拋物線的簡單幾何性質

課題：2.4.2拋物線的簡單幾何性質（一）總第個教案課型：新授課上課時間：年月日星期____教學目標1.知識與技能(1)通過對拋物線圖形的研究，讓學生熟悉拋物線的幾何性質（對稱性、范圍、頂點、離心率）以及離心率的大小對拋物線形狀的影響，進一步加強數(shù)形結合的思想。。(2)熟練掌握拋物線的幾何性質，會用拋物線的幾何性質解決相應的問題。2.過程與方法通過講解拋物線的相關性質，理解并會用拋物線的相關性質解決問題。3.情感、態(tài)度與價值觀(1)學生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創(chuàng)造地解決問題；(2)培養(yǎng)學生抽象概括能力和邏輯思維能力。教學重點拋物線的幾何性質，數(shù)形結合思想的貫徹，運用曲線方程研究幾何性質教學難點數(shù)形結合思想的貫徹，運用曲線方程研究幾何性質。教學方法對比法、數(shù)形結合。教學過程：批注活動一：創(chuàng)設情景、引入課題（5分鐘）問題1：前面兩節(jié)課，說一說所學習過的內(nèi)容？拋物線的定義？四種不同拋物線方程的對比？問題2：類比橢圓、雙曲線的幾何性質，你認為拋物線有那些的幾何性質？通過它的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對稱性？拋物線上哪些點比較特殊？點題：今天我們學習“拋物線的簡單幾何性質”活動二：師生交流、進入新知，（20分鐘）一、拋物線的簡單幾何性質1．范圍：，由知，拋物線上點的坐標滿足不等式，當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方或右下方無限延伸。2．對稱性：拋物線關于軸對稱.在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點在曲線上時，點也在曲線上，所以曲線關于軸對稱.這時，坐標軸軸是拋物線的對稱軸。3．頂點：坐標原點（0，0）在拋物線的標準方程中，令，得4．離心率：拋物線上的點M到焦點的焦距與它到準線的距離的比叫拋物線的離心率.問題3：說出當滿足下列條件時，曲線是什么圖形？（1）當0＜e＜1時，（2）當e＞1時，（3）當e=1時。5.焦半徑：拋物線上任一點到焦點的距離(即此點的焦半徑)等于此點到準線的距離．設為拋物線y2=2px上任一點，F(xiàn)（，0）是拋物線的焦點，則|PF|=+.6.由焦半徑公式不難得出焦點弦長公式：設AB是過拋物線焦點的一條弦(焦點弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有|AB|=x1+x2+p．特別地：當AB⊥x軸時，拋物線的通徑|AB|=2p練習：完成下列表格標準方程圖像范圍對稱性頂點離心率焦點坐標準線方程開口方向例3：已知：拋物線關于軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點，求它的標準方程，并用描點法畫出圖形．解：略問題4：思考頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點的拋物線有幾條？求出它的標準方程。練習：書本P72頁練習1、2活動三：合作學習、探究新知（18分鐘）例4：斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點,且與拋物線相交于、兩點,求線段的長。解：法一弦長公式法二設、，則∵將直線代入得，∴又∵由拋物線定義得，所以．小結：過拋物線焦點的弦長求法：法一弦長公式；法二：焦點弦的長度．補充練習:1、過拋物線的焦點,作傾斜角為的直線,求被拋物線截得的弦長．2、書本P72頁練習3例5：過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點F的一條直線與這拋物線相交于A、B兩點，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(圖2-34)．證明：(1)當AB與x軸不垂直時，設AB方程為：此方程的兩根y1、y2分別是A、B兩點的縱坐標，則有y1y2=-p2．或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．綜合上述有y1y2=-p2又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線上的兩點，練習：求證：以通過拋物線焦點的弦為直徑的圓必與拋物線的準線相切．證明：（法一）設拋物線方程為，則焦點，準線．設以過焦點的弦為直徑的圓的圓心，、、在準線上的射影分別是、、，則∵由拋物線的定義知，由梯形的中位線性質定理知∴，即為以為直徑的圓的半徑又∵準線，∴命題成立．（法二）設拋物線方程為，則焦點，準線．過點的拋物線的弦的兩個端點、，線段的中點，則∵，∴以通過拋物線焦點的弦為直徑的圓的半徑．又∵點到準線的距離，∴圓與準線相切．活動四：歸納整理、提高認識（2分鐘）用表格形式表示一下拋物線的幾何性質？活動