2023年考研數(shù)學(xué)一真題及答案

2023年考研數(shù)學(xué)一真題及答案一、選擇題：1~10小題,每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.1.

的斜漸近線為(

)A.

B.

C.

D.【答案】B.【解析】由已知，則，，所以斜漸近線為.故選B.2.若的通解在上有界，則（

）.A.

B.C.

D.【答案】D.【解析】微分方程的特征方程為.若

，則通解為；若，則通解為；若，則通解為.由于在上有界，若，則中時(shí)通解無界，若，則中時(shí)通解無界，故.時(shí)，若

，則，通解為，在上有界.時(shí)，若，則，通解為，在上無界.綜上可得，.3.

設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，則(

).A．連續(xù)，不存在

B.存在，在處不連續(xù)C.連續(xù)，不存在

D.存在，在處不連續(xù)【答案】C【解析】，故在連續(xù)..時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，故在連續(xù).,,故不存在.故選C.4.設(shè)，且與收斂，絕對(duì)收斂是絕對(duì)收斂的（

）.A.充分必要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既非充分又非必要條件【答案】A.【解析】由已知條件可知為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，進(jìn)而絕對(duì)收斂.設(shè)絕對(duì)收斂，則由與比較判別法,得

絕對(duì)收玫;設(shè)絕對(duì)收斂，則由與比較判別法，得絕對(duì)收斂.故選A.5.設(shè)均為階矩陣，，記矩陣的秩分別為，則(

)A.

B.

C.

D.【答案】B【解析】由矩陣的初等變換可得，故.，故.，故.綜上，比較可得B正確.6.

下列矩陣不能相似對(duì)角化的是(

)A.

B.

C.

D.【答案】D.【解析】由于A.中矩陣的特征值為，特征值互不相同，故可相似對(duì)角化.B.中矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣，故可相似對(duì)角化.C.中矩陣的特征值為，且，故可相似對(duì)角化.D.中矩陣的特征值為，且，故不可相似對(duì)角化.選D.7.

已知向量，，，，若既可由線性表示，也可由線性表示，則(

)A．

B.

C.

D.【答案】D.【解析】設(shè)，則，對(duì)關(guān)于的方程組的系數(shù)矩陣作初等變換化為最簡(jiǎn)形，，解得，故.8.設(shè)服從參數(shù)為1的泊松分布，則（

）.A.

B.

C.

D.【答案】C.【解析】方法一

由已知可得，，，故，故選C.方法二

由于，于是，因此.由已知可得，，故，故選C.9.設(shè)為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且兩樣本相互獨(dú)立，記，，，，則(

)A.

B.

C.

D.

【答案】D.【解析】由兩樣本相互獨(dú)立可得與相互獨(dú)立，且，，因此，故選D.10.

已知總體服從正態(tài)分布，其中為未知參數(shù)，，為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且為的無偏估計(jì)，則(

).A.

B.

C.

D.【答案】A.【解析】由與，為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，，相互獨(dú)立，且，，因而，令，所以的概率密度為，所以，又由為的無偏估計(jì)可得，，即，解得，故選A.二、填空題：11~16小題,每小題5分,共30分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.11．當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則

.【答案】【解析】由題意可知，，于是，即，從而.12.曲面在處的切平面方程為_

.【答案】【解析】由于在點(diǎn)處的法向量為，從而曲面在處的切平面方程為.13.設(shè)是周期為的周期函數(shù)，且，則

.【答案】【解析】由題意知，于是.14.設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足，，則

.【答案】【解析】.15.已知向量，若，則

.【答案】【解析】，；，；，.故.16.

設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且則

.答案】【解析】.三、解答題：17~22小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本題滿分10分）設(shè)曲線經(jīng)過點(diǎn)，該曲線上任意一點(diǎn)到軸的距離等于該點(diǎn)處的切線在軸上的截距.（1）求;（2）求函數(shù)在的最大值.【解】（1）曲線在點(diǎn)處的切線方程為，于是切線在軸上的截距為，由題意可知，即，此為一階線性微分方程，根據(jù)通解公式可得，將代入上式得，即.(2)由（1）知，于是，.令，解得唯一駐點(diǎn)，，故.18.（本題滿分12分）求函數(shù)的極值.【解】由已知可得，，由解得駐點(diǎn)為.又，，.在處，，，取，于是，從而在的領(lǐng)域內(nèi)；取，于是，從而在的領(lǐng)域內(nèi)，從而在點(diǎn)處不去極值；在處，，于是，故不是極大值點(diǎn)在處，,于是，是極小值點(diǎn)，極小值.19.（本題滿分12分）已知有界閉區(qū)域是由，，所圍的，為邊界的外側(cè)，計(jì)算曲面積分.【解】由高斯公式，有.由于關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱，是關(guān)于的奇函數(shù)，因此，所以.20.（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù).（1）證明：若，存在，使得；（2）若在上存在極值，證明：存在，使得.【證明】(1)將在處展開為，其中介于與之間.分別令和，則，，，，兩式相加可得，又函數(shù)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由介值定理知存在，使得，即.(2)設(shè)在處取得極值，則.將在處展開為，其中介于與之間.分別令和，則，，，，兩式相減可得，所以，即.21.（本題滿分12分）設(shè)二次型

，，(1)求可逆變換，將化為.(2)是否存在正交矩陣，使得時(shí)，將化為.【解】(1)由配方法得..令，則，即時(shí)，規(guī)范形為

.令，則時(shí)，規(guī)范形為.故可得時(shí)化為,可逆變換,其中.(2)二次型的矩陣為.,所以的特征值為.二次型的矩陣為.,所以的特征值為.故

合同但不相似，故不存在可逆矩陣

使得.若存在正交矩陣，當(dāng)時(shí)，，即，即相似，矛盾，故不存在正交矩陣，使得時(shí)，化為.22.（本題滿分12分）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密