-新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)練習(xí)11數(shù)學(xué)歸納法含解析新人教A版選擇性必修

PAGEPAGE7數(shù)學(xué)歸納法(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．對(duì)于不等式eq\r(n2＋n)≤n＋1(n∈N*)，某學(xué)生的證明過程如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，eq\r(12＋1)≤1＋1，不等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即eq\r(k2＋k)<k＋1，則n＝k＋1時(shí)，eq\r(（k＋1）2＋（k＋1）)＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r(（k2＋3k＋2）＋（k＋2）)＝eq\r(（k＋2）2)＝(k＋1)＋1，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，上述證法()A．過程全都正確B．n＝1驗(yàn)證不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確【解析】選D.n＝1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確，但從n＝k到n＝k＋1的推理中沒有使用歸納假設(shè)，而通過不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋a＋a2＋…＋an－1＝eq\f(1－an,1－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≠1，n∈N*))，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊需計(jì)算的項(xiàng)是()A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3【解析】選A當(dāng)n＝1時(shí)，等式左邊＝1.3．凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n＋1邊形對(duì)角線的條數(shù)f(n＋1)為()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2【解析】選C.增加一個(gè)頂點(diǎn)，就增加n＋1－3條對(duì)角線，另外原來的一邊也變成了對(duì)角線，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.4．設(shè)Sk＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)，則Sk＋1為()A．Sk＋eq\f(1,2k＋2) B．Sk＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)C．Sk＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2) D．Sk＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,2k＋1)【解析】選C.因式子右邊各分?jǐn)?shù)的分母是連續(xù)正整數(shù)，則由Sk＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)，①得Sk＋1＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2（k＋1）).②由②－①，得Sk＋1－Sk＝eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2（k＋1）)－eq\f(1,k＋1)＝eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2（k＋1）).故Sk＋1＝Sk＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2（k＋1）).二、填空題(每小題5分，共10分)5．用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝eq\f(n（2n2＋1）,3)(n∈N*)時(shí)，由n＝k的假設(shè)到證明n＝k＋1時(shí)，等式左邊應(yīng)增加的式子是__________________．【解析】根據(jù)等式左邊的特點(diǎn)，各數(shù)是先遞增再遞減，由于n＝k，左邊＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，n＝k＋1時(shí)，左邊＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，比較兩式，可知等式左邊應(yīng)增加的式子是(k＋1)2＋k2.答案：(k＋1)2＋k26．設(shè)f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*).則x2＝________；數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為________，【解析】(1)x2＝f(x1)＝eq\f(2,3)，x3＝f(x2)＝eq\f(2×\f(2,3),\f(2,3)＋2)＝eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)，x4＝f(x3)＝eq\f(2×\f(1,2),\f(1,2)＋2)＝eq\f(2,5).(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果，可以歸納出xn＝eq\f(2,n＋1).證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，x1＝eq\f(2,1＋1)＝1，與已知相符，歸納出的公式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，公式成立，即xk＝eq\f(2,k＋1)，那么，xk＋1＝eq\f(2xk,xk＋2)＝eq\f(2×\f(2,k＋1),\f(2,k＋1)＋2)＝eq\f(4,2k＋4)＝eq\f(2,（k＋1）＋1)，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，公式也成立．由①②知，當(dāng)n∈N*時(shí)，xn＝eq\f(2,n＋1).答案：eq\f(2,3)xn＝eq\f(2,n＋1)三、解答題(每小題10分，共20分)7．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋eq\f(n,2)≤1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n)≤eq\f(1,2)＋n(n∈N*).【證明】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左式＝1＋eq\f(1,2)，右式＝eq\f(1,2)＋1，所以eq\f(3,2)≤1＋eq\f(1,2)≤eq\f(3,2)，命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，命題成立，即1＋eq\f(k,2)≤1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)≤eq\f(1,2)＋k，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋2k)>1＋eq\f(k,2)＋2k·eq\f(1,2k＋1)＝1＋eq\f(k＋1,2).又1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋2k)<eq\f(1,2)＋k＋2k·eq\f(1,2k)＝eq\f(1,2)＋(k＋1)，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立．由(1)和(2)可知，命題對(duì)所有的n∈N*都成立．8．在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N*)，求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式，證明你的結(jié)論．【解析】由題意得2bn＝an＋an＋1，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))＝bnbn＋1，由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜測(cè)an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈N*.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，由a1＝2，b1＝4可得結(jié)論成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]，bk＋1＝eq\f(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k＋1)),bk)＝eq\f(（k＋1）2（k＋2）2,（k＋1）2)＝(k＋2)2＝[(k＋1)＋1]2.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立．由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對(duì)一切n∈N*都成立．【拓展提升】應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)應(yīng)注意(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗(yàn)證的初始值不一定為1.(2)遞推是關(guān)鍵：正確分析由n＝k到n＝k＋1時(shí)式子項(xiàng)數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障．(3)利用假設(shè)是核心：在第二步證明中一定要利用歸納假設(shè)，這是數(shù)學(xué)歸納法證明的核心環(huán)節(jié)，否則這樣的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法證明．(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n(n≥3，n∈N*)邊形的內(nèi)角和公式”時(shí)，由n＝k到n＝k＋1內(nèi)角和增加了()A．eq\f(π,2)B．πC．eq\f(3π,2)D．2π【解析】選B.如圖，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，凸n邊形的內(nèi)角和增加的是∠1＋∠2＋∠3＝π.2．用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，從n＝k到n＝k＋1，左邊需要增乘的代數(shù)式為()A．2k＋1B．2(2k＋1)C．eq\f(2k＋1,k＋1)D．eq\f(2k＋3,k＋1)【解析】選B.當(dāng)n＝k時(shí)，等式左邊為(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，而當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式左邊為(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)·(k＋3)·…·(k＋k＋2)，前邊少了一項(xiàng)(k＋1)，后邊多了兩項(xiàng)(k＋k＋1)(k＋k＋2)，故增乘的代數(shù)式為eq\f(（k＋k＋1）（k＋k＋2）,k＋1)＝2(2k＋1).3．當(dāng)n＝1，2，3，4，5，6時(shí)，比較2n和n2的大小并猜想得到的結(jié)論為()A．n≥1時(shí)，2n>n2B．n≥3時(shí)，2n>n2C．n≥4時(shí)，2n>n2D．n≥5時(shí)，2n>n2【解析】選D.當(dāng)n＝1時(shí)，21>12，即2n>n2；當(dāng)n＝2時(shí)，22＝22，即2n＝n2；當(dāng)n＝3時(shí)，23<32，即2n<n2；當(dāng)n＝4時(shí)，24＝42，即2n＝n2；當(dāng)n＝5時(shí)，25>52，即2n>n2；當(dāng)n＝6時(shí)，26>62，即2n>n2；…猜想當(dāng)n≥5時(shí)，2n>n2；下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立，(1)當(dāng)n＝5時(shí)，由以上可知猜想成立，(2)設(shè)n＝k(k≥5)時(shí)，命題成立，即2k>k2，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2k＋1＝2·2k>2k2＝k2＋k2>k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2，即n＝k＋1時(shí)，命題成立，由(1)和(2)可得n≥5時(shí)，2n>n2；故當(dāng)n＝2或4時(shí)，2n＝n2；n＝3時(shí)，2n<n2；n＝1及n取大于4的正整數(shù)時(shí)，都有2n>n2.4．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N*，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()A．30B．26C．36D．6【解析】選C.因?yàn)閒(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．證明：當(dāng)n＝1，2時(shí)，由上得證，設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時(shí)，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)?f(k＋1)能被36整除．因?yàn)閒(1)不能被大于36的數(shù)整除，所以所求的最大的m的值等于36.二、填空題(每小題5分，共20分)5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n＝2k－1(k∈N*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n＝__________時(shí)，命題為真.【解析】因?yàn)閚為正奇數(shù)，所以奇數(shù)2k－1之后的奇數(shù)是2k＋1.答案：2k＋16．觀察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……按照以上式子的規(guī)律：則第5個(gè)等式為________，猜想第neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*))個(gè)等式________；【解析】(1)第5個(gè)等式為5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92.第n個(gè)等式為n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，n∈N*.證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，等式左邊＝1，等式右邊＝(2－1)2＝1，所以等式成立．②假設(shè)n＝k時(shí)，命題成立，即k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1)＋[(k＋1)＋1]＋[(k＋1)＋2]＋…＋[3(k＋1)－2]＝(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(3k＋1)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k＝(2k－1)2＋8k＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2＝[2(k＋1)－1]2，即n＝k＋1時(shí)等式成立．根據(jù)①和②，可知對(duì)任意n∈N*等式都成立．答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，n∈N*7．在用數(shù)學(xué)歸納法證明“34n＋2＋52n＋1(n∈N*)能被14整除”的過程中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，式子34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1應(yīng)變形為________.答案：(34k＋2＋52k＋1)34＋52k＋1(52－34)8．用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋5n能被6整除”的過程中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，式子(k＋1)3＋5(k＋1)應(yīng)變形為__________.【解析】采取湊配法，湊出歸納假設(shè)k3＋5k來，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6三、解答題(每小題10分，共20分)9．求證：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.【證明】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命題顯然成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[a