第二節(jié)中心極限定理

(1).具有有限方差的一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的和經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后是以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為極限的，這就是獨(dú)立同分布的中心極限定理或稱為

林德貝爾格---勒維中心極限定理。當(dāng)同分布為二項(xiàng)分布時(shí)就得出該定理的特例，即為：

棣莫弗---拉普拉斯定理，它也是二項(xiàng)分布的正態(tài)近似。 這僅僅是閱歷之談呢，還是確有理論依據(jù)呢？對于這樣一個(gè)重要問題，在長達(dá)兩個(gè)世紀(jì)內(nèi)始終成為概率論探討的中心問題。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過卓越工作建立了一系列定理，解決了這一問題，并指出:(2).對“由大量微小的獨(dú)立的隨機(jī)因素”（不要求同分布）引起并累積成的變量，當(dāng)隨機(jī)因素個(gè)數(shù)趨于無窮時(shí)以正態(tài)分布為極限。這就是李雅普諾夫中心極限定理。比如：一臺(tái)機(jī)床已經(jīng)調(diào)試良好，操作正常。但由于機(jī)床的微小振動(dòng)、工具的微小變形、原材料質(zhì)量上的微小差異、工作操作上的微小偏差等等數(shù)不清的隨機(jī)因素，它們每一個(gè)因素在總的影響中所起的作用都是微小的。而綜合起來在產(chǎn)品質(zhì)量上就形成確定的誤差，這誤差近似聽從正態(tài)分布。在確定條件下，大量的隨機(jī)變量之和的概率分布以正態(tài)分布為極限的定理稱為中心極限定理。在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理。故：探討?yīng)毩㈦S機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題。當(dāng)n無限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么？在什么條件下極限分布會(huì)是正態(tài)的呢？探討的問題：在實(shí)際問題中，常常須要考慮很多隨機(jī)因素所產(chǎn)生的總影響：例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著很多隨機(jī)因素的影響：中心極限定理的客觀背景

如，瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.而所要探討的是：這些隨機(jī)因素的總影響。一.獨(dú)立同分布中心極限定理定理1.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且服從同一分布，其數(shù)學(xué)期望與方差:（林德貝爾格---勒維(Levy－Lindberg)定理）則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量：的分布函數(shù)對于任意滿足:證：(略)它要用到特征函數(shù)和傅利葉變換等等。注:▲定理1表明，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似聽從正態(tài)分布。雖然在一般狀況下，很難求出X1+X2+…+Xn的分布的準(zhǔn)確形式，但當(dāng)n很大時(shí)，可以求出其近似分布。定理1表達(dá)了正態(tài)分布在概率論中的特殊地位:盡管分布是任意的，但只要n充分大后，其樣本平均值的分布卻是近似服從正態(tài)分布的：▲或這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)二.李雅普諾夫定理定理2.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，它們具有數(shù)學(xué)期望和方差為：(Liapunov中心極限定理)記若存在正數(shù)使得當(dāng)則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量：的分布函數(shù)對于任意滿足:證明：（略）注:▲定理2表明，當(dāng)n充分大時(shí)，隨機(jī)變量：近似聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。即，近似服從正態(tài)分布▲由此，定理2再次表達(dá)了正態(tài)分布在概率論中的特殊地位：無論各個(gè)隨機(jī)變量服從什么分布，只要滿足定理2的條件，那么它們的和當(dāng)n充分大時(shí)就近似聽從正態(tài)分布。三.棣莫弗---拉普拉斯定理定理3.（DeMoivere—laplace中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，則對任意恒有:證明:服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布若隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從同一(0—1)分布，則見教材P125例6的結(jié)論由此是n個(gè)相互獨(dú)立，服從同一(0--1)分布的之和。即：其中的分布律為：由定理1得：注:定理3表明，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n充分大時(shí)可以用正態(tài)分布來計(jì)算二項(xiàng)分布的概率。在第二章中已介紹當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)分布以泊松分布為極限分布；而在本章中二項(xiàng)分布又以正態(tài)分布為極限分布。這兩者的區(qū)別是：▲▲在泊松定理中要求在中心極限定理中要求所以在實(shí)際計(jì)算中，假如n很大但np或nq不大(即p很小或q=1-p很小)，那么應(yīng)當(dāng)用泊松定理去近似；假如n，np或nq都較大，那么應(yīng)當(dāng)用中心極限定理去近似。中心極限定理的直觀圖示例:20個(gè)聽從（0—1）分布的隨機(jī)變量的和的分布X1~f(x)X1+X2~g(x)X1+X2+X3~h(x)例:幾個(gè)在(0,1)上聽從勻整分布的隨機(jī)變量的和的分布。0123xfgh▲例1.

抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，假如發(fā)覺次品多于10個(gè)則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受。解:設(shè)應(yīng)檢查產(chǎn)品個(gè)數(shù)為n，其中次品數(shù)為X，則現(xiàn)要求n，使得：求：應(yīng)當(dāng)檢查多少個(gè)產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批次品不能接受的概率達(dá)到0.9?由定理3近似聽從N(0,1)由3σ準(zhǔn)則，為1要只要：即要：此時(shí)由于：必定有：只要：所以要：因?yàn)榧床楸淼?故結(jié)論：應(yīng)檢查146個(gè)產(chǎn)品時(shí)，可使這批產(chǎn)品不被接受的概率為0.9例2.計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，把每個(gè)加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來計(jì)算。設(shè)全部的取數(shù)誤差是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且都在區(qū)間[--0.5,0.5]上聽從勻整分布。求:現(xiàn)有1200個(gè)數(shù)相加，誤差總和的確定值小于10的概率。(2)應(yīng)有多少個(gè)數(shù)相加時(shí)可使誤差總和的確定值小于10的概率大于0.9解:設(shè)為各個(gè)加數(shù)的取數(shù)誤差則這是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其所有加數(shù)的誤差總和為：從而：(1).在服從均勻分布這里:(2).由定理1近似聽從N(0,1)只要:查表得:解得:結(jié)論:441個(gè)數(shù)相加時(shí)可使誤差總和的絕對值小于10的概率大于0.9所以要例3.在人壽保險(xiǎn)公司里，有16000名同一年齡的人參與人壽保險(xiǎn)。一年里這些人的死亡率為0.1%；參與保險(xiǎn)的人在一年的第一天交付保險(xiǎn)費(fèi)3元，死亡時(shí)家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元。求:(1).保險(xiǎn)公司因開展這項(xiàng)業(yè)務(wù)獲利不少于10000元的概率(2).保險(xiǎn)公司因開展這項(xiàng)業(yè)務(wù)虧本的概率解:由題意，死亡人數(shù)這里，保險(xiǎn)公司一年內(nèi)這項(xiàng)保險(xiǎn)收入是：獲利不少于10000元，即賠償不大于38000(元)，即一年內(nèi)至多有（人）死亡即該公司獲利不少于10000(元)的概率為0.7734.(1).所以