彈性力學(xué)-第三章-應(yīng)變狀態(tài)分析

1/1彈性力學(xué)_第三章_應(yīng)變狀態(tài)分析第三章應(yīng)變狀態(tài)分析知識(shí)點(diǎn)

位移與變形

正應(yīng)變

純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移

應(yīng)變分量坐標(biāo)轉(zhuǎn)軸公式主應(yīng)變齊次方程組

體積應(yīng)變

變形協(xié)調(diào)方程

變形協(xié)調(diào)方程證明變形與應(yīng)變分量

切應(yīng)變

幾何方程與應(yīng)變張量

位移增量的分解

應(yīng)變張量

應(yīng)變狀態(tài)特征方程

變形協(xié)調(diào)的物理意義

變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義多連域的變形協(xié)調(diào)

一、內(nèi)容介紹

本章討論彈性體的變形，物體的變形是通過應(yīng)變分量確定的。因此，首先確定位移與應(yīng)變分量的基本關(guān)系－幾何方程。由于應(yīng)變分量和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)都是通過位移導(dǎo)數(shù)表達(dá)的，因此必須確定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移與純變形位移的關(guān)系，才能完全確定一點(diǎn)的變形。

對(duì)于一點(diǎn)的應(yīng)變分量，在不同坐標(biāo)系中是不同的。因此，應(yīng)變狀態(tài)分析主要是討論不同坐標(biāo)軸的應(yīng)變分量變化關(guān)系。這個(gè)關(guān)系就是應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)軸公式；根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，可以確定一點(diǎn)的主應(yīng)變和應(yīng)變主軸等。當(dāng)然，由于應(yīng)變分量滿足二階張量變化規(guī)律，因此具體求解可以參考應(yīng)力狀態(tài)分析。

應(yīng)該注意的問題是變形協(xié)調(diào)條件，就是位移的單值連續(xù)性質(zhì)。假如位移函數(shù)不是基本未知量，由于彈性力學(xué)是從微分單元體入手討論的，因此變形后的微分單元體也必須滿足連續(xù)性條件。這在數(shù)學(xué)上，就是應(yīng)變分量必須滿足變形協(xié)調(diào)方程。在彈性體的位移邊界，則必須滿足位移邊界條件。

二、重點(diǎn)

1、應(yīng)變狀態(tài)的定義：正應(yīng)變與切應(yīng)變；應(yīng)變分量與應(yīng)變張量；

2、幾

何方程與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)；3、應(yīng)變狀態(tài)分析和應(yīng)變分量轉(zhuǎn)軸公式；4、應(yīng)變

狀態(tài)特征方程和應(yīng)變不變量；主應(yīng)變與應(yīng)變主軸；5、變形協(xié)調(diào)方程

與位移邊界條件。

§3.1位移分量與應(yīng)變分量幾何方程

學(xué)習(xí)思路:

由于載荷的作用或者溫度的變化，物體內(nèi)各點(diǎn)在空間的位臵將發(fā)生變化，就是產(chǎn)生位移。這一移動(dòng)過程，彈性體將同時(shí)發(fā)生兩種可能的變化：剛體位移和變形位移。變形位移是與彈性體的應(yīng)力有著直接的關(guān)系。

彈性體的變形通過微分六面體單元描述，微分單元體的變形分為兩個(gè)部分，一是微分單元體棱邊的伸長(zhǎng)和縮短；二是棱邊之間夾角的變化，分別使用正應(yīng)變和切應(yīng)變表示這兩種變形的。

由于是小變形問題，單元變形可以投影于坐標(biāo)平面分析。根據(jù)正應(yīng)變和切應(yīng)變定義，不難得到應(yīng)變與位移的關(guān)系－幾何方程，或者稱為柯西方程。

幾何方程給出的應(yīng)變通常稱為工程應(yīng)變。幾何方程可以表示為張量形式，應(yīng)該注意的是，正應(yīng)變與對(duì)應(yīng)應(yīng)變張量分量相等；而切應(yīng)變等于對(duì)應(yīng)的應(yīng)變張量分量的兩倍。

幾何方程給出了位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。

學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1、位移函數(shù)；

2、變形與應(yīng)變分量；

3、正應(yīng)變表達(dá)式；

4、切應(yīng)

變分量；5、幾何方程與應(yīng)變張量。

1、位移函數(shù)

由于載荷作用或者溫度變化等外界因素等影響，物體內(nèi)各點(diǎn)在空間的位臵將發(fā)生變化，即產(chǎn)生位移。這個(gè)移動(dòng)過程，彈性體將可能同時(shí)發(fā)生兩種位移變化。

第一種位移是位臵的改變，但是物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)仍然保持初始狀態(tài)的相對(duì)位臵不變，這種位移是物體在空間做剛體運(yùn)動(dòng)引起的，因此稱為剛體位移。

第二種位移是彈性體形狀的變化，位移發(fā)生時(shí)不僅改變物體的絕對(duì)位臵，而且改變了物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位臵，這是物體形狀變化引起的位移，稱為變形。

一般來說，剛體位移和變形是同時(shí)出現(xiàn)的。當(dāng)然，對(duì)于彈性力學(xué)，主要是研究變形，因?yàn)樽冃魏蛷椥泽w的應(yīng)力有著直接的關(guān)系。

根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，彈性體在變形前和變形后仍保持為連續(xù)體。那么彈性體中某點(diǎn)在變形過程中由M（x，y，z）移動(dòng)至M'（x'，y'，z'），這一過程也將是連續(xù)的,如圖所示。在數(shù)學(xué)上，x'，y'，z'必為x，y，z的單值連續(xù)函數(shù)。設(shè)MM'=S為位移矢量，其三個(gè)分量u，v，w為位移分量。則

u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z），

v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）

w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）

顯然，位移分量u，v，w也是x，y，z的單值連續(xù)函數(shù)。以后的分析將進(jìn)一步假定位移函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

2、變形與應(yīng)變分量

為進(jìn)一步研究彈性體的變形情況，假設(shè)從彈性體中分割出一個(gè)微分六面體單元，其六個(gè)面分別與三個(gè)坐標(biāo)軸垂直。

對(duì)于微分單元體的變形，將分為兩個(gè)部分討論。一是微分單元體棱邊的伸長(zhǎng)和縮短；二是棱邊之間夾角的變化。彈性力學(xué)分別使用正應(yīng)變和切應(yīng)變表示這兩種變形的。

對(duì)于微分平行六面體單元，設(shè)其變形前與x，y，z坐標(biāo)軸平行的棱邊分別為MA，MB，MC，變形后分別變?yōu)镸'A'，M'B'，M'C'。

假設(shè)分別用εx,εy,εz表示x，y，z軸方向棱邊的相對(duì)伸長(zhǎng)度，即正應(yīng)變；分別用γxy,γyz,γzx表示x和y，y和z，z和x軸之間的夾角變化，即切應(yīng)變。則

對(duì)于小變形問題，為了簡(jiǎn)化分析，將微分單元體分別投影到Oxy，Oyz，Ozx平面來討論。

顯然，單元體變形前各棱邊是與坐標(biāo)面平行的，變形后棱邊將有相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)，但我們討論的是小變形問題，這種轉(zhuǎn)動(dòng)所帶來的影響較小。特別是物體位移中不影響變形的計(jì)算，假設(shè)各點(diǎn)的位移僅為自身的大小和形狀的變化所確定，則這種微分線段的轉(zhuǎn)動(dòng)的誤差是十分微小的，不會(huì)導(dǎo)致微分單元體的變形有明顯的變化。

3、正應(yīng)變表達(dá)式

首先討論Oxy面上投影的變形。

設(shè)ma，mb分別為MA，MB的投影，m'a'，m'b'分別為M'A'，M'B'，即變形后的MA，MB的投影。

微分單元體的棱邊長(zhǎng)為dx，dy，dz，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y，z），u（x，y，z），v(x,y,z)分別表示M點(diǎn)x，y方向的位移分量。

則A點(diǎn)的位移為u(x+dx，y，z），v(x+dx，y，z）,B點(diǎn)的位移為u(x，y+dy，z），v(x，y+dy，z）。按泰勒級(jí)數(shù)將A，B兩點(diǎn)的位移展開，并且略去二階以上的小量，則A，B點(diǎn)的位移分別為

因?yàn)?/p>

所以

同理可得

由此可以得到彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)微分線段的相對(duì)伸長(zhǎng)度，即正應(yīng)變。

顯然微分線段伸長(zhǎng)，則正應(yīng)變?chǔ)舩,εy,εz大于零，反之則小于零。

4、切應(yīng)變分量

以下討論切應(yīng)變表達(dá)關(guān)系。

假設(shè)βyx為與x軸平行的微分線段ma向y軸轉(zhuǎn)過的角度，βxy為與y軸平行的mb向x軸轉(zhuǎn)過的角度。則切應(yīng)變

因?yàn)?/p>

上式的推導(dǎo)中，利用了小變形條件下位移的導(dǎo)數(shù)是高階小量的結(jié)論。同理可得

βyx和βxy可為正或?yàn)樨?fù)，其正負(fù)號(hào)的幾何意義為：βyx大于零，表示位移v隨坐標(biāo)x而增加，即x方向的微分線段正向向y軸旋轉(zhuǎn)。將上述兩式代入切應(yīng)變表達(dá)式，則

同理可得

切應(yīng)變分量大于零，表示微分線段的夾角縮小，反之則增大。

5、幾何方程與應(yīng)變張量

綜上所述，應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系為

上述公式稱為幾何方程，又稱柯西方程。

柯西方程給出了位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。如果已知位移，由位移函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)即可求得應(yīng)變；但是如果已知應(yīng)變，由于六個(gè)應(yīng)變分量對(duì)應(yīng)三個(gè)位移分量，則其求解將相對(duì)復(fù)雜。這個(gè)問題以后作專門討論。

幾何方程給出的應(yīng)變通常稱為工程應(yīng)變。

如果使用張量符號(hào)，則幾何方程可以表達(dá)為

上式表明應(yīng)變分量ij將滿足二階張量的坐標(biāo)變換關(guān)系，應(yīng)變張量分量與工程應(yīng)變分量的關(guān)系可表示為

§3.2純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移

學(xué)習(xí)思路:

應(yīng)變分量通過位移的偏導(dǎo)數(shù)描述了一點(diǎn)的變形，對(duì)微分平行六面體單元棱邊的伸長(zhǎng)以及棱邊之間夾角的改變做出定義。但是這還不能完全描述彈性體的變形，原因是沒有考慮微分單元體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。

通過分析彈性體內(nèi)無限鄰近兩點(diǎn)的位臵變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)位移與純變形位移之間的關(guān)系。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)通過轉(zhuǎn)動(dòng)分量描述。

剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移的物理意義：如果彈性體內(nèi)某點(diǎn)沒有變形，則無限鄰近它的任意一點(diǎn)的位移由兩部分組成，平動(dòng)位移和轉(zhuǎn)動(dòng)位移。如果發(fā)生變形，位移中還包括純變形位移。

學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移；

2、轉(zhuǎn)動(dòng)位移分量；

3、純變形位移與轉(zhuǎn)動(dòng)位移；

4、位移的分解。

1、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移

應(yīng)變可以描述一點(diǎn)的變形，即對(duì)微分平行六面體單元棱邊的伸長(zhǎng)以及棱邊之間夾角的改變做出定義。但是這還不足以完全描述彈性體的變形，原因是應(yīng)變分析僅僅討論了棱邊伸長(zhǎng)和夾角變化，而沒有考慮微分單元體位臵的改變，即單元體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。

通過分析彈性體內(nèi)無限鄰近兩點(diǎn)的位臵變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)位移與純變形位移之間的關(guān)系。

設(shè)P點(diǎn)無限鄰近O點(diǎn)，P點(diǎn)及其附近區(qū)域繞O作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過微小角度。

設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)矢量為ω，OP之間的距離矢量為ρ，如圖所示。

則

引入拉普拉斯算符矢量

2、轉(zhuǎn)動(dòng)位移分量

設(shè)P點(diǎn)的位移矢量為U，有

U=ui+uj+uk

由于位移矢量可以表示為U=ω×ρ,

所以

即

其中

ωx,ωy,ωz為轉(zhuǎn)動(dòng)分量，是坐標(biāo)的函數(shù)，表示了彈性體內(nèi)微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)。

3、純變形位移與轉(zhuǎn)動(dòng)位移

設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y，z），位移（u，v，w）。與M點(diǎn)鄰近的N點(diǎn)，坐標(biāo)為（x+dx，y+dy，z+dz），位移為（u+du，v+dv，w+dw）。

則MN兩點(diǎn)的相對(duì)位移為（du，dv，dw）。因?yàn)槲灰茷樽鴺?biāo)的函數(shù)，所以

同理可得

以上位移增量公式中，前三項(xiàng)為產(chǎn)生變形的純變形位移，后兩項(xiàng)是某點(diǎn)鄰近區(qū)域的材料繞該點(diǎn)像剛體一樣轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移。

剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移的物理意義為，如果彈性體中某點(diǎn)及鄰近區(qū)域沒有變形，則與某點(diǎn)無限鄰近這一點(diǎn)的位移，根據(jù)剛體動(dòng)力學(xué)可知，是由兩部分組成。分別是隨

這點(diǎn)的平動(dòng)位移和繞這點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)位移。對(duì)于彈性體中某一點(diǎn)，一般還要發(fā)生變形，因此位移中還包括純變形位移。

4、位移的分解

總得來講，與M點(diǎn)無限鄰近的N點(diǎn)的位移由三部分組成的：

1、隨同M點(diǎn)作平動(dòng)位移。

2、繞M點(diǎn)作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)在N點(diǎn)產(chǎn)生的位移。

3、由于M點(diǎn)及其鄰近區(qū)域的變形在N點(diǎn)引起的位移。

轉(zhuǎn)動(dòng)分量ωx,ωy，ωz對(duì)于微分單元體，描述的是剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，但其對(duì)于整個(gè)彈性體來講，仍屬于變形的一部分。三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量和六個(gè)應(yīng)變分量合在一起，不僅確定了微分單元體形狀的變化，而且確定了方位的變化。

位移增量公式如果使用矩陣形式表示，可得

顯然，位移的增量是由兩部分組成的，一部分是轉(zhuǎn)動(dòng)分量引起的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移，另一部分是應(yīng)變分量引起的變形位移增量。

§3.3應(yīng)變的坐標(biāo)變換與應(yīng)變張量

學(xué)習(xí)思路:

與應(yīng)力狀態(tài)分析相同，一點(diǎn)的應(yīng)變分量在不同坐標(biāo)系下的描述是不相同的，因此討論應(yīng)變狀態(tài)，就必須建立坐標(biāo)變換，就是坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)變分量變換關(guān)系。

本節(jié)通過新坐標(biāo)系與舊坐標(biāo)系之間的位移變換關(guān)系式，根據(jù)幾何方程，通過復(fù)合函數(shù)的微分，就可以得到應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)軸公式。

轉(zhuǎn)軸公式表明應(yīng)變張量也是二階對(duì)稱張量。

根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，一點(diǎn)的六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量一旦確定，則任意坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量均可確定，即應(yīng)變狀態(tài)完全確定。

應(yīng)變狀態(tài)分析表明：坐標(biāo)變換后各個(gè)應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但是作為一個(gè)整體，一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是不會(huì)改變的。

學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1、坐標(biāo)變換；

2、應(yīng)變分量坐標(biāo)轉(zhuǎn)軸公式；

3、應(yīng)變張量。

1、坐標(biāo)變換

上一節(jié)我們引入了應(yīng)變分量，本節(jié)將討論不同坐標(biāo)系下一點(diǎn)的應(yīng)變分量的關(guān)系。與坐標(biāo)轉(zhuǎn)軸時(shí)的應(yīng)力分量的變換一樣，我們將建立應(yīng)變分量轉(zhuǎn)軸的變換公式，即已知εij在舊坐標(biāo)系中的分量，求其在新坐標(biāo)系中的各分量εi'j'。

根據(jù)幾何方程，坐標(biāo)平動(dòng)將不會(huì)影響應(yīng)變分量。因此只需坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)變分量變換關(guān)系，設(shè)新坐標(biāo)系Oxyz是舊坐標(biāo)系Ox'y'z'經(jīng)過轉(zhuǎn)動(dòng)得到的，如圖所示。

新舊坐標(biāo)軸之間的夾角的方向余弦為

設(shè)變形前的M點(diǎn)，變形后移至M'點(diǎn)，設(shè)其位移矢量MM'=U，則

2、應(yīng)變分量坐標(biāo)轉(zhuǎn)軸公式

所以，新坐標(biāo)系的位移分量為

根據(jù)幾何方程，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分關(guān)系

同理，可以推導(dǎo)其余五個(gè)應(yīng)變分量的變換公式，即

3、應(yīng)變張量

如果以nij（i，j=1，2，3）表示新舊坐標(biāo)系之間的夾角的方向余弦，并注意到應(yīng)變張量表達(dá)式，則上述應(yīng)變分量變換公式可以寫作

εij=nii'njj'εij

因此，如果將應(yīng)變分量寫作下列形式

則應(yīng)變分量滿足張量變換關(guān)系。

與應(yīng)力張量相同，應(yīng)變張量也是二階對(duì)稱張量。

由公式可知，一點(diǎn)的六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量一旦確定，則任意坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量均可確定，即一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)就完全確定了。不難理解，坐標(biāo)變換后各應(yīng)變

分量均發(fā)生改變，但它們作為一個(gè)整體，所描述的一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是不會(huì)改變的。

§3.4主應(yīng)變和應(yīng)變不變量

學(xué)習(xí)思路:

應(yīng)變狀態(tài)分析需要確定一點(diǎn)的最大正應(yīng)變及其方位，就是確定主應(yīng)變和主平面。

對(duì)于任意一點(diǎn)，至少有三個(gè)垂直方向，在該方向僅有正應(yīng)變而切應(yīng)變?yōu)榱?。具有該性質(zhì)的方向，稱為應(yīng)變主軸或應(yīng)變主方向，該方向的正應(yīng)變稱為主應(yīng)變。

本節(jié)根據(jù)位移增量與應(yīng)變分量以及主應(yīng)變的關(guān)系，推導(dǎo)求解主應(yīng)變及其方向余弦的齊次方程組。根據(jù)齊次方程組非零解的條件，可以確定關(guān)于求解主應(yīng)力的應(yīng)變狀態(tài)特征方程。

根據(jù)特征方程，可以確定三個(gè)主應(yīng)變。如果將主應(yīng)變回代齊次方程組，并且注意到任意截面的三個(gè)方向余弦的平方和等于1，則可解應(yīng)變主軸的方向余弦。

根據(jù)特征方程和應(yīng)變不變量可知，主應(yīng)變和應(yīng)變主軸的特性與主應(yīng)力和應(yīng)力主軸是類似的。

學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1、位移微分表達(dá)式；

2、主應(yīng)變齊次方程組；

3、主應(yīng)變特征方程與不變量。

1、位移微分表達(dá)式

彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)變分量，即應(yīng)變張量隨著坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)而改變。因此是否可以像應(yīng)力張量一樣，對(duì)于某一個(gè)確定點(diǎn)，在某個(gè)坐標(biāo)系下所有的切應(yīng)變分量都為零，僅有正應(yīng)變分量不等于零。即能否找到三個(gè)相互垂直的方向，在這三個(gè)方向上的微分線段在物體變形后只是各自改變長(zhǎng)度，而其夾角仍為直角。答案是肯定的。

在任何應(yīng)變狀態(tài)下，至少可以找到三個(gè)這樣的垂直方向，在該方向僅有正應(yīng)變而切應(yīng)變?yōu)榱恪?/p>

具有該性質(zhì)的方向，稱為應(yīng)變主軸或應(yīng)變主方向，該方向的應(yīng)變稱為主應(yīng)變。

設(shè)εij為物體內(nèi)某點(diǎn)在已知坐標(biāo)系的應(yīng)變張量，求其主應(yīng)變?chǔ)?，ε2，ε3及應(yīng)變主軸方向n1,n2,n3。設(shè)MN為M點(diǎn)的主軸之一，其變形前的方向余弦為l，m，n，主應(yīng)變?yōu)棣?。令dρ表示MN的長(zhǎng)度,則MN相對(duì)伸長(zhǎng)為εdρ，如圖所示設(shè)M點(diǎn)的位移為（u，v，w），則N點(diǎn)的位移為（u+du，v+dv，w+dw）。因?yàn)?/p>

du=在x方向的變形位移分量+剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移在x方向的分量

=εldρ+剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移在x方向的分量

2、主應(yīng)變齊次方程組

根據(jù)公式

即du等于純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移在x方向的分量之和。根據(jù)上述公式，可得

或者寫作

同理可得

上述公式是關(guān)于l，m，n的齊次線性方程組。

3、主應(yīng)變特征方程與不變量

對(duì)于l，m，n的齊次線性方程組，其非零解的條件為其系數(shù)行列式的值為零。即

將上式展開，可得主應(yīng)變特征方程，

其中

顯然與應(yīng)力不變量相同，J1，J2，J3為應(yīng)變不變量，分別稱為第一，第二和第三應(yīng)變不變量。

根據(jù)特征方程，可以求解得到三個(gè)主應(yīng)變。將求解后的主應(yīng)變代入公式，并注意到任意一點(diǎn)三個(gè)方向余弦的平方和等于1，則可解應(yīng)變主軸的方向余弦。

由應(yīng)力張量和應(yīng)變張量，應(yīng)力不變量和應(yīng)變不變量之間的公式的比較可知，主應(yīng)變和應(yīng)變主軸的特性與主應(yīng)力和應(yīng)力主軸是類似的。

上圖是從別處截過來的。

§3.5體積應(yīng)變

學(xué)習(xí)思路:

物體變形后的單位體積變化稱為體積應(yīng)變。

討論微分平行六面體單元的體積變形，可以得到體積應(yīng)變。體積應(yīng)變等于3個(gè)正應(yīng)變之和，就是第一應(yīng)變不變量。

體積應(yīng)變表示物體的體積變形是正應(yīng)變引起的，與切應(yīng)變無關(guān)。

學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1、單元體位移；

2、體積應(yīng)變。

1、單元體位移

本節(jié)介紹物體變形后的單位體積變化，即體積應(yīng)變。

討論微分平行六面體單元，如圖所示。

變形前，單元體的三條棱邊分別為MA，MB，MC，長(zhǎng)dx，dy，dz，其體積為：V=dxdydz。設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，z），則A，B，C點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x+dx，y，z），（x，y+dy，z）和（x，y，z+dz）。

彈性體變形后，其三條棱邊分別變?yōu)镸'A'，M'B'，M'C'。其中

2、體積應(yīng)變

若用V'表示變形后的微分單元體體積，則

將行列式展開并忽略二階以上的高階小量，則

若用θ表示單位體積的變化即體積應(yīng)變，則由上式可得

顯然體積應(yīng)變?chǔ)染褪菓?yīng)變張量的第一不變量J1。因此θ常寫作

體積應(yīng)變?chǔ)却笥诹惚硎疚⒎謫卧w膨脹，小于零則表示單元體受壓縮。若彈性體內(nèi)θ處處為零，則物體變形后的體積是不變的。

§3.6應(yīng)變協(xié)調(diào)方程

學(xué)習(xí)思路:

變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義是：要使以三個(gè)位移分量為未知函數(shù)的六個(gè)幾何方程不矛盾，則應(yīng)變分量必須滿足的必要條件。

應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義可以從彈性體的變形連續(xù)性質(zhì)作出解釋。如果變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的物體將出現(xiàn)縫隙或嵌入現(xiàn)象，不能重新組合成連續(xù)體。

為使變形后的微分單元體連續(xù)，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系，這一關(guān)系就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，又稱圣維南（SaintVenant）方程。

假如彈性體是單連通域的,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程不僅是變形連續(xù)的必要條件，而且也是充分條件。

利用位移函數(shù)的微分沿任意路徑重新積分可以確定的位移必然是單值位移的條件，可以證明應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。

對(duì)于多連通域問題，應(yīng)變分量滿足變形協(xié)調(diào)方程只是位移連續(xù)的必要條件，只有加上位移連續(xù)補(bǔ)充條件作為充分條件。

學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1、變形協(xié)調(diào)例題；

2、變形協(xié)調(diào)方程；

3、變形協(xié)調(diào)方程的意義；

4、變形協(xié)調(diào)方程證明；

5、變形協(xié)調(diào)方程證明2；

6、多連域的變形協(xié)調(diào)。

1、變形協(xié)調(diào)例題

幾何方程表明，六個(gè)應(yīng)變分量是通過三個(gè)位移分量表示的，因此六個(gè)應(yīng)變分量將不可能是互不相關(guān)的，應(yīng)變分量之間必然存在某種聯(lián)系。

這個(gè)問題對(duì)于彈性力學(xué)分析是非常重要的。因?yàn)槿绻阎灰品至?，容易通過幾何方程的求導(dǎo)過程獲得應(yīng)變分量；但是反之，如果已知應(yīng)變分量，則幾何方程的六個(gè)方程將僅面對(duì)三個(gè)未知的位移函數(shù)，方程數(shù)顯然超過未知函數(shù)的個(gè)數(shù)，方程組將可能是矛盾的。

隨意給出六個(gè)應(yīng)變分量，不一定能求出對(duì)應(yīng)的位移。例如：

例1設(shè)應(yīng)變分量為：，，求其位移

解：

顯然該應(yīng)變分量沒有對(duì)應(yīng)的位移。

要使這一方程組不矛盾，則六個(gè)應(yīng)變分量必須滿足一定的條件

以下我們將著手建立這一條件。

2、變形協(xié)調(diào)方程

首先從幾何方程中消去位移分量，把幾何方程的第一式和第二式

分別對(duì)x和y求二階偏導(dǎo)數(shù)，然后相加，并利用第四式，可得

若將幾何方程的第四，五，六式分別對(duì)z，x，y求一階偏導(dǎo)數(shù)，然后四和六兩式相加并減去第五式，則

將上式對(duì)x求一階偏導(dǎo)數(shù)，則

分別輪換x,y,z，則可得如下六個(gè)關(guān)系式

上述方程稱為應(yīng)變協(xié)調(diào)方程或者變形協(xié)調(diào)方程，又稱圣維南（SaintVenant）方程。

3、變形協(xié)調(diào)方程的意義

變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義是：要使三個(gè)位移分量為未知函數(shù)的六個(gè)幾何方程不相矛盾，則應(yīng)變分量必須滿足的必要條件。

應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義可以從彈性體的變形連續(xù)作出解釋。假如物體分割成無數(shù)個(gè)微分六面體單元，變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)

象。

為使變形后的微分單元體仍能重新組合成連續(xù)體，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系，這一關(guān)系就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。

假如彈性體是單連通域的,則應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程不僅是變形連續(xù)的必要條件，而且也是充分條件。

為證明應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是變形體連續(xù)的必要和充分條件，我們可利用彈性體變形連續(xù)的物理意義，反映在數(shù)學(xué)上則要求位移分量為單值連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。