o\al(2,2),m2))＝eq\f(4m2,m1)，故D正確。命題點(diǎn)一對(duì)洛倫茲力的理解和應(yīng)用1．洛倫茲力的特點(diǎn)(1)利用左手定則判斷洛倫茲力的方向，注意區(qū)分正、負(fù)電荷。(2)運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中不一定受洛倫茲力作用。(3)洛倫茲力方向始終與速度方向垂直，洛倫茲力一定不做功。2．與安培力的聯(lián)系及區(qū)別(1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者是相同性質(zhì)的力，都是磁場(chǎng)力。(2)安培力可以做功，而洛倫茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功。【真題示例1(多選)(2021·湖北卷，9)一電中性微粒靜止在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在某一時(shí)刻突然分裂成a、b和c三個(gè)微粒，a和b在磁場(chǎng)中做半徑相等的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，環(huán)繞方向如圖1所示，c未在圖中標(biāo)出。僅考慮磁場(chǎng)對(duì)帶電微粒的作用力，下列說(shuō)法正確的是()圖1A．a(chǎn)帶負(fù)電荷 B．b帶正電荷C．c帶負(fù)電荷 D．a(chǎn)和b的動(dòng)量大小一定相等答案BC解析由左手定則可知，粒子a、粒子b均帶正電，電中性的微粒分裂的過(guò)程中，總的電荷量應(yīng)保持不變，則粒子c應(yīng)帶負(fù)電，A錯(cuò)誤，B、C正確；粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力，即qvB＝meq\f(v2,R)，解得R＝eq\f(mv,qB)，由于a粒子與粒子b的電荷量大小關(guān)系未知，則粒子a與粒子b的動(dòng)量大小關(guān)系不確定，D錯(cuò)誤?！踞槍?duì)訓(xùn)練1】如圖2所示，表面粗糙的斜面固定于地面上，并處于方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。質(zhì)量為m、電荷量為＋Q的小滑塊從斜面頂端由靜止下滑。在滑塊下滑的過(guò)程中，下列判斷正確的是()圖2A．滑塊受到的摩擦力不變B．滑塊到達(dá)地面時(shí)的動(dòng)能與B的大小無(wú)關(guān)C．滑塊受到的洛倫茲力方向垂直斜面向下D．B很大時(shí)，滑塊可能靜止于斜面上答案C解析根據(jù)左手定則可知，滑塊下滑過(guò)程中，受到垂直斜面向下的洛倫茲力，故C正確；隨著滑塊速度的變化，洛倫茲力大小變化，它對(duì)斜面的壓力大小發(fā)生變化，故滑塊受到的摩擦力大小變化，故A錯(cuò)誤；B越大，滑塊下滑過(guò)程中受到的洛倫茲力越大，受到的摩擦力也越大，摩擦力做功越多，據(jù)動(dòng)能定理，滑塊到達(dá)地面時(shí)的動(dòng)能就越小，故B錯(cuò)誤；由于開始滑塊不受洛倫茲力時(shí)能下滑，說(shuō)明重力沿斜面方向的分力大于摩擦力，B很大時(shí)，若滑塊速度很小，則摩擦力小于重力沿斜面的分力，滑塊不會(huì)靜止在斜面上，故D錯(cuò)誤。命題點(diǎn)二帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)基本思路圖例說(shuō)明圓心的確定①與速度方向垂直的直線過(guò)圓心P、M點(diǎn)速度方向垂線的交點(diǎn)②弦的垂直平分線過(guò)圓心P點(diǎn)速度垂線與弦的垂直平分線交點(diǎn)③軌跡圓弧與邊界切點(diǎn)的法線過(guò)圓心某點(diǎn)的速度垂線與切點(diǎn)法線的交點(diǎn)半徑的確定利用平面幾何知識(shí)求半徑常用解三角形法：左圖中，R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq\f(L2＋d2,2d)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定利用軌跡對(duì)應(yīng)圓心角θ或軌跡長(zhǎng)度L求時(shí)間①t＝eq\f(θ,2π)T②t＝eq\f(L,v)(1)速度的偏轉(zhuǎn)角φ等于eq\o(AB,\s\up8(︵))所對(duì)的圓心角θ(2)偏轉(zhuǎn)角φ與弦切角α的關(guān)系：φ＜180°時(shí)，φ＝2α；φ＞180°時(shí)，φ＝360°－2α直線和平行邊界磁場(chǎng)1．直線邊界：粒子進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性(如圖3所示)圖3圖a中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(T,2)＝eq\f(πm,qB)圖b中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝(1－eq\f(θ,π))T＝(1－eq\f(θ,π))eq\f(2πm,qB)＝eq\f(2m（π－θ）,qB)圖c中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θ,π)T＝eq\f(2θm,qB)2．平行邊界：往往存在臨界條件，如圖4所示。圖4【真題示例2(2021·北京卷，12)如圖5所示，在xOy坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電粒子在P點(diǎn)以與x軸正方向成60°的方向垂直磁場(chǎng)射入，并恰好垂直于y軸射出磁場(chǎng)。已知帶電粒子質(zhì)量為m、電荷量為q，OP＝a。不計(jì)重力。根據(jù)上述信息可以得出()圖5A．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡方程B．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率C．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間D．該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度答案A解析畫出帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡，找出軌跡圓心O′，如圖所示。軌跡半徑r＝eq\f(a,sin60°)，則軌跡方程為x2＋(y－eq\f(\r(3),3)a)2＝eq\f(4,3)a2(x＞0，y＞0)，故A正確；由洛倫茲力提供向心力有qvB＝eq\f(mv2,r)，故v＝eq\f(qBr,m)，因?yàn)锽和v均未知，故選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤；因?yàn)門＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2πm,qB)，B未知，不能求出周期T，故不能求出帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，C錯(cuò)誤?！纠?如圖6所示，平行邊界MN、PQ間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，兩邊界的間距為d，MN上有一粒子源A，可在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向向磁場(chǎng)中射入質(zhì)量均為m、電荷量均為＋q的粒子，粒子射入磁場(chǎng)的速度大小v＝eq\f(2qBd,3m)，不計(jì)粒子的重力，則粒子能從PQ邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度與能從MN邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度之比為()圖6A．1∶1 B．2∶3C.eq\r(3)∶2 D.eq\r(3)∶3答案C解析粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，qvB＝eq\f(mv2,R)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑R＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(2,3)d；由左手定則可得，粒子沿逆時(shí)針?lè)较蚱D(zhuǎn)，做圓周運(yùn)動(dòng)；粒子沿AN方向射入磁場(chǎng)時(shí)，到達(dá)PQ邊界的最下端，距A點(diǎn)的豎直距離L1＝eq\r(R2－（d－R）2)＝eq\f(\r(3),3)d；運(yùn)動(dòng)軌跡與PQ相切時(shí)，切點(diǎn)為到達(dá)PQ邊界的最上端，距A點(diǎn)的豎直距離L2＝eq\r(R2－（d－R）2)＝eq\f(\r(3),3)d，所以粒子在PQ邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度L＝L1＋L2＝eq\f(2\r(3),3)d。因?yàn)镽<d，所以粒子在MN邊界射出區(qū)域的長(zhǎng)度為L(zhǎng)′＝2R＝eq\f(4,3)d。故粒子能從PQ邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度與能從MN邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度之比為L(zhǎng)∶L′＝eq\f(2\r(3),3)d∶eq\f(4,3)d＝eq\r(3)∶2，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤?！踞槍?duì)訓(xùn)練2】(多選)(2021·湖南衡陽(yáng)市畢業(yè)聯(lián)考)如圖7所示，虛線MN將豎直平面分成Ⅰ和Ⅱ兩個(gè)區(qū)域，兩個(gè)區(qū)域分別存在著垂直紙面方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一帶電粒子僅在洛倫茲力作用下由Ⅰ區(qū)運(yùn)動(dòng)到Ⅱ區(qū)。曲線apb為運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的一段軌跡，其中弧ap、弧pb的弧長(zhǎng)之比為2∶1，且粒子經(jīng)過(guò)a、b點(diǎn)時(shí)的速度方向均水平向右，下列判斷正確的是()圖7A．弧ap與弧pb對(duì)應(yīng)的圓心角之比為2∶1B．粒子通過(guò)ap、pb兩段弧的時(shí)間之比為2∶1C．粒子在Ⅰ、Ⅱ區(qū)域兩個(gè)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑之比為1∶1D．Ⅰ、Ⅱ區(qū)域兩個(gè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向相反，大小之比為1∶2答案BD解析粒子在磁場(chǎng)中只受洛倫茲力作用，洛倫茲力提供向心力，有qvB＝eq\f(mv2,R)，根據(jù)粒子偏轉(zhuǎn)方向相反，粒子經(jīng)過(guò)a、b點(diǎn)時(shí)的速度方向均水平向右可知，兩粒子轉(zhuǎn)過(guò)的角度相等，即弧ap與弧pb對(duì)應(yīng)的圓心角之比為1∶1，又有弧ap、弧pb的弧長(zhǎng)之比為2∶1，則粒子在Ⅰ、Ⅱ區(qū)域兩個(gè)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑之比為2∶1，根據(jù)t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(θ,2π)×eq\f(2πR,v)＝eq\f(θR,v)可知，粒子通過(guò)ap、pb兩段弧的時(shí)間之比為2∶1，故A、C錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)粒子偏轉(zhuǎn)方向相反可知，Ⅰ、Ⅱ區(qū)域兩個(gè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向相反；根據(jù)磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝eq\f(mv,qR)可知，Ⅰ、Ⅱ區(qū)域兩個(gè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小之比為1∶2，故D正確。圓形邊界磁場(chǎng)1．沿徑向射入必沿徑向射出，如圖8甲所示。2．不沿徑向射入時(shí)，如圖乙所示。粒子射入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與半徑夾角為θ，則粒子射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向與半徑夾角也為θ。3．若粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑等于磁場(chǎng)區(qū)域的半徑，則有如下兩個(gè)結(jié)論：(1)當(dāng)粒子從磁場(chǎng)邊界上同一點(diǎn)沿不同方向進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，粒子離開磁場(chǎng)時(shí)的速度方向一定平行，(磁發(fā)散)如圖丙。(2)當(dāng)粒子以相互平行的速度從磁場(chǎng)邊界上任意位置進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，粒子會(huì)從同一點(diǎn)離開磁場(chǎng)區(qū)域，(磁聚焦)如圖丁。圖8【例4(2021·江蘇省第二次適應(yīng)性模擬)科學(xué)儀器常常利用磁場(chǎng)將帶電粒子“約束”在一定區(qū)域內(nèi)，使其不能射出。如圖9所示的磁場(chǎng)區(qū)域：勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里，其邊界分別是半徑為R和2R的同心圓，O為圓心，A為磁場(chǎng)內(nèi)在圓弧上的一點(diǎn)，P為OA的中點(diǎn)。若有一粒子源向紙面內(nèi)的各個(gè)方向發(fā)射出比荷為eq\f(q,m)的帶負(fù)電粒子，粒子速度連續(xù)分布，且無(wú)相互作用。不計(jì)粒子的重力，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：圖9(1)粒子源在A點(diǎn)時(shí)，被磁場(chǎng)約束的粒子速度的最大值vAm；(2)粒子源在O點(diǎn)時(shí)，被磁場(chǎng)約束的粒子每次經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)時(shí)間的最大值tm；(3)粒子源在P點(diǎn)時(shí)，被磁場(chǎng)約束的粒子速度的最大值vPm。答案(1)eq\f(3qBR,2m)(2)eq\f(127πm,90qB)(3)eq\f(qBR,m)解析(1)如圖甲所示，甲粒子源在A點(diǎn)時(shí)，粒子最大運(yùn)動(dòng)半徑為rmax＝eq\f(2R＋R,2)＝eq\f(3,2)R，由運(yùn)動(dòng)的半徑rmax＝eq\f(mvAm,qB)解得vAm＝eq\f(3qBR,2m)。(2)設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)半徑為r0，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場(chǎng)外邊界相切時(shí)，如圖乙所示，被磁場(chǎng)約束的粒子每次經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)時(shí)間最長(zhǎng)，在△OAC中，OA2＋AC2＝OC2乙則R2＋req\o\al(2,0)＝(2R－r0)2得r0＝eq\f(3,4)R，則∠ACO＝53°，∠ACD＝106°，軌跡圓心角為360°－106°＝254°解得tm＝eq\f(254°,360°)T＝eq\f(127πm,90qB)。(3)當(dāng)粒子源在P點(diǎn)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場(chǎng)外邊界相切時(shí)，如圖丙所示，被磁場(chǎng)約束的粒子半徑最大，速度為最大值，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)半徑為rP。丙在△OGE中，OG2＋GE2＝OE2，其中，OG＝eq\f(\r(3),2)R，EG＝rP－eq\f(1,2)R，OE＝2R－rP得rP＝R由運(yùn)動(dòng)半徑r＝eq\f(mv,qB)，解得vPm＝eq\f(qBR,m)?！踞槍?duì)訓(xùn)練3】(2021·全國(guó)乙卷，16)如圖10，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子從圓周上的M點(diǎn)沿直徑MON方向射入磁場(chǎng)。若粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v1，離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)90°；若射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v2，離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)60°。不計(jì)重力。則eq\f(v1,v2)為()圖10A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)答案B解析設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為R，根據(jù)幾何關(guān)系可知，帶電粒子以v1射入磁場(chǎng)時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r1＝R，帶電粒子以v2射入磁場(chǎng)時(shí)，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r2＝Rtan60°＝eq\r(3)R，根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB＝meq\f(v2,r)，可得r＝eq\f(mv,qB)，則r1＝eq\f(mv1,qB)，r2＝eq\f(mv2,qB)，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(\r(3),3)，B正確。三角形或四邊形邊界磁場(chǎng)【例5(多選)(2021·山東濟(jì)南市模擬)如圖11所示，邊長(zhǎng)為eq\r(3)L的正三角形abc區(qū)域內(nèi)存在方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向發(fā)射相同的帶電粒子，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q。粒子速度大小為v時(shí)，恰好沒(méi)有粒子穿出磁場(chǎng)區(qū)域，不計(jì)粒子的重力。下列說(shuō)法正確的是()圖11A．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(2mv,qL)B．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(4mv,qL)C．若發(fā)射粒子速度為2v時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為eq\f(πL,12v)D．若發(fā)射粒子速度為2v時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為eq\f(πL,6v)答案BC解析磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，粒子恰好沒(méi)有穿出磁場(chǎng)區(qū)域，因此帶電粒子的軌跡圓的直徑等于過(guò)O點(diǎn)垂直于cb的線段長(zhǎng)度，設(shè)垂足為d，由幾何關(guān)系得Od＝eq\f(1,2)L，則粒子軌跡圓的半徑為r＝eq\f(1,4)L，由洛倫茲力提供向心力qvB＝meq\f(v2,r)，得B＝eq\f(4mv,qL)，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)發(fā)射粒子速度為2v時(shí)，由2qvB＝meq\f(（2v）2,r)，得r′＝eq\f(2mv,qB)＝eq\f(L,2)，求最短時(shí)間，也就是求粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)最小的角度，當(dāng)粒子從垂足d穿出時(shí)，時(shí)間最短，由幾何關(guān)系知，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ＝60°，T＝eq\f(2πm,qB)＝eq\f(πL,2v)，即最短時(shí)間t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(πL,12v)，C正確，D錯(cuò)誤。【針對(duì)訓(xùn)練4】如圖12所示，矩形虛線框MNPQ內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。a、b、c是三個(gè)質(zhì)量和電荷量都相等的帶電粒子，它們從PQ邊上的中點(diǎn)沿垂直于磁場(chǎng)的方向射入磁場(chǎng)，圖中畫出了它們?cè)诖艌?chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡。粒子重力不計(jì)。下列說(shuō)法正確的是()圖12A．粒子a帶負(fù)電B．粒子c的動(dòng)能最大C．粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)D．粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力最大答案D解析由左手定則可知，a粒子帶正電，故A錯(cuò)誤；由qvB＝meq\f(v2,r)，可得r＝eq\f(mv,qB)，由題圖可知粒子c的軌跡半徑最小，粒子b的軌跡半徑最大，又m、q、B相同，所以粒子c的速度最小，粒子b的速度最大，由Ek＝eq\f(1,2)mv2，知粒子c的動(dòng)能最小，故B錯(cuò)誤；根據(jù)洛倫茲力提供向心力有F向＝qvB，則可知粒子b的向心力最大，故D正確；由T＝eq\f(2πm,qB)，可知粒子a、b、c的周期相同，但是粒子b的軌跡所對(duì)的圓心角最小，則粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θ,2π)T最短，故C錯(cuò)誤。命題點(diǎn)三帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題類型分析圖例帶電粒子電性不確定帶電粒子可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，初速度相同時(shí)，正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成多解如帶正電，其軌跡為a；如帶負(fù)電，其軌跡為b磁場(chǎng)方向不確定只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，由于磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成多解若B垂直紙面向里，其軌跡為a，若B垂直紙面向外，其軌跡為b臨界狀態(tài)不唯一帶電粒子飛越有界磁場(chǎng)時(shí)，可能穿過(guò)磁場(chǎng)飛出，也可能轉(zhuǎn)過(guò)180°從入射界面一側(cè)反向飛出，于是形成多解運(yùn)動(dòng)具有周期性帶電粒子在部分是電場(chǎng)、部分是磁場(chǎng)空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有周期性，因而形成多解【例6如圖13甲所示，M、N為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個(gè)小孔O、O′正對(duì)，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化如圖乙所示，規(guī)定垂直于紙面向里的方向?yàn)檎较颉Ｓ幸蝗赫x子在t＝0時(shí)垂直于M板從小孔O射入磁場(chǎng)。已知正離子質(zhì)量為m、帶電荷量為q，正離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為T0，不考慮由于磁場(chǎng)變化而產(chǎn)生的電場(chǎng)的影響，不計(jì)離子所受重力。求：圖13(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B0；(2)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場(chǎng)，正離子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度v0的可能值。答案(1)eq\f(2πm,qT0)(2)eq\f(πd,2nT0)(n＝1，2，3，…)解析(1)正離子射入磁場(chǎng)，洛倫茲力提供向心力，有qv0B0＝eq\f(mveq\o\al(2,0),R)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T0＝eq\f(2πR,v0)解得磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B0＝eq\f(2πm,qT0)。(2)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場(chǎng)，v0的方向如圖所示，正離子在兩板之間只運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期T0，有R＝eq\f(d,4)；當(dāng)正離子在兩板之間運(yùn)動(dòng)n(n＝1，2，3，…)個(gè)周期，即nT0(n＝1，2，3，…)時(shí)，有R＝eq\f(d,4n)(n＝1，2，3，…)。由qv0B0＝meq\f(veq\o\al(2,0),R)得正離子的速度的可能值為v0＝eq\f(qB0R,m)＝eq\f(πd,2nT0)(n＝1，2，3，…)。對(duì)點(diǎn)練洛倫茲力的理解和應(yīng)用1．(多選)如圖1所示，初速度為v0的電子，沿平行于通電長(zhǎng)直導(dǎo)線的方向射出，直導(dǎo)線中電流方向與電子的初始運(yùn)動(dòng)方向如圖所示，則()圖1A．電子將向右偏轉(zhuǎn)，速率不變B．電子將向左偏轉(zhuǎn)，速率改變C．電子將向左偏轉(zhuǎn)，軌道半徑不變D．電子將向右偏轉(zhuǎn)，軌道半徑改變答案AD2.(2021·山東臨沂市等級(jí)考模擬)如圖2所示，在垂直紙面的方向上有三根長(zhǎng)直導(dǎo)線，其橫截面位于正方形的三個(gè)頂點(diǎn)b、c、d上，導(dǎo)線中通有大小相同的電流，方向如圖所示，一帶負(fù)電的粒子從正方形的中心O點(diǎn)沿垂直于紙面的方向向外運(yùn)動(dòng)，它所受洛倫茲力的方向是()圖2A．沿O到a方向 B．沿O到c方向C．沿O到d方向 D．沿O到b方向答案A解析由安培定則可判斷b、c、d三根導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)如圖所示，由磁場(chǎng)的疊加性原理可知它們的合磁場(chǎng)方向水平向左，再由左手定則可判斷，帶負(fù)電的粒子所受洛倫茲力方向沿O到a方向，故A正確。對(duì)點(diǎn)練帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)3．(多選)(2019·海南卷，9)如圖3，虛線MN的右側(cè)有方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩電荷量相同的粒子P、Q從磁場(chǎng)邊界的M點(diǎn)先后射入磁場(chǎng)，在紙面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。射入磁場(chǎng)時(shí)，P的速度vP垂直于磁場(chǎng)邊界，Q的速度vQ與磁場(chǎng)邊界的夾角為45°。已知兩粒子均從N點(diǎn)射出磁場(chǎng)，且在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，則()圖3A．P和Q的質(zhì)量之比為1∶2B．P和Q的質(zhì)量之比為eq\r(2)∶1C．P和Q速度大小之比為eq\r(2)∶1D．P和Q速度大小之比為2∶1答案AC解析設(shè)MN＝2R，則粒子P做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓半徑R＝eq\f(mPvP,qB)；粒子Q做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓半徑為eq\r(2)R，有eq\r(2)R＝eq\f(mQvQ,qB)；又兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，則tP＝eq\f(πmP,qB)，tQ＝eq\f(1,4)TQ＝eq\f(πmQ,2qB)，即eq\f(πmP,qB)＝eq\f(πmQ,2qB)，解得mQ＝2mP，vP＝eq\r(2)vQ，故A、C正確，B、D錯(cuò)誤。4．(多選)(2020·天津卷，7)如圖4所示，在Oxy平面的第一象限內(nèi)存在方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電粒子從y軸上的M點(diǎn)射入磁場(chǎng)，速度方向與y軸正方向的夾角θ＝45°。粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后在N點(diǎn)(圖中未畫出)垂直穿過(guò)x軸。已知OM＝a，粒子電荷量為q，質(zhì)量為m，重力不計(jì)。則()圖4A．粒子帶負(fù)電荷B．粒子速度大小為eq\f(qBa,m)C．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為aD．N與O點(diǎn)相距(eq\r(2)＋1)a答案AD解析由左手定則可知，帶電粒子帶負(fù)電荷，A正確；做出粒子的軌跡示意圖如圖所示，假設(shè)軌跡的圓心為O′，則由幾何關(guān)系得粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R＝eq\r(2)a，則由qvB＝meq\f(v2,R)得v＝eq\f(qBR,m)＝eq\f(\r(2)qBa,m)，B、C錯(cuò)誤；由以上分析可知，ON＝R＋a＝(eq\r(2)＋1)a，D正確。5．(2019·全國(guó)Ⅲ卷，18)如圖5，在坐標(biāo)系的第一和第二象限內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為eq\f(1,2)B和B、方向均垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子垂直于x軸射入第二象限，隨后垂直于y軸進(jìn)入第一象限，最后經(jīng)過(guò)x軸離開第一象限。粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為()圖5A.eq\f(5πm,6qB) B.eq\f(7πm,6qB)C.eq\f(11πm,6qB) D.eq\f(13πm,6qB)答案B解析帶電粒子在不同磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，其速度大小不變，由r＝eq\f(mv,qB)知，第一象限內(nèi)的圓半徑是第二象限內(nèi)圓半徑的2倍，由幾何知識(shí)知cosθ＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(1,2)，θ＝60°，如圖所示。粒子在第二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1＝eq\f(T1,4)＝eq\f(2πm,4qB)＝eq\f(πm,2qB)，粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2＝eq\f(T2,6)＝eq\f(2πm×2,6qB)＝eq\f(2πm,3qB)，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝t1＋t2＝eq\f(7πm,6qB)，選項(xiàng)B正確。6．(2021·北京市豐臺(tái)區(qū)模擬)如圖6所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)限定在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q，初速度大小為v的帶電粒子沿磁場(chǎng)區(qū)域的直徑方向從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)，從Q點(diǎn)沿半徑方向射出磁場(chǎng)，粒子射出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與射入磁場(chǎng)時(shí)相比偏轉(zhuǎn)了θ角，忽略重力及粒子間的相互作用力，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()圖6A．粒子帶正電B．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度為eq\f(mvθ,qB)C．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(mθ,qB)D．圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為eq\f(mv,qB)tanθ答案D解析根據(jù)粒子的偏轉(zhuǎn)方向，由左手定則可以判斷出粒子帶正電，A不符合題意；由洛倫茲力提供向心力可得qvB＝meq\f(v2,r)，解得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌跡的半徑為r＝eq\f(mv,qB)，由幾何關(guān)系可知其對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度為s＝θr＝eq\f(mvθ,qB)，B不符合題意；粒子做勻速運(yùn)動(dòng)的周期為T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2πm,qB)，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝eq\f(θ,2π)·T＝eq\f(mθ,qB)，C不符合題意；設(shè)圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為R，由taneq\f(θ,2)＝eq\f(R,r)，解得R＝rtaneq\f(θ,2)＝eq\f(mv,qB)·taneq\f(θ,2)，D符合題意。7．(2020·全國(guó)Ⅲ卷，18)真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場(chǎng)的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖7所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng)。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為()圖7A.eq\f(3mv,2ae) B.eq\f(mv,ae)C.eq\f(3mv,4ae) D.eq\f(3mv,5ae)答案C解析為使電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，電子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑最大時(shí)軌跡如圖所示，設(shè)其軌跡半徑為r，圓心為M，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為B，由幾何關(guān)系有eq\r(r2＋a2)＋r＝3a，解得r＝eq\f(4,3)a，電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律有evB＝meq\f(v2,r)，解得B＝eq\f(3mv,4ae)，選項(xiàng)C正確。8．(2021·遼寧沈陽(yáng)市5月教學(xué)質(zhì)檢)如圖8所示，直角三角形ABC區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，∠A＝60°，∠B＝30°，放置在A點(diǎn)的放射源沿著AC方向發(fā)出各種速率的帶負(fù)電粒子，放置在B點(diǎn)的放射源沿著BC方向發(fā)出各種速率的帶正電粒子，正、負(fù)粒子的比荷相同，不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用。若從邊界AC飛出的正粒子在磁場(chǎng)中飛行的最長(zhǎng)時(shí)間為t，則從邊界BC飛出的負(fù)粒子在磁場(chǎng)中飛行的最長(zhǎng)時(shí)間為()圖8A.eq\f(2,3)t B．tC.eq\f(3,2)t D．2t答案C解析從A點(diǎn)飛出的正粒子飛行時(shí)間最長(zhǎng)，由幾何關(guān)系可知，從A點(diǎn)飛出的正粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，則t＝eq\f(π,3)·eq\f(T,2π)，從BC邊界飛出速度方向與BC相切的負(fù)粒子，在磁場(chǎng)中飛行的時(shí)間最長(zhǎng)，由幾何關(guān)系可知，從BC點(diǎn)飛出的負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為90°，則粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t′＝eq\f(π,2)·eq\f(T,2π)＝eq\f(3t,2)，選項(xiàng)C正確。9．(2019·全國(guó)Ⅱ卷，17)如圖9，邊長(zhǎng)為l的正方形abcd內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面(abcd所在平面)向外。ab邊中點(diǎn)有一電子發(fā)射源O，可向磁場(chǎng)內(nèi)沿垂直于ab邊的方向發(fā)射電子。已知電子的比荷為k。則從a、d兩點(diǎn)射出的電子的速度大小分別為()圖9A.eq\f(1,4)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl B.eq\f(1,4)kBl，eq\f(5,4)kBlC.eq\f(1,2)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl D.eq\f(1,2)kBl，eq\f(5,4)kBl答案B解析若電子從a點(diǎn)射出，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖線①，ra＝eq\f(l,4)由qvaB＝meq\f(veq\o\al(2,a),ra)得va＝eq\f(qBra,m)＝eq\f(qBl,4m)＝eq\f(kBl,4)若電子從d點(diǎn)射出，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖線②由幾何關(guān)系得req\o\al(2,d)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(rd－\f(l,2)))eq\s\up12(2)＋l2整理得rd＝eq\f(5,4)l由qvdB＝meq\f(veq\o\al(2,d),rd)得vd＝eq\f(qBrd,m)＝eq\f(5qBl,4m)＝eq\f(5kBl,4)，選項(xiàng)B正確。10．(多選)(2021·福建莆田市4月模擬)如圖10所示，半徑為R＝2cm的圓形區(qū)域中有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未畫出)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝2T，一個(gè)比荷為2×106C/kg的帶正電的粒子從圓形磁場(chǎng)邊界上的A點(diǎn)以v0＝8×104m/s的速度垂直直徑MN射入磁場(chǎng)，恰好從N點(diǎn)射出，且∠AON＝120°，下列選項(xiàng)正確的是()圖10A．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為1cmB．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心一定在圓形磁場(chǎng)的邊界上C．若帶電粒子改為從圓形磁場(chǎng)邊界上的C點(diǎn)以相同的速度入射，一定從N點(diǎn)射出D．若要實(shí)現(xiàn)帶電粒子從A點(diǎn)入射，從N點(diǎn)出射，則該圓形磁場(chǎng)的最小面積為3π×10－4m2答案BCD解析根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得qv0B＝meq\f(veq\o\al(2,0),r)，解得r＝eq\f(mv0,qB)＝0.02m＝2cm＝R，又因?yàn)椤螦ON＝120°，所以帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心一定在圓形磁場(chǎng)的邊界上，故A錯(cuò)誤，B正確；若帶電粒子改為從圓形磁場(chǎng)邊界上的C點(diǎn)以相同的速度入射，假設(shè)出射點(diǎn)位置在N′點(diǎn)，圓心在O′點(diǎn)，如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系可得CON′O′為菱形，則CO′∥ON′，N′和N重合，粒子從N點(diǎn)射出，故C正確；若要實(shí)現(xiàn)帶電粒子從A點(diǎn)入射，從N點(diǎn)出射，則該圓形磁場(chǎng)的最小直徑等于AN長(zhǎng)度，即rmin＝eq\f(AN,2)＝eq\f(\r(3),2)R＝eq\r(3)×10－2m，所以該圓形磁場(chǎng)