-新教材高中數(shù)學(xué)第五章函數(shù)應(yīng)用2.2用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題學(xué)案北師大版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE8用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具數(shù)學(xué)建模地震是一種常見(jiàn)的自然災(zāi)害，它的強(qiáng)度一般用里氏震級(jí)來(lái)表示．里氏震級(jí)是一種以發(fā)生地震時(shí)產(chǎn)生的水平位移作為判斷標(biāo)準(zhǔn)的地震震級(jí)標(biāo)度，共分9個(gè)等級(jí)，地震越大，震級(jí)的數(shù)字也越大．震級(jí)每增加一級(jí)，通過(guò)地震釋放的能量約增加32倍．里氏震級(jí)的計(jì)算公式是ML＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Amax,A0)))，其中A0是距震中100km處接收到的0級(jí)地震的地震波的最大振幅，單位是μm；Amax是指我們關(guān)注的這個(gè)地震在距震中100km處接收到的地震波的最大振幅，單位是μm.[問(wèn)題]如果知道了相關(guān)數(shù)據(jù)，那么如何計(jì)算震級(jí)呢？知識(shí)點(diǎn)幾類常見(jiàn)的函數(shù)模型A函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對(duì)數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)分段函數(shù)模型y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）（x<m）,g（x）（x≥m）))對(duì)于建立的各種函數(shù)模型，要能夠?qū)ζ溥M(jìn)行識(shí)別，充分利用數(shù)學(xué)方法加以解決，并能積累一定數(shù)量的典型的函數(shù)模型，這是順利解決實(shí)際問(wèn)題的重要資本．運(yùn)用已知函數(shù)模型刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，由于實(shí)際問(wèn)題的條件與得出已知模型的條件會(huì)有所不同，因此往往需要對(duì)模型進(jìn)行修正．1．某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x<10，x∈N＋，,2x＋10，10≤x<100，x∈N＋，其中x代表擬,1.5x，x≥100，x∈N＋，))錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)．若應(yīng)聘的面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用的人數(shù)為()A．15 B．40C．25 D．130解析：選C令y＝60，若4x＝60，則x＝15>10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿足題意；若1.5x＝60，則x＝40<100，不合題意．故擬錄用人數(shù)為25.2．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，在過(guò)濾過(guò)程中，污染物的數(shù)量p(單位：毫克/升)不斷減少，已知p與時(shí)間t(單位：小時(shí))滿足p(t)＝p0×2－eq\f(t,30)，其中p0為t＝0時(shí)的污染物數(shù)量．又測(cè)得當(dāng)t∈[0，30]時(shí)，污染物數(shù)量的變化率是－10ln2，則p(60)＝()A．150毫克/升 B．300毫克/升C．150ln2毫克/升 D．300ln2毫克/升解析：選C因?yàn)楫?dāng)t∈[0，30]時(shí)，污染物數(shù)量的變化率是－10ln2，所以－10ln2＝eq\f(\f(1,2)p0－p0,30－0)，所以p0＝600ln2，因?yàn)閜(t)＝p0×2－eq\f(t,30)，所以p(60)＝600ln2×2－2＝150ln2(毫克/升)．3．某種動(dòng)物繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第1年有100只，則第7年它們繁殖到________只．答案：300分段函數(shù)模型的應(yīng)用[例1](鏈接教科書(shū)第137頁(yè)例5)某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)，服藥后每毫升血液中的含藥量y(單位：μg)與時(shí)間t(單位：h)之間近似滿足如圖所示的曲線．(1)寫(xiě)出服藥后每毫升血液中的含藥量y與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(t)；(2)據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于0.25μg時(shí)，對(duì)治療疾病有效，求服藥一次治療疾病的有效時(shí)間．[解](1)當(dāng)0≤t<1時(shí)，y＝kt，由點(diǎn)M(1，4)在直線上，得4＝k，故y＝4t；當(dāng)t≥1時(shí)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t－a)，由點(diǎn)M(1，4)在曲線上，得4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1－a)，解得a＝3，即y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t－3).故y＝f(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t，0≤t<1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)，t≥1.))(2)由題意知f(t)≥0.25，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t≥0.25，,0≤t<1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)≥0.25，,t≥1，))解得eq\f(1,16)≤t≤5.所以服藥一次治療疾病的有效時(shí)間為5－eq\f(1,16)＝eq\f(79,16)(h)．eq\a\vs4\al()1．現(xiàn)實(shí)生活中有很多問(wèn)題都是用分段函數(shù)模型表示的，如出租車計(jì)費(fèi)、個(gè)人所得稅等，分段函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的重要模型．2．分段函數(shù)的實(shí)質(zhì)是自變量在每一段區(qū)間上變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其看成幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起，要注意各段自變量的取值范圍，特別是端點(diǎn)值．[跟蹤訓(xùn)練]根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：min)為f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，x<A，,\f(c,\r(A))，x≥A))(A，c為常數(shù))．已知該工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30min，組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15min，那么c和A的值分別是()A．75，25 B．75，16C．60，25 D．60，16解析：選D由題意知，組裝第A件產(chǎn)品所需時(shí)間為eq\f(c,\r(A))＝15，故組裝第4件產(chǎn)品所需時(shí)間為eq\f(c,\r(4))＝30，解得c＝60.將c＝60代入eq\f(c,\r(A))＝15，得A＝16.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用[例2]大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鮭魚(yú)的游速可以表示為函數(shù)v＝eq\f(1,2)log3eq\f(θ,100)，單位是m/s，θ是表示魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)．(1)當(dāng)一條鮭魚(yú)的耗氧量是900個(gè)單位時(shí)，它的游速是多少？(2)某條鮭魚(yú)想把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來(lái)的多少倍？[解](1)由v＝eq\f(1,2)log3eq\f(θ,100)可知，當(dāng)θ＝900時(shí)，v＝eq\f(1,2)log3eq\f(900,100)＝eq\f(1,2)log39＝1(m/s)．所以當(dāng)一條鮭魚(yú)的耗氧量是900個(gè)單位時(shí)，它的游速是1m/s.(2)由v2－v1＝1，即eq\f(1,2)log3eq\f(θ2,100)－eq\f(1,2)log3eq\f(θ1,100)＝1，得eq\f(θ2,θ1)＝9.所以耗氧量的單位數(shù)為原來(lái)的9倍．[母題探究](變?cè)O(shè)問(wèn))若本例條件不變：(1)當(dāng)一條鮭魚(yú)的耗氧量是8100個(gè)單位時(shí)，它的游速是多少？(2)求一條鮭魚(yú)靜止時(shí)耗氧量的單位數(shù)．解：(1)將θ＝8100代入函數(shù)解析式，得v＝eq\f(1,2)log381＝eq\f(1,2)×4＝2(m/s)，所以一條鮭魚(yú)的耗氧量是8100個(gè)單位時(shí)，它的游速是2m/s.(2)令v＝0，得eq\f(1,2)log3eq\f(θ,100)＝0，即eq\f(θ,100)＝1，則θ＝100，所以一條鮭魚(yú)靜止時(shí)的耗氧量為100個(gè)單位．eq\a\vs4\al()1．指數(shù)函數(shù)模型：能用指數(shù)函數(shù)表示的函數(shù)模型叫作指數(shù)函數(shù)模型．指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快(底數(shù)a>1)，常形象地稱之為指數(shù)爆炸．2．對(duì)數(shù)函數(shù)模型：能用對(duì)數(shù)函數(shù)表示的函數(shù)模型叫對(duì)數(shù)函數(shù)模型．對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)是隨著自變量的增大(底數(shù)a>1)，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢．[提醒](1)增長(zhǎng)率與減少率問(wèn)題都應(yīng)歸結(jié)為指數(shù)函數(shù)模型；(2)平均增長(zhǎng)(或減少)率問(wèn)題的表示：y＝a(1＋p%)x(或y＝a(1－p%)x)．[跟蹤訓(xùn)練]如圖所示，桶①中的水按一定規(guī)律流入桶②中，已知開(kāi)始時(shí)桶①中有a升水，桶②是空的，t分鐘后桶①中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y1＝ae－nt(其中n是常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．假設(shè)在5分鐘時(shí)，桶①和桶②中的水恰好相等．求：(1)桶②中的水y2(升)與時(shí)間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式；(2)在多少分鐘時(shí)，桶①中的水是eq\f(a,8)升．解：(1)∵桶②中的水是從桶①中流出的水，而桶①開(kāi)始時(shí)的水是a升，桶①中剩余的水滿足y1＝ae－nt，∴桶②中的水y2與t的函數(shù)關(guān)系式是y2＝a－ae－nt.(2)∵t＝5時(shí)，y1＝y(tǒng)2，∴ae－5n＝a－ae－5n，解得2e－5n＝1，n＝eq\f(1,5)ln2.∴y1＝ae－eq\f(ln2,5)t.當(dāng)y1＝eq\f(a,8)時(shí)，有eq\f(a,8)＝ae－eq\f(ln2,5)t，解得t＝15.∴在15分鐘時(shí)，桶①中的水是eq\f(a,8)升.建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題[例3]某學(xué)習(xí)小組在暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，通過(guò)對(duì)某商店一種商品銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))的日銷售單價(jià)P(x)(單位：元)與時(shí)間x(單位：天，1≤x≤30，x∈N＋)的函數(shù)關(guān)系滿足P(x)＝1＋eq\f(k,x)(k為正常數(shù))．該商品的日銷售量Q(x)(單位：個(gè))與時(shí)間x的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：x10202530Q(x)110120125120已知第10天該商品的日銷售收入為121元．(1)求k的值；(2)給出以下四種函數(shù)模型：①Q(mào)(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－25|＋b；③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·logbx.請(qǐng)你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，從中選擇最合適的一種函數(shù)模型來(lái)描述該商品的日銷售量Q(x)與時(shí)間x的關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；(3)求該商品的日銷售收入f(x)(單位：元)的最小值．[解](1)依題意知第10天該商品的日銷售收入為P(10)·Q(10)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(k,10)))×110＝121，解得k＝1.(2)由題中的數(shù)據(jù)，知隨著時(shí)間的變化，該商品的日銷售量有增有減，而①③④均為單調(diào)函數(shù)，故最合適的函數(shù)模型為②Q(x)＝a|x－25|＋b.從表中數(shù)據(jù)可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Q（10）＝110，,Q（20）＝120，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a|10－25|＋b＝110，,a|20－25|＋b＝120，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝125，))故Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)．(3)由(2)知Q(x)＝125－|x－25|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(100＋x，1≤x<25，x∈N＋，,150－x，25≤x≤30，x∈N＋，))所以f(x)＝P(x)·Q(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)＋101，1≤x<25，x∈N＋，,\f(150,x)－x＋149，25≤x≤30，x∈N＋.))當(dāng)1≤x<25時(shí)，y＝x＋eq\f(100,x)在區(qū)間[1，10]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[10，25)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝10時(shí)，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121；當(dāng)25≤x≤30時(shí)，y＝eq\f(150,x)－x單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝30時(shí)，f(x)取得最小值，且f(x)min＝124.綜上所述，當(dāng)x＝10時(shí)，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121.故該商品的日銷售收入f(x)的最小值為121元．eq\a\vs4\al()建立擬合函數(shù)與預(yù)測(cè)的基本步驟[跟蹤訓(xùn)練]某紀(jì)念章從2020年10月1日起開(kāi)始上市，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到該紀(jì)念章每1枚的市場(chǎng)價(jià)(單位：元)與上市時(shí)間(單位：天)的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間x天41036市場(chǎng)價(jià)y元905190(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系并說(shuō)明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格．解：(1)∵隨著時(shí)間x的增加，y的值先減后增，而所給的三個(gè)函數(shù)中y＝ax＋b和y＝alogbx顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，∴選取y＝ax2＋bx＋c.(2)把點(diǎn)(4，90)，(10，51)，(36，90)代入y＝ax2＋bx＋c中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a＋4b＋c＝90，,100a＋10b＋c＝51，,1296a＋36b＋c＝90，))解得a＝eq\f(1,4)，b＝－10，c＝126.∴y＝eq\f(1,4)x2－10x＋126＝eq\f(1,4)(x－20)2＋26，∴當(dāng)x＝20時(shí)，y有最小值ymin＝26.故當(dāng)紀(jì)念章上市20天時(shí)，該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)最低，最低市場(chǎng)價(jià)為26元．1．某種計(jì)算機(jī)病毒是通過(guò)電子郵件進(jìn)行傳播的，下表是某公司前5天監(jiān)測(cè)到的數(shù)據(jù)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映在第x天被感染的計(jì)算機(jī)數(shù)量y與x之間的關(guān)系的是()第x天12345被感染的計(jì)算機(jī)數(shù)量y(臺(tái))10203981160A．y＝10x B．y＝5x2－5x＋10C．y＝5×2x D．y＝10log2x＋10解析：選C考慮第5天，經(jīng)計(jì)算A選項(xiàng)得50，B選項(xiàng)得110，D選項(xiàng)小于40，均與實(shí)際被感染數(shù)量差距很大，而C選項(xiàng)利用函數(shù)模型y＝5×2x得到的前5天的數(shù)據(jù)與實(shí)際的數(shù)據(jù)差距較小．故選C.2．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是T1(單位：℃)，空氣的溫度是T0(單位：℃)，經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度T(單位：℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)·e－0.25t求得．把溫度是90℃的物體放在10℃的空氣中冷卻t分種后，物體的溫度是50℃，那么t的值約等于(參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.099，ln2≈0.693)()A．1.78 B．2.77C．2.89 D．4.40解析：選B由題意可知50＝10＋