第二講-數(shù)學問題研究

其次章數(shù)學問題探討問題1：“八字眉”問題除了“8點又分”，還有沒有其它時刻時針與分針也處于對稱位置？假如有，共有幾次？它們分別在哪一時刻？“八字眉”問題事實上是求鐘表上時針與分針的相對位置是哪一時刻的問題，諸如此類的問題還有很多，比如：在哪一時刻時針與分針重合、垂直、成30度角等等。牛頓問題典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。牧場上有一片青草，可供27頭牛吃6周，或者供23頭牛吃9周。假如草每周生長速度相同，那么這片青草可供21頭牛吃幾周?問題3：牛吃草問題

方法一每天的長草量：(23×9－27×6)÷(9－6)＝15(單位量)牧場原有草量：(27－15)×6＝72(單位量)或：(23－15)×9＝72(單位量)21頭牛去吃，可吃天數(shù)：72÷(21－15)＝12

牧場原有草量÷21頭牛每天實際消耗原有草量＝可吃天數(shù)解決牛吃草問題常用到四個基本公式，分別是︰草的生長速度＝（對應的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)－相應的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)－吃的較少天數(shù)）；原有草量＝牛頭數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長速度×吃的天數(shù)；吃的天數(shù)＝原有草量÷（牛頭數(shù)－草的生長速度）；牛頭數(shù)＝原有草量÷吃的天數(shù)＋草的生長速度。

方法二設而不求法

設這片青草可供21頭牛吃x周，每頭牛每周吃草量為a，每周新長出的草量為b，牧場原有的草量為m。練習：一只船發(fā)覺漏水時，已經(jīng)進了一些水，現(xiàn)在水勻速地進入船內(nèi)。假如10人舀水，3小時可以舀完；5人舀水，8小時可以舀完。假如要求2小時舀完，要支配多少人舀水?解：設1人1小時的舀水量為“1”。每小時進入船內(nèi)的水量為：(5×8-10×3)÷(8-3)=(40-30)÷5=10÷5=2(份)船內(nèi)原有的水量為:10×3-2×3=30-6=24(份)2小時船內(nèi)的總水量為:24+2×2=28(份)2小時舀完水須要的人數(shù)是:28÷2=14(人)某火車站的檢票口，在檢票起先前已有人排隊，檢票起先后每分鐘有10人前來檢票，一個檢票口每分鐘能讓25人檢票進站。假如只開一個檢票口，檢票起先8分鐘后就沒有人排隊了；假如開2個檢票口，那么檢票起先后多少分鐘就沒有人排隊了？解：8分鐘時，檢票口共檢票:25×8=200(人)8分鐘時，車站新進來的檢票人數(shù)為:10×8=80(人)車站原來等待檢票的人數(shù)為:200-80=120(人)同時開兩個檢票口須要的時間是:120÷(25×2-10)=120÷40=3(分鐘)現(xiàn)在父母年齡的和是子女年齡和的6倍；2年前，父母年齡的和是子女年齡和的10倍；6年后，父母年齡的和是子女年齡和的3倍，問共有子女幾人？

解：設現(xiàn)在父母年齡的和為x歲，子女年齡和為y歲，子女共有z人,由題意得：一水庫存水量確定，河水勻整入庫。5臺抽水機連續(xù)20天可抽干；6臺同樣的抽水機連續(xù)15天可抽干。若要求6天抽干，須要多少臺同樣的抽水機？解：5臺抽20天相當于1臺抽多少天？5×20=1006臺抽15天相當于1臺抽多少天？6×15=90（20-15）天流入水庫的水相當于1臺抽多少天？100-90=101天流入水庫的水相當于1臺抽多少天？10÷5=2水庫原有的水相當于1臺抽多少天？100-2×20=60或90-2×15=606天流入水庫的水相當于1臺抽多少天？2×6=12 6天抽完須要多少臺抽水機？（60+12）÷6=12

問題3：雞兔同籠問題大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個好玩的問題。折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當足面積法圖像法折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當足面積法圖像法列表推算假設若籠中全是雞或兔，足將分別是70只或140只，可見雞多兔少。設雞34只、兔1只，則有72足；若雞33只、兔2只，則有74足；這樣雞逐一削減，兔逐一增加，最終必能推算出雞23只，兔12只。計算推算假設若籠中全是兔子，相當于每只雞增加2條腿，雞的數(shù)量是(4×35-94)÷(4-2)=23(只)

假設若籠中全是雞，相當于每只兔子削減2條腿，兔子的數(shù)量是(94-2×35)÷(4-2)=12(只)折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當足面積法圖像法“金雞獨立”——波利亞

籠中雞獨足立地，兔雙足站立，則觸地足是原足數(shù)的一半。

兔子的數(shù)量是94÷2-35=12(只)

雞的數(shù)量是35-12=23(只)折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當足面積法圖像法去足法——周沛耕假象雞兔都受過特地訓練，具有特異功能，聽到哨聲，雞就展翅翱翔，兔子前腿離地站立起來。兔子的數(shù)量是(94-35×2)÷2=12(只)

雞的數(shù)量是35-12=23(只)折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當足面積法圖像法假設籠中每個小動物都再長出一個頭來

兔子的數(shù)量是(94-35×2)÷2=12(只)

雞的數(shù)量是35-12=23(只)假設兔子再長出一個頭來，然后把它劈開，變成“一頭兩腿”的兔子——單墫

兔子的數(shù)量是94÷2-35=12(只)

雞的數(shù)量是35-12=23(只)折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當足面積法圖像法把雞的兩個翅膀當成雙腳

——張景中

雞的數(shù)量是35×4-94÷2

=23(只)

兔子的數(shù)量是35-23=12

(只)折半法去足法增頭法推算法翅膀當足

公式二元一次方程組公式法一元一次方程面積法圖像法折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當足面積法圖像法一元一次方程

設雞的數(shù)量為x，則兔子的數(shù)量為35-x

2x+4(35一x)=94折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當足面積法圖像法二元一次方程

設雞的數(shù)量為x，兔子的數(shù)量為y

折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當足面積法圖像法圖像法

(1)先畫頭和身；

(2)再按雞生足；

(3)補足差數(shù)；

(4)雞兔見分曉，兔12只，雞23只。折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當足面積法圖像法長方形的長表雞（兔）的數(shù)量，寬表示每只雞（兔）腿的數(shù)量，面積則分別表示雞（兔）腿的總數(shù)。雞？兔？4條2條94只化歸思想枚舉思想數(shù)形結合思想假設思想方程思想建模思想

“雞兔同籠”中的數(shù)學思想方法100名師生綠化校內(nèi)，老師每人栽3棵樹，學生每兩人栽1棵樹，總共栽樹100棵，求老師和學生各栽樹多少棵？某小學實行一次數(shù)學競賽，共15道題，每做對一題得8分，每做錯一題倒扣4分，小明共得72分，他做對了多少道題？小明運輸25個花瓶,規(guī)定運輸一個運費4元,損傷一個,不但不得運費,還得倒賠10元。假如小明共獲運費44元,那么在運輸途中他損傷了幾只花瓶?有2角、5角和1元的人民幣20張，共計12元，三種票子各多少張？

“雞兔同籠”問題變形問題4：七橋問題在18世紀的哥尼斯堡（當時屬德國東普魯士）的省會，1944年后變成前蘇聯(lián)的加里寧格勒，有一條普雷格爾（Pregel）河橫穿哥尼斯堡城，河里有兩個小島，島與島之間有7座橋．當?shù)鼐用駸嶂杂谝粋€流傳很廣的難題：一個人能否設計一次閑逛，從兩岸或兩個小島的某處動身，經(jīng)過每座橋一次且僅一次，再回到動身點。一筆畫問題小島A小島B1736年，年僅29歲的瑞士數(shù)學家歐拉解決了哥尼斯堡七橋問題，開創(chuàng)了數(shù)學探討的新領域——圖論。1736年被數(shù)學界公認為“圖論元年”。歐拉創(chuàng)立了一門新的幾何學，即拓撲學——數(shù)學的一個特別奇妙的分支。不抬筆，不重復形不似神似基本學問偶（奇）頂點：從頂點動身的邊的條數(shù)為偶（奇）數(shù)的頂點。這里的邊可以是曲線。歐拉圖：不重復地走遍每一邊再返回原點，構成一條歐拉回路，有歐拉回路的圖稱為歐拉圖。一筆畫：下筆后，筆不理紙，一次可以重復地走遍每一邊。連通圖：若圖中隨意兩點都有連接它們的邊存在，則這個圖稱為連通圖，否則稱為不連通圖。推斷下列圖形能否一筆畫圖1圖5圖4圖3圖2不連通的圖形不能一筆畫

連通的圖形有可能一筆畫不連通的圖形不能一筆畫

連通的圖形有可能一筆畫全都是偶點的連通圖可以一筆畫

奇點個數(shù)超過兩個的連通圖形不能一筆畫畫時以任一點為起點，最終仍回到該點畫時以一個奇點為起點，另一個奇點為終點有兩個奇點的連通圖可以一筆畫

歐拉解決“七橋問題”的方法在數(shù)學上叫做數(shù)學模型方法哥尼斯堡七橋問題反映七橋問題的一筆畫問題無解一次不重復地通過七橋不行能與七橋問題相應的圖不行能一筆畫出數(shù)學抽象一筆畫的特征分析返回原型現(xiàn)實原型數(shù)學模型現(xiàn)實原型的解數(shù)學模型的解數(shù)學抽象數(shù)學處理返回原型推斷下列圖形能否一筆畫a圖3圖2圖6圖1圖5下圖是某展館的平面圖，那么一個參觀者能否不重復地穿過每一扇門呢?

“一筆畫”問題變形下圖是某地區(qū)街道的平面圖，圖上的數(shù)字表示那條街道的長度早晨，清潔隊用一輛灑水車從A動身，要灑遍全部的街道最終再回到A，問怎樣設計灑水路途最合理?全程要走多少千米?(單位:千米)如何把1、2、3、4、5、6、7、8、9這9個不重復的數(shù)字填入下圖，使每一橫行、豎列、對角線上的三個數(shù)字的和都相等？問題5：三階幻方如何把1、2、3、4、5、6、7、8、9這9個不重復的數(shù)字填入下圖，使每一橫行、豎列、對角線上的三個數(shù)字的和都相等？492357816“四二為肩，八六為足，左三右七，五居中心”。問題5：三階幻方九宮圖三階幻方據(jù)傳聞最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”，我國南宋時期數(shù)學家楊輝將它命名為“縱橫圖”，又名“九宮圖”，并在《續(xù)古摘奇算法》中，總結出了洛書幻方構造的方法.國外最早的幻方，是印度加泰蘇立神廟碑文上的四階縱橫圖。歐洲人直到14世紀才起先探討幻方，比我國遲了將近2000年?；梅匠霈F(xiàn)之后，曾使不少人為之入迷，古今中外很多大數(shù)學家、高校者如歐拉、富蘭克林等對幻方都很感愛好，并且逐步探討出了不少獨特的構造方法.幻方和=中間數(shù)×3；與中間數(shù)對應的上下、左右、對角兩個數(shù)字的和=中間數(shù)×2；角上的數(shù)字=對角相鄰的兩數(shù)字和的一半；三階幻方規(guī)律492357816三階幻方基本解法計算法楊輝法142753869九子排列942753861上下對易942357861左右相更492357816四維挺出492357816三階幻方練習6，7，8，9，10，11，12，13，143，6，9，12，15，18，21，24，27圖中的六個圓圈內(nèi)分別填寫上1～6這六個數(shù)字，每個數(shù)字用且僅用一次，使得三角形每條邊上的三個數(shù)字之和都相等。三角形問題6：填圖問題156432圖中的六個圓圈內(nèi)分別填寫上1～6這六個數(shù)字，每個數(shù)字用且僅用一次，使得三角形每條邊上的三個數(shù)字之和都相等。三角形問題6：填圖問題

三角形每條邊上的三個數(shù)字之和可以有多少種不同的取值？對應每一種取值的填法分別是什么樣的？146253235164423165每邊之和10每邊之和11每邊之和12解決問題的方法：利用求和找到每條邊上三個數(shù)之和與三個頂點上數(shù)字之和的關系；發(fā)覺三個頂點上數(shù)字之和應滿足的條件；依據(jù)三個頂點上數(shù)字之和確定每條邊上的三個數(shù)字之和。四邊形圖中的八個圓圈內(nèi)分別填寫上1～8這八個數(shù)字，每個數(shù)字用且僅用一次，使得四邊形每條邊上的三個數(shù)字之和都相等。四邊形圖中的八個圓圈內(nèi)分別填寫上1～8這八個數(shù)字，每個數(shù)字用且僅用一次，使得四邊形每條邊上的三個數(shù)字之和都相等。18354726

四邊形每條邊上的三個數(shù)字之和可以有多少種不同的取值？對應每一種取值的填法分別是什么樣的？每邊之和13每邊之和14每邊之和15184723653746128534852167因數(shù):素數(shù):完備數(shù)：完備數(shù)n的因數(shù)之和恰為n+1，即n=n×1問題7：對數(shù)的諦視一、對整數(shù)的諦視1～100的自然數(shù)中，因數(shù)個數(shù)最多（最少）的自然數(shù)有多少個？1～100的自然數(shù)中恰有3個因數(shù)的自然數(shù)是哪些？1～100的自然數(shù)中是否存在具有11個因數(shù)的自然數(shù)？1.

因數(shù)的個數(shù)因數(shù)個數(shù)自然數(shù)自然數(shù)的個數(shù)自然數(shù)的特征1122、、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、5961、67、71、73、79、83、89、9725質(zhì)數(shù)34、9、25、494質(zhì)數(shù)的平方46、8、10、14、22、26、27、34、38、46、58、62、74、82、86、94、15、21、33、39、51、57、69、77、87、93、35、55、65、85、91、95、32516、812平方數(shù)612、20、28、32、44、52、68、76、92、18、50、98、45、63、99、75167641平方數(shù)824、30、40、42、54、56、66、70、78、88109361平方數(shù)1048、80、1003111260、72、84、90、965表中可以看出，1～100的自然數(shù)中，因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)都是平方數(shù)。從而提出問題，全部因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)確定是平方數(shù)；平方數(shù)的因數(shù)個數(shù)必為奇數(shù)。

計算因數(shù)個數(shù)先把數(shù)分解質(zhì)因數(shù)

則因數(shù)的個數(shù)=

正因數(shù)的總和=例如則60的因數(shù)有(2+1)·(1+1)·(1+1)=12個

因數(shù)之和為168因數(shù)個數(shù)的練習題72的全部因數(shù)有多少個？4500共有多少個因數(shù)？已知自然數(shù)A只有兩個因數(shù)，那么5A有多少個因數(shù)？自然數(shù)A的全部因數(shù)兩兩求和，又得到若干個自然數(shù)，在這些自然數(shù)中，最小的是4，最大的是900，那么數(shù)A是多少？144的全部因數(shù)之和是多少？360的全部因數(shù)之和是多少？A、B兩數(shù)都只含有質(zhì)因數(shù)3和5，它們的最大公因數(shù)是75，已知A數(shù)有12個因數(shù)，B數(shù)有10個因數(shù)，那么，A、B兩數(shù)的和等于多少？第一個完備數(shù)是6其次個完備數(shù)是28第三個完備數(shù)是496僅發(fā)現(xiàn)20多個2.完備數(shù)第四個完備數(shù)是8128(1000多年前)第五個完備數(shù)是33,5550,336(1538年)第六個完備數(shù)是8,589,869,056(1588年)完備數(shù)有很多好玩的性質(zhì)：它們都能寫成連續(xù)自然數(shù)之和：6=1+2+328=1+2+3+4+5+6+7496=1+2+3+4+......+318128=1+2+3+4+......+127它們的尾數(shù)都是6或8它們的全部因數(shù)的倒數(shù)之和都是2

物以稀為貴。雖然未找到實際中的特殊用途，但完備數(shù)的奇異和美麗吸引了很多人如：2位數(shù)的回文素數(shù)有4對:13、17、37、97

三位數(shù)的回文素數(shù)共13對；如113、347、769

四位數(shù)的回文素數(shù)共102對；五位數(shù)共684對…………

=3.1415926……

前兩位數(shù)：31-13

前六位數(shù)：314159-951413

1+4+1=6；1+4+1+5+9+2+6=28試著找一對3.回文素數(shù)相連出現(xiàn)的一對素數(shù)為孿生素數(shù)。當p與p+2同為素數(shù)時，稱p與p+2為一對孿生素數(shù)。

4.孿生素數(shù)例如3,5；5,7；11,13；17,19；29,31；41,43；59,61；71,73；三位數(shù)101,103；107,109；137,139；……

四位數(shù)

3389,3391；4967,4969；……十位數(shù)99999999959,99999999961；1000000009649,1000000009651十萬以內(nèi)的孿生素數(shù)有一千多對，一億以內(nèi)的孿生素數(shù)有十萬對以上。德國數(shù)學家蘭道猜想有無窮多對。四生素數(shù)，在n×10與(n+1)×10之間，四個素數(shù)的尾數(shù)為1，3，7，9。

11,13,17,19；

101,103,107,109；

191,193,197,199；

821,823,827,829；

1481,1483,1487,1489；……,區(qū)間素數(shù)個數(shù)1～10025100～20021200～30016300～40016400～50017500～60014600～70016700～80014800～90015900～1000145.素數(shù)的分布區(qū)間素數(shù)個數(shù)比例1～100251/41～10001681/61～1000012291/81～10000095291/10素數(shù)漸漸稀疏2～4之間有素數(shù)3；3～6之間有素數(shù)5；4～8之間有素數(shù)7；5～10之間有素數(shù)7,9；6～12之間有素數(shù)7,11；7～14之間有素數(shù)11,13；8～16之間有素數(shù)11,13……有位先生始終視察到600000，發(fā)覺正整數(shù)n和它的兩倍2n之間至少有一個素數(shù)，此猜想證明白素數(shù)的分布是越來越稀疏。提出此猜想9年后，被俄國數(shù)學家證明揣測是對的。自已和自己相乘以后得到的數(shù)，尾數(shù)不變。自然數(shù)中凡末尾數(shù)是1、5和6的數(shù)，不論自乘多少次，尾數(shù)仍舊是1、5、6。例如：21×21=42121×21×21=9261325×325=1056256×6×6×6=1296末尾是25和76的數(shù)也是自守數(shù)，三位數(shù)以上也有。6.自守數(shù)奇數(shù)：偶數(shù)：2=1×22+4=6=2×32+4+6=12=3×42+4+6+8=20=4×5

……2+4+6+8+…+n=n(n+1)

7.自然數(shù)中的奇數(shù)和偶數(shù)對全部的自然數(shù)1.黃金分割是正五邊形對角線與邊之比代數(shù)無理數(shù)二、對無理數(shù)的諦視2.e與π超越無理數(shù)

e

與π產(chǎn)生的背景不同：

π與幾何相聯(lián)系，e與某種數(shù)量增減相聯(lián)系。

e與π都是無理數(shù)，但可以用有理數(shù)表示

e與π小數(shù)表示不同

π=3.141592653589793238462643383279502884197……

e=2.718281828459045235360287471352662497757……e與π的小數(shù)表示中，第13位數(shù)字都是9，第17位都是2，第18位都是3，第21位都是6，第34位都是2。有人揣測每隔10位數(shù)就會出現(xiàn)一個相同的數(shù)。還有人揣測在π的數(shù)字中必有e的前n位數(shù)，在e的數(shù)字中必有π的前n位數(shù)。

e與π的聯(lián)系1是實數(shù)的基本單位，i是虛數(shù)的基本單位，0是唯一的中性數(shù)；或者說i來源于代數(shù)，π來源于幾何，e來源于分析，5個看似不相干的數(shù)，和諧的統(tǒng)一在一個式子中。對無限的最早感受是正整數(shù)區(qū)分有限與無限的方法:數(shù)數(shù)把握無限的方法:反證法三、在無限的世界里多少的比較方法之一：數(shù)數(shù)66方法之二：比較少多映射自然數(shù)集是無限集，正偶數(shù)集是無限集，這兩個無限集的個數(shù)誰多？一個集合比它的真子集元素的個數(shù)多？自然數(shù)的比較122436n2n正整數(shù)與偶數(shù)一樣多！1f(1)2f(2)3f(3)nf(n)把表明兩集合元素個數(shù)相等與否的關系稱為一一對應關系。一個集合比它的真子集元素的個數(shù)多？在有限集的情形下是正確的，但在無限集的情形下，就不確定。平方數(shù)集與正整數(shù)集的元素個數(shù)哪個多？正整數(shù)集與有理數(shù)集的元素個數(shù)哪個多？對每個有理數(shù)（既約），稱P+Q為它的高。高為3的有理數(shù)有2個，即正整數(shù)集的元素可以一個一個排列出來——可排性或可數(shù)性，但是有理數(shù)集的元素無法排列，如何找對應關系？高為2的有理數(shù)有1個，即高為5的有理數(shù)有4個，即高為4的有理數(shù)有2個，即依據(jù)高，從小到大無遺漏、無重復地排列有理數(shù)密密麻麻的有理數(shù)集的元素個數(shù)與稀稀疏疏的正整數(shù)集的元素個數(shù)一樣多。

推廣推廣我們先來做一個游戲！問題8：斐波那契數(shù)列“十秒鐘”加數(shù)請計算出左邊一列數(shù)的和。

1

2

3

5

8

13

21

34

55

+ 89 ??時間到！答案是231?！笆腌姟奔訑?shù)再來一次！

34

55

89

144

233

377

610

987

1597

+ 2584 ????時間到！答案是6710。

（一）兔子問題和斐波那契數(shù)列

1．兔子問題

1）問題

——取自意大利數(shù)學家斐波那契的《算盤書》（1202年）

(L.Fibonacci,1170-1250）

兔子問題假設一對初生兔子要一個月才到成熟期，而一對成熟兔子每月會生一對兔子，那么，由一對初生兔子起先，12個月后會有多少對兔子呢？解答

1月

1對解答

1月 1對

2月 1對解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對

4月 3對解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對

4月 3對

5月 5對解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對

4月 3對

5月 5對

6月 8對解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對

4月 3對

5月 5對

6月 8對

7月 13對解答可以將結果以列表形式給出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月1123581321345589144因此，斐波那契問題的答案是144對。以上數(shù)列，即“斐波那契數(shù)列”

兔子問題的另外一種提法：第一個月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個月時，共有多少對兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對數(shù)

小兔對數(shù)

規(guī)律

兔子問題的另外一種提法：第一個月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個月時，共有多少對兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對數(shù)

1

小兔對數(shù)

0

規(guī)律

兔子問題的另外一種提法：第一個月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個月時，共有多少對兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對數(shù)

1

1小兔對數(shù)

01

規(guī)律

兔子問題的另外一種提法：第一個月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個月時，共有多少對兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對數(shù)

1

12小兔對數(shù)

011

規(guī)律

兔子問題的另外一種提法：第一個月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個月時，共有多少對兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對數(shù)

1

123小兔對數(shù)

0112

規(guī)律

兔子問題的另外一種提法：第一個月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個月時，共有多少對兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對數(shù)

1

1235小兔對數(shù)

01123

規(guī)律

兔子問題的另外一種提法：第一個月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個月時，共有多少對兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對數(shù)

1

12358小兔對數(shù)

011235

規(guī)律

兔子問題的另外一種提法：第一個月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個月時，共有多少對兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對數(shù)

1

1235813小兔對數(shù)

0112358

規(guī)律

兔子問題的另外一種提法：第一個月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個月時，共有多少對兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對數(shù)

1

123581321小兔對數(shù)

011235813

規(guī)律

兔子問題的另外一種提法：第一個月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個月時，共有多少對兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對數(shù)

1

12358132134小兔對數(shù)

01123581321

規(guī)律

兔子問題的另外一種提法：第一個月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個月時，共有多少對兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對數(shù)

1

1235813213455小兔對數(shù)

0112358132134

規(guī)律

兔子問題的另外一種提法：第一個月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個月時，共有多少對兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對數(shù)

1

123581321345589小兔對數(shù)

011235813213455

規(guī)律

兔子問題的另外一種提法：第一個月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個月時，共有多少對兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對數(shù)

1

123581321345589144小兔對數(shù)

01123581321345589

到十二月時有大兔子144對，小兔子89對，共有兔子144+89=233對。

規(guī)律

2．斐波那契數(shù)列

1）公式用表示第個月大兔子的對數(shù)，則有二階遞推公式

2）斐波那契數(shù)列令n=1,2,3,…依次寫出數(shù)列，就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…

這就是斐波那契數(shù)列。其中的任一個數(shù)，都叫斐波那契數(shù)。

3）用斐波那契數(shù)列及其推廣變魔術

從寫出的斐波那契數(shù)列中隨意選定連續(xù)的十個數(shù)，你能很快說出這些數(shù)的和。其實有公式：這個和，就是所選出的十個數(shù)中第七個數(shù)的11倍。

1123581321345589144233377610987…“十秒鐘加數(shù)”的隱私數(shù)學家發(fā)覺：連續(xù)10個斐波那契數(shù)之和，必定等于第7個數(shù)的11倍！

1

2

3

5

8

13

21

34

55

+ 89 ??所以右式的答案是：

2111=231“十秒鐘加數(shù)”的隱私右式的答案是：

34

55

89

144

233

377

610

987

1597

+ 2584 ????

61011=6710

（二）斐波那契數(shù)列應用

斐波那契數(shù)列是從兔子問題中抽象出來的，假如它在其它方面沒有應用，它就不會有強大的生命力。發(fā)人深省的是，斐波那契數(shù)列的確在很多問題中出現(xiàn)。有人比方說，“有關斐波那契數(shù)列的論文，甚至比斐波那契的兔子增長得還快”，以致1963年成立了斐波那契協(xié)會，還出版了《斐波那契季刊》。自然界中的斐波那契數(shù)斐波那契數(shù)列中的任一個數(shù)，都叫斐波那契數(shù)。斐波那契數(shù)是大自然的一個基本模式，它出現(xiàn)在很多場合。

1）花瓣數(shù)中的斐波那契數(shù)

大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰是斐波那契數(shù)。例如，蘭花、茉利花、百合花有3個花瓣，毛茛屬的植物有5個花瓣，翠雀屬植物有8個花瓣，萬壽菊屬植物有13個花瓣，紫菀屬植物有21個花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個花瓣?；ò曛械撵巢瞧鯏?shù)花瓣的數(shù)目海棠（2）鐵蘭（3）洋紫荊（5）蝴蝶蘭（5）黃蟬（5）花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目雛菊（13）雛菊（13）2）樹杈的數(shù)目138532113）向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)向日葵花盤內(nèi)，種子是按對數(shù)螺線