福建省龍巖市六校高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理)試題含答案

2017-2018年福建省龍巖市六校高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．復(fù)數(shù)=（）A.B.C.

D.【答案】【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算可得.詳解：.故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ).2．設(shè)

是可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)

時(shí)，

則=（）A.2B.C.-2D.【答案】【解析】分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求出．詳解：當(dāng)h→時(shí)，，可得則﹣，故選：．點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ).3有9的倍都是3的倍，某奇數(shù)是9的數(shù)，故某奇數(shù)是3的倍數(shù)”上述推理（）A.大提錯(cuò)B.小提錯(cuò)C.論錯(cuò)D.正確【答案】【解析】分析：要分析一個(gè)演繹推理是否正確，主要觀察所給的大前提，小前提和結(jié)論是否都確，根據(jù)三個(gè)方面都正確，得到結(jié)論．詳解：∵所有9的倍都是3的數(shù)，某奇數(shù)是9的倍數(shù)，故某奇數(shù)是3的數(shù)大前提：所有9的倍都是3的數(shù)，第1頁共19頁

小前提：某奇數(shù)是9的數(shù)，結(jié)論：故某奇數(shù)是3的數(shù)，∴這個(gè)推理是正確的，故選：．點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)演繹推理的定義問題，在解決問題的過程中，需要先分清大前提、小提和結(jié)論分別是什么，之后結(jié)合定義以及對(duì)應(yīng)的結(jié)論的正確性得出結(jié).4．某天某校的校園衛(wèi)生清掃輪高(5)班，該班勞動(dòng)委員把班級(jí)同學(xué)分為5個(gè)勞小組，該校有A、C、D四區(qū)域要清掃，其中A、、個(gè)區(qū)域各安排一個(gè)小組，D區(qū)安排2個(gè)小組，則不同的排方法共有（）A.240種B.150種C.種D.60種【答案】【解析】分析：根據(jù)題意，分2步析：①，先在個(gè)動(dòng)小組中任選2個(gè)，安排到D區(qū)，②，將剩下的3個(gè)組全排列，安排到A、、三個(gè)域，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．詳解：根據(jù)題意，分2步分析：①，先在5個(gè)動(dòng)小組中任選2個(gè)安排到D區(qū)，有=10種選法，②，將剩下的3個(gè)小全排列，安排到、、個(gè)區(qū)域，有3=6種況，則有10×6=60種同的安排方，故選：．點(diǎn)睛：本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意優(yōu)先滿足受到限制的元素，屬于基礎(chǔ).5函

求：

與

中至少有一個(gè)不小于證證明這個(gè)命題時(shí)，下列假設(shè)正確的()A.假C.假

與

且;B.假且;中至多有一個(gè)不小于;D.設(shè)

與

中至少有一個(gè)不大于.【答案】【解析】分析：反設(shè)是一種對(duì)立性假設(shè)，即想證明一個(gè)命題成立時(shí)，可以證明其否定不成立，此得出此命題是成立的．詳解：由于反證法是命題的否定的一個(gè)運(yùn)用，故用反證法證明命題時(shí)，可以設(shè)其否定成立進(jìn)行證．假設(shè)

且，故選：．點(diǎn)睛：本題主要考查用命題的否定，用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，把要證的結(jié)論進(jìn)行定，得到要證的結(jié)論的反面，是解題的突破口，屬于基礎(chǔ)題．6．由拋物線

與直線

所圍成的圖形的面積是（A.4B.C.5D.第2頁共19頁

【答案】【解析】分析：先把直線方程和拋物線方程聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而用定積分的知識(shí)求得圖中影部分的面積．詳解：

解得x=1，y=﹣1或x=4，，交點(diǎn)坐標(biāo)為，﹣1）∴圖中陰影部分的面積是

.故選：．點(diǎn)睛：本題主要利用定積分計(jì)算曲邊圖象的面積，屬于基礎(chǔ)題．7知數(shù)

的圖象如圖所示中

是函數(shù)

的導(dǎo)函數(shù)函

的大致圖象可以(

)A.B.C.D.第3頁共19頁

【答案】【解析】分析：討論x＜﹣，＜＜0，＜＜x＞1時(shí)′x）＜0，單調(diào)性，即可得解．詳解：由函數(shù)的圖象得到：

的正負(fù)，從而得函數(shù)

的當(dāng)x＜﹣時(shí)，′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；當(dāng)﹣1＜x＜時(shí)，f′（x）＞0f（x）是增函數(shù)；當(dāng)0＜＜時(shí)，′（x）＞0，（）是增函數(shù)；當(dāng)x＞時(shí)，′（x）＜0，（）是減函數(shù)．由此得到函數(shù)（）大致圖象可以是A．故選：．點(diǎn)睛：本題利用導(dǎo)函數(shù)的圖象還原函數(shù)的圖象，即根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于基題．8．關(guān)于函數(shù),有列說法：①它的極大值點(diǎn)-，小值點(diǎn)；②它的單調(diào)遞減區(qū)間[-2,2]；③方程

有且僅有3個(gè)根時(shí)，的值圍是18，54.其中正確的說法有（）A.0B.C.D.【答案】【解析】分析：求出函數(shù)f（）導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究fx）的單調(diào)性和極值，再結(jié)合圖象判斷命題是否正確即可．詳解：函數(shù)

，∴，令，得；當(dāng)x＜﹣或x＞3時(shí)f′（）0，f）單調(diào)遞增；﹣＜＜時(shí)，′（x）＜0，（）單調(diào)遞減；∴（）極大值點(diǎn)為3，極值點(diǎn)為3∴①正確；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[﹣，3]∴②錯(cuò)誤；f（x）的極大值是，極小值是畫出f（）的圖象如圖所示，

，第4頁共19頁

∴方程f（）有且有3個(gè)根時(shí)，a的值范圍是（，正．綜上，其中正確的說法是①③，共個(gè)．故選：．點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值，也是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問題，（）用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（）離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，還需考慮函數(shù)圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（）化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求.9已定義在上函數(shù)其函數(shù)為若,則等式A.(-∞，-1)B.∞，C.（0,+∞）D.（1,+∞【答案】

的解集（）【解析】分析：設(shè)

，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得y=g（）在定義域上單調(diào)遞減，從而得到（）g（此求出f（）＜e（其中為自對(duì)數(shù)的底數(shù)）的集．詳解：設(shè)則∵∴∵∵∴∴故選：．

，，，在定義域上單調(diào)遞減，，，，（其中e為然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為，+第5頁共19頁

點(diǎn)睛：本題主要考查構(gòu)造函數(shù)，常用的有：2xf()+′()，構(gòu)造xfx；，構(gòu)造;

，構(gòu)造(；，構(gòu)造

；，構(gòu)造

.等等10．有一個(gè)偶數(shù)組成的數(shù)陣排列下：248142232…610162434……12182636………202838…………3040……………42…………………則第20行第4列的為（）A.546B.540C.592D.598【答案】【解析】分析：觀察數(shù)字的分布情況，可知從右上角到左下角的一列數(shù)成公差為2的差數(shù)列，想求第20行第4列的，只需求得行一個(gè)數(shù)再減去詳解：

即可，進(jìn)而歸納每一行第一個(gè)數(shù)的規(guī)律即可得出結(jié)論．順著圖中直線的方向，從上到下依次成公差為2等差數(shù)列，要想求第20行4列數(shù)，只求得23行第一個(gè)數(shù)再減去

即可.觀察可知第1行第1個(gè)為：第2行1個(gè)為：；

；第6頁共19頁

第3行1個(gè)為：……

.第23行第1個(gè)數(shù)為：

.所以第20行4列數(shù)為

.故選A.點(diǎn)睛：此題考查歸納推理，解題的關(guān)鍵是通過觀察得出數(shù)字的排列規(guī)律，是中檔題．11．只小青蛙位于數(shù)軸上的原處，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳動(dòng)一個(gè)單位或者兩單位距離的能力，且每次跳動(dòng)至少一個(gè)單若小青蛙經(jīng)過次跳動(dòng)后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)2位的點(diǎn)處，則小青蛙不同的跳動(dòng)方式共()種A.105B.95C.85D.75【答案】【解析】分析：根據(jù)題意，分4種況討論：①，小青蛙向左跳一次2個(gè)位，向右跳4次每1個(gè)位，②，小青蛙向左跳2次每個(gè)單，向右跳，每次2個(gè)位，③，小青蛙向左跳2次，一次2個(gè)單位，一次1個(gè)單位，向右跳3次2次個(gè)單1次1個(gè)單位，④，小青蛙向左跳次，次單位，向右跳3次1次2個(gè)位2次個(gè)單位，由加法原理計(jì)算可得答案．詳解：根據(jù)題意，分4種情況討：①，小青蛙向左跳一次2個(gè)單，向右跳4次，每次單位，有C=5種況，②，小青蛙向左跳2次每次2單位，向右跳3次，次個(gè)單，有C=10種情況，③，小青蛙向左跳2次一次2單位，一次1單位，向右跳3次，2次2個(gè)位，1次1個(gè)位，有C2A=60種況，④，小青蛙向左跳2次每次1單位，向右跳3次，次2個(gè)位2次1個(gè)位，有C

C種況，則一共有5+10+60+30=105種況，即有105不同的跳動(dòng)方式．故選：．點(diǎn)睛：本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意分析青蛙左右跳動(dòng)的次數(shù)與單位．12．已知

是函數(shù)

與

圖像上兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則

的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】【解析】分析：把函數(shù)

與

圖象上兩個(gè)不同的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程a=xlnx的兩個(gè)解．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的調(diào)性可x+x的取值范圍由導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)（的調(diào)性即求得（+x）的取值范圍．詳解：令∴，是方程令，

可得，的兩個(gè)解．，第7頁共19頁

∴當(dāng)

時(shí)，，

時(shí)，，∴∴

在（，）上調(diào)遞減，在（，∞上單調(diào)遞增，的最小值為．又當(dāng)

時(shí)，h（）＜0，當(dāng)

時(shí)，h（）＞0，作出函數(shù)h（）的象如圖：不妨設(shè)x＜，由圖可知，＜＜＜＜．∴由，

，當(dāng)x∈（，），

，∴（）

上為增函數(shù)，又，（）=0，∴（+x）的取值范圍為．故選：．點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值，也是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問題，（）用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；第8頁共19頁

（）離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，還需考慮函數(shù)圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（）化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求.二、填空題13．_______.【答案】.【解析】分析：詳解：由，得

表示單元圓的面積的，而得解..表示圓心為0,0)，半徑為1的半.即為該圓位于第二象限部分的面積，即個(gè).所以.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)在求解面積中的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用圖形求解的函數(shù)解析式，在運(yùn)用積分解．定積分的計(jì)算一般有三個(gè)方法：①利用微積分基本定理求原函數(shù)；②利用定積分的幾何意義，利用面積求定積分；③利用奇偶性對(duì)稱求定積分，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的定積分值為0.14．甲、乙、丙三位同學(xué)被問到否去過，，三個(gè)城市時(shí)，甲說我沒去過城；乙說我去過的城市比甲多，但沒去過城；說：我們?nèi)巳ミ^同一城.由此判斷甲去過的城市為_________【答案】A.【解析】分析：根據(jù)乙丙和甲的關(guān)系逐步推斷即可．詳解：由甲說：我沒去過C城，則甲可能去過A城市市，但乙說：我去過的城市比甲多，但沒去過B城市，則甲只能是去過A，中任一個(gè)，再由丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市，則由此可判斷甲去過的城市為A因?yàn)橐覜]有去過故甲去過的城市為A，故答案為：點(diǎn)睛：本題主要考查簡單的合情推理，根據(jù)乙，丙和甲的關(guān)系逐步推斷是解決本題的關(guān)鍵．第9頁共19頁

15．若三角形的周長為、切半徑為、積為，有

.根據(jù)類比思想，若四面體的表面積為、內(nèi)切球半徑為、積為，有=________.【答案】.【解析】分析：根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線類直或平面由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面的體積即可．詳解：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為，則球心O四個(gè)面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三錐體積的和．故答案為：．點(diǎn)睛：類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)類比遷移到另類數(shù)學(xué)對(duì)象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質(zhì)去推測另類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（或猜想16于線（中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)意一點(diǎn)處的切線存在在曲線上一點(diǎn)處的切線，得∥，實(shí)數(shù)的值范圍____________.【答案】.【解析】分析：分別求出兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)的值域，進(jìn)而將已知轉(zhuǎn)化為兩個(gè)值域存在包含關(guān)系進(jìn)而可得答案．詳解：∵，∵,故∵,∴，g′′（）（lnx+1當(dāng)x∈（，），′（）0，′x）為減函數(shù)；第10頁共19頁

當(dāng)x∈（，∞時(shí)g′′（）＞，′（x為增函數(shù)；故當(dāng)x=時(shí)g′（）最小值﹣，即g（）∈[a，0若對(duì)于曲線（中e為自對(duì)數(shù)的底數(shù)）上任意一點(diǎn)處的切線l，總存在在曲線

上一點(diǎn)處的切線l，使得l∥，則﹣，）[a﹣，0）即a≤1．解得：∈，故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查兩直線平行的條件：斜率相等，考查任意存性問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和值域的包含關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題17）知復(fù)數(shù)

（）在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)第二象限，求取值范圍；（Ⅱ）已知

是純虛數(shù)，且

，求復(fù)數(shù)【答案）

或）.【解析】分析）題意得（Ⅱ）設(shè)，詳解）題意得

解不等式組即可得解；即第11頁共19頁

或.（Ⅱ）依題意設(shè)

，代入條件可得

，從而得解則

，，，，點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念和共軛及模的求解，屬于基礎(chǔ).18．某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)明，該商品每日的銷售量單位：千克)與銷售價(jià)格(單位：元千克滿足關(guān)系式

，其中，為常．已知售價(jià)格為7千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．（Ⅰ）求的；（Ⅱ）若該商品的成本為5元千克，試確定銷售價(jià)格的，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．【答案））當(dāng)售價(jià)格為6元千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最.【解析】分析）

代入，

即可得解；（Ⅱ）由（），該商品每日的銷售量，進(jìn)而得利潤，求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求最值即.詳解）為

時(shí)，，所以，.（Ⅱ）由（），該商品每日的銷售量所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤

，第12頁共19頁

于是，當(dāng)變化時(shí)，

，

的變化情況如下表：（5,6）＋

60極大值

(6,8)－由上表可得，＝是函數(shù)

在區(qū)間5,8)內(nèi)極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．所以，當(dāng)6時(shí)，函數(shù)

取得最大值，且最大值等于42.所以，當(dāng)銷售價(jià)格為6元千時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，著重考查分析問題、解決問題的能力。對(duì)于函數(shù)的應(yīng)用問題需要注意的是：1、題干較長，理解題意、把實(shí)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題有一定難度；2、有時(shí)候不注意函數(shù)的定義域以及自變量取值是否為整19．已知函數(shù)，

為

的導(dǎo)數(shù)（）曲線

在點(diǎn)

處的切線方程為，值；（）知【答案】(1)

，求函數(shù).

在區(qū)間

上的最大值與最小值.(2)=.=.【解析】分析），得，由切線斜率得，而得解（）求導(dǎo)得，而得，分析導(dǎo)數(shù)正負(fù)得函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得，第13頁共19頁

極大值極大值比較

和，而得最小值詳解），，.曲線

在點(diǎn)

處的切線方程為，（）從而

從而有，得.時(shí)，，，得，==當(dāng)

時(shí)，，

為增函數(shù)；當(dāng)

時(shí)，，

為減函數(shù).所以=

==.又=，=，，=點(diǎn)睛：在解決類似的問題時(shí)，首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別．求解函數(shù)的最值時(shí)，要求函數(shù)＝(在[b內(nèi)所有使f(x)＝的點(diǎn)再計(jì)算函數(shù)y＝f(x在間內(nèi)所有使′x＝的和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得．20．已知函數(shù)（）、、

，設(shè)、

為的表達(dá)式;

的導(dǎo)數(shù)，.第14頁共19頁

00（）想

的表達(dá)式，并證明你的結(jié).【答案】(1)=,,,.(2)=.明見解.【解析】分析）用導(dǎo)數(shù)的除法除法法依次求導(dǎo)即可；（）想=，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.詳解）=；,,.(2)猜想=.證明如下：當(dāng)

時(shí)，由1）知結(jié)論正確；假設(shè)則當(dāng)

（時(shí)，=

）時(shí)，結(jié)論正確，即=，所以當(dāng)由，

時(shí)，結(jié)論也正確.得，，=

均成立點(diǎn)睛：利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)應(yīng)注意的問題(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式其關(guān)點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律兩邊各有多少項(xiàng)值n是多；(2)由＝k到＝＋1，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n＝時(shí)式子，即充分利用假設(shè)．證題時(shí)要根據(jù)要求正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．第15頁共19頁

21．已知函數(shù)

．（Ⅰ）若

的極小值為，的；（Ⅱ）若對(duì)任意,都有

恒成立，求實(shí)數(shù)的值范圍；【答案）a=e）

.【解析】分析）導(dǎo)

，當(dāng)

時(shí)顯然不成立，當(dāng)

時(shí)，由

得，析單調(diào)性，從而可得解；（Ⅱ令分析單調(diào)性即可得解詳解）

，令得進(jìn)討論

和結(jié)合①當(dāng)②當(dāng)

時(shí)，時(shí)，由

恒成立，得

無極值；，并且當(dāng)所以，當(dāng)依題意，又，

時(shí)，時(shí)，，；

；當(dāng)取得極小值；，

時(shí)，.綜上，.（Ⅱ）令

，則

,

.令

，則當(dāng)

時(shí)，

，

單調(diào)遞增，

.①當(dāng)時(shí)所以，當(dāng)

時(shí)，

，

在對(duì)任意

上單調(diào)遞增，恒成立；

；②當(dāng)

時(shí)，

，

，第16頁共19頁

所以，存在扣1分

，使（此處用“當(dāng)

時(shí)，在，”明，并且，當(dāng)所以，當(dāng)

時(shí)，時(shí)，

，

在，

上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，綜上，的值范圍為

.

對(duì)任意

不恒成立；點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端含有