走向促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)教學(xué)

走向促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)教學(xué)走向促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)教學(xué)

【中圖分類號】G623.5【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A【文章編號】1005-6009〔2022〕29-0025-03

【作者簡介】仇學(xué)春，南京市瑯琊路小學(xué)〔南京，210024〕級部主任，一級教師，南京市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，曾獲全國中小學(xué)信息技術(shù)創(chuàng)新與實踐活動網(wǎng)絡(luò)教研團(tuán)隊競賽特等獎。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，理解是第一位的。數(shù)學(xué)理解是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)對象意義的關(guān)鍵?？梢哉f，沒有理解，學(xué)生就沒有深刻的思維;沒有理解，數(shù)學(xué)知識的運用就無從談起;沒有理解，數(shù)學(xué)教育也就沒有了意義。

一、內(nèi)涵解讀：走向理解的原點

理解是我們在日常教學(xué)中經(jīng)常使用的詞匯。通常，我們會把“理解〞簡單地認(rèn)為是“聽懂了〞或者“會做了〞。實際上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的理解有其豐盛的內(nèi)涵。

美國心理學(xué)家大衛(wèi)《帕金斯認(rèn)為，所謂理解，是指個體可以運用信息做事情，而不是他們記得什么。當(dāng)學(xué)生理解事物時，他們可以用自己的話來解釋概念，在新的情境中能夠適當(dāng)?shù)剡\用信息，做出具有創(chuàng)新性的比喻及推論。[1]顯然，他對理解的界定源于認(rèn)知心理學(xué)對理解的界定，都是以信息的內(nèi)部表征作為解釋的根底。

華東師范大學(xué)李士《教授認(rèn)為：學(xué)習(xí)一個數(shù)學(xué)概念、原理、法那么，如果在心理上能組織起適當(dāng)?shù)摹⒂行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個人內(nèi)部知識網(wǎng)絡(luò)的一局部，則才表明是理解了。[2]

英國數(shù)學(xué)心理學(xué)家R.斯根普認(rèn)為理解有兩個不同的層次：工具性理解和關(guān)系性理解。[3]工具性理解的教學(xué)較容易在短期內(nèi)，以及有限〔特別是與最初的學(xué)習(xí)情境相似〕的活動范圍內(nèi)產(chǎn)生明顯的效果，但不利于學(xué)生在全新的情境中應(yīng)用該知識〔即遷移〕，不利于他們對整個生存環(huán)境的理解，也就不利于其長期的開展。只有從工具性理解到達(dá)關(guān)系性理解的層次，個體才能把握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)。關(guān)系型理解的標(biāo)志有下列特征：揭示知識發(fā)生的過程，進(jìn)行邏輯分析，提升為數(shù)學(xué)思想辦法，形成自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。關(guān)系型理解更深一步會進(jìn)入創(chuàng)新性理解的層次，所謂創(chuàng)新性理解，就是在認(rèn)識知識結(jié)構(gòu)本身的根底上，對已有知識進(jìn)行提高、推廣和拓展，或?qū)δ撤N操作進(jìn)行更新和改變。[4]

二、顯性特征：走向理解的撐持點

教師可利用學(xué)生的外部表現(xiàn)來判斷學(xué)生是否理解了數(shù)學(xué)知識。學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的重要標(biāo)志是他們能把語言敘述、實際操作和具體運用這三者結(jié)合起來，從對數(shù)學(xué)對象表層的理解回升到對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的把握。

哈佛大學(xué)也提出了理解的四個維度和它們的特征：〔1〕知識：轉(zhuǎn)換過的直覺認(rèn)識;連貫的、豐盛的知識網(wǎng)絡(luò)。〔2〕辦法：建設(shè)性的質(zhì)疑;構(gòu)建領(lǐng)域內(nèi)的知識;驗證領(lǐng)域內(nèi)的知識。〔3〕目標(biāo)：知道所學(xué)知識的用途;運用所學(xué)知識;內(nèi)化知識，并能夠單獨靈活運用?！?〕形式：掌握了不同類型的表征方式;有效運用不同類型知識的符號系統(tǒng);能夠根據(jù)不同的對象和情境提示進(jìn)行思考。教師要捕捉學(xué)生學(xué)習(xí)的外在表現(xiàn)，學(xué)會判斷學(xué)生是否理解了所學(xué)。

基于上述對理解的維度和特征的認(rèn)識，筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強學(xué)生對數(shù)學(xué)知識理解的主要途徑有：加強新舊知識間的聯(lián)系，抓變式與比擬，抓反思，加強數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)化，抓靈活運用，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)辦法的理解，等等。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的理解需要關(guān)注下列顯性特征：

1.自然的敘述。

記憶是理解的根底，而敘述是記憶的根本辦法。通過學(xué)生的敘述，教師可以了解學(xué)生對知識理解的程度，使得學(xué)生對數(shù)學(xué)知識理解的缺陷得以暴露并得到糾正。對同一知識，每個學(xué)生都有不同角度、不同層次的理解，從而自發(fā)地產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)部需要。

2.個性的發(fā)明。

學(xué)習(xí)不是純正的模仿或記憶，要通過合理的數(shù)學(xué)活動為學(xué)生提供探索知識的時間和時機，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的“再發(fā)明〞過程。Carpenter、Resnick等人的研究說明，數(shù)學(xué)理解有助于創(chuàng)造發(fā)明。他們認(rèn)為：豐盛的內(nèi)部知識網(wǎng)絡(luò)容易激活、引導(dǎo)和檢驗，這是發(fā)明與創(chuàng)造的根底，而完善的圖式建構(gòu)依賴于理解。[5]

3.主動的聯(lián)結(jié)。

理解數(shù)學(xué)知識既包括認(rèn)識這個知識的本質(zhì)屬性，也包括掌握它與其他知識之間的聯(lián)系。要對知識形成深刻的、真正的理解，學(xué)習(xí)者獲得的知識就應(yīng)該是結(jié)構(gòu)化的、整合性的，而不是零碎的。零散無序的知識會使學(xué)生頭腦混亂，就題論題、不講聯(lián)系會使學(xué)生的理解停留在低層次的水平，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)努力讓學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化。

4.靈活的應(yīng)用。

對數(shù)學(xué)知識的靈活運用既是對是否理解了數(shù)學(xué)知識的一種檢驗，也是深入理解數(shù)學(xué)知識的一種辦法。因此，這是對數(shù)學(xué)理解的深層次促進(jìn)。在解決問題的過程中，特別是解題思路受阻時，要靈活地轉(zhuǎn)化題目中的條件和結(jié)論，以便更深刻地理解題目的含義。這樣，久而久之，學(xué)生對知識點的理解就會更加靈活，最終發(fā)揮它們的動態(tài)效應(yīng)。

三、策略建構(gòu)：走向理解的生長點

建構(gòu)主義學(xué)說認(rèn)為：數(shù)學(xué)知識不可能以實體的形式存在于個體之外。則，真正的理解只能由學(xué)習(xí)者自身基于自己的經(jīng)驗背景建構(gòu)起來。理解取決于學(xué)生個體特定情況下的學(xué)習(xí)活動過程，否那么就是死記硬背或生吞活剝，是被動的、復(fù)制式的學(xué)習(xí)?？梢詮南铝袔讉€方面著手來促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解：

1.情境：在問題中理解。

問題情境作為一種以激發(fā)學(xué)生的問題意識為價值取向的數(shù)據(jù)材料和背景信息，是從事數(shù)學(xué)活動的環(huán)境，是產(chǎn)生數(shù)學(xué)行為的條件，推動著學(xué)習(xí)者不斷進(jìn)行更加深入的理解。

教學(xué)蘇教版五下?圓的認(rèn)識》，可以創(chuàng)設(shè)套圈游戲的情境，讓學(xué)生思考：同學(xué)們站成一排套圈公平嗎？如果讓你來設(shè)計，怎樣玩才公平呢？學(xué)生根據(jù)自身靈活而多樣的經(jīng)驗進(jìn)行多元化的表征，在情境中認(rèn)識“定點〞和“定長〞，初步體驗圓是什么。套圈的情境為學(xué)生認(rèn)識圓提供了腳手架，成為推動學(xué)生不斷深化理解的深層次力量。2.聯(lián)系：在結(jié)構(gòu)中理解。

本文中的理解，是指在學(xué)生頭腦中形成關(guān)于該數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)，使數(shù)學(xué)知識與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立起聯(lián)系。

教學(xué)蘇教版六上?分?jǐn)?shù)乘整數(shù)》，學(xué)生自主探究×3為什么等于時，可能有下列幾種想法：

〔1〕畫圖理解：

〔2〕轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)加法：

×3=++==

〔3〕轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法：

×3=3÷10×3=3×3÷10=

〔4〕轉(zhuǎn)化為小數(shù)：

×3=0.3×3=0.9=

四種辦法出來后，學(xué)生大多不知道它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，這時就需要教師的引導(dǎo)：這些辦法有什么相同的地方呢？都是在算什么？引導(dǎo)學(xué)生分析不同的辦法都是在算3×3，算出來是9個，也就是，使學(xué)生把理解算理和抽象算法融合在一起，把分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)有效地聯(lián)系起來。

3.變式：在比擬中理解。

變式問題的設(shè)計一方面可以評判學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)是否到達(dá)了較為深刻的理解，同時也可以在問題解決的過程中深化學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識。

教學(xué)蘇教版五下?真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)》時，可以設(shè)計這樣一個變式練習(xí)：

〔1〕在分?jǐn)?shù)的〔

〕中填上自己的學(xué)號，判斷它是什么分?jǐn)?shù)。在數(shù)軸上，大略在什么位置？大略在什么位置？你發(fā)現(xiàn)了什么？

〔2〕如果是假分?jǐn)?shù)，〔

〕中最大填幾？如果它是真分?jǐn)?shù)，〔

〕中最小填幾？有多少個？

〔3〕如果是假分?jǐn)?shù)，〔

〕中最大填幾？如果它是真分?jǐn)?shù)，〔

〕中最小填幾？

這個練習(xí)分了三個層次：第一個層次通過填寫學(xué)號，理解什么是真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，并且結(jié)合數(shù)軸理解它們的概念和內(nèi)涵;第二個層次靈活判斷，理解分子與分母之間的大小關(guān)系;最后一個層次進(jìn)行抽象，理解真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征。

4.活動：在體驗中理解。

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，在數(shù)學(xué)活動中可以充沛暴露學(xué)生在理解上的缺乏。在活動中交流體驗，可以促進(jìn)學(xué)生更深入地理解知識。

教學(xué)?圓的認(rèn)識》，探究圓的特征時可以設(shè)計這樣一個活動：圓還有什么秘密？讓學(xué)生折一折、量一量、比一比、畫一畫、想一想，用不同的辦法去發(fā)現(xiàn)圓的秘密，并在小組內(nèi)發(fā)展研究，全班分享各自的想法，通過交流帶給學(xué)生“我知道得更多〞的感受。使學(xué)生在交流、交鋒、質(zhì)疑、補充、總結(jié)、提煉等過程中，豐盛了對圓的認(rèn)識，加深了對圓本質(zhì)特征的理解。

5.應(yīng)用：在解釋中理解。

數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應(yīng)用，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在實際生活中解釋、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，以加強他們對數(shù)學(xué)的理解。

教學(xué)蘇教版六上?認(rèn)識比》時，可以設(shè)疑：你們知道芭蕾舞演員跳舞的時候為什么要踮起腳尖嗎？從而引出黃金比，再聯(lián)系生活實際，解釋穿高跟鞋跟跳芭蕾舞的道理是一樣的。然后問學(xué)生：根據(jù)黃金比，你認(rèn)為老師站在講臺上哪個位置最適宜？這樣的拓展，不僅有助