第二講-數(shù)學(xué)問(wèn)題研究

其次章數(shù)學(xué)問(wèn)題探討問(wèn)題1：“八字眉”問(wèn)題除了“8點(diǎn)又分”，還有沒(méi)有其它時(shí)刻時(shí)針與分針也處于對(duì)稱位置？假如有，共有幾次？它們分別在哪一時(shí)刻？“八字眉”問(wèn)題事實(shí)上是求鐘表上時(shí)針與分針的相對(duì)位置是哪一時(shí)刻的問(wèn)題，諸如此類的問(wèn)題還有很多，比如：在哪一時(shí)刻時(shí)針與分針重合、垂直、成30度角等等。牛頓問(wèn)題典型牛吃草問(wèn)題的條件是假設(shè)草的生長(zhǎng)速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。牧場(chǎng)上有一片青草，可供27頭牛吃6周，或者供23頭牛吃9周。假如草每周生長(zhǎng)速度相同，那么這片青草可供21頭牛吃幾周?問(wèn)題3：牛吃草問(wèn)題

方法一每天的長(zhǎng)草量：(23×9－27×6)÷(9－6)＝15(單位量)牧場(chǎng)原有草量：(27－15)×6＝72(單位量)或：(23－15)×9＝72(單位量)21頭牛去吃，可吃天數(shù)：72÷(21－15)＝12

牧場(chǎng)原有草量÷21頭牛每天實(shí)際消耗原有草量＝可吃天數(shù)解決牛吃草問(wèn)題常用到四個(gè)基本公式，分別是︰草的生長(zhǎng)速度＝（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)－相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)－吃的較少天數(shù)）；原有草量＝牛頭數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長(zhǎng)速度×吃的天數(shù)；吃的天數(shù)＝原有草量÷（牛頭數(shù)－草的生長(zhǎng)速度）；牛頭數(shù)＝原有草量÷吃的天數(shù)＋草的生長(zhǎng)速度。

方法二設(shè)而不求法

設(shè)這片青草可供21頭牛吃x周，每頭牛每周吃草量為a，每周新長(zhǎng)出的草量為b，牧場(chǎng)原有的草量為m。練習(xí)：一只船發(fā)覺(jué)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，現(xiàn)在水勻速地進(jìn)入船內(nèi)。假如10人舀水，3小時(shí)可以舀完；5人舀水，8小時(shí)可以舀完。假如要求2小時(shí)舀完，要支配多少人舀水?解：設(shè)1人1小時(shí)的舀水量為“1”。每小時(shí)進(jìn)入船內(nèi)的水量為：(5×8-10×3)÷(8-3)=(40-30)÷5=10÷5=2(份)船內(nèi)原有的水量為:10×3-2×3=30-6=24(份)2小時(shí)船內(nèi)的總水量為:24+2×2=28(份)2小時(shí)舀完水須要的人數(shù)是:28÷2=14(人)某火車站的檢票口，在檢票起先前已有人排隊(duì)，檢票起先后每分鐘有10人前來(lái)檢票，一個(gè)檢票口每分鐘能讓25人檢票進(jìn)站。假如只開(kāi)一個(gè)檢票口，檢票起先8分鐘后就沒(méi)有人排隊(duì)了；假如開(kāi)2個(gè)檢票口，那么檢票起先后多少分鐘就沒(méi)有人排隊(duì)了？解：8分鐘時(shí)，檢票口共檢票:25×8=200(人)8分鐘時(shí)，車站新進(jìn)來(lái)的檢票人數(shù)為:10×8=80(人)車站原來(lái)等待檢票的人數(shù)為:200-80=120(人)同時(shí)開(kāi)兩個(gè)檢票口須要的時(shí)間是:120÷(25×2-10)=120÷40=3(分鐘)現(xiàn)在父母年齡的和是子女年齡和的6倍；2年前，父母年齡的和是子女年齡和的10倍；6年后，父母年齡的和是子女年齡和的3倍，問(wèn)共有子女幾人？

解：設(shè)現(xiàn)在父母年齡的和為x歲，子女年齡和為y歲，子女共有z人,由題意得：一水庫(kù)存水量確定，河水勻整入庫(kù)。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干。若要求6天抽干，須要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？解：5臺(tái)抽20天相當(dāng)于1臺(tái)抽多少天？5×20=1006臺(tái)抽15天相當(dāng)于1臺(tái)抽多少天？6×15=90（20-15）天流入水庫(kù)的水相當(dāng)于1臺(tái)抽多少天？100-90=101天流入水庫(kù)的水相當(dāng)于1臺(tái)抽多少天？10÷5=2水庫(kù)原有的水相當(dāng)于1臺(tái)抽多少天？100-2×20=60或90-2×15=606天流入水庫(kù)的水相當(dāng)于1臺(tái)抽多少天？2×6=12 6天抽完須要多少臺(tái)抽水機(jī)？（60+12）÷6=12

問(wèn)題3：雞兔同籠問(wèn)題大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)好玩的問(wèn)題。折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當(dāng)足面積法圖像法折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當(dāng)足面積法圖像法列表推算假設(shè)若籠中全是雞或兔，足將分別是70只或140只，可見(jiàn)雞多兔少。設(shè)雞34只、兔1只，則有72足；若雞33只、兔2只，則有74足；這樣雞逐一削減，兔逐一增加，最終必能推算出雞23只，兔12只。計(jì)算推算假設(shè)若籠中全是兔子，相當(dāng)于每只雞增加2條腿，雞的數(shù)量是(4×35-94)÷(4-2)=23(只)

假設(shè)若籠中全是雞，相當(dāng)于每只兔子削減2條腿，兔子的數(shù)量是(94-2×35)÷(4-2)=12(只)折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當(dāng)足面積法圖像法“金雞獨(dú)立”——波利亞

籠中雞獨(dú)足立地，兔雙足站立，則觸地足是原足數(shù)的一半。

兔子的數(shù)量是94÷2-35=12(只)

雞的數(shù)量是35-12=23(只)折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當(dāng)足面積法圖像法去足法——周沛耕假象雞兔都受過(guò)特地訓(xùn)練，具有特異功能，聽(tīng)到哨聲，雞就展翅翱翔，兔子前腿離地站立起來(lái)。兔子的數(shù)量是(94-35×2)÷2=12(只)

雞的數(shù)量是35-12=23(只)折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當(dāng)足面積法圖像法假設(shè)籠中每個(gè)小動(dòng)物都再長(zhǎng)出一個(gè)頭來(lái)

兔子的數(shù)量是(94-35×2)÷2=12(只)

雞的數(shù)量是35-12=23(只)假設(shè)兔子再長(zhǎng)出一個(gè)頭來(lái)，然后把它劈開(kāi)，變成“一頭兩腿”的兔子——單墫

兔子的數(shù)量是94÷2-35=12(只)

雞的數(shù)量是35-12=23(只)折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當(dāng)足面積法圖像法把雞的兩個(gè)翅膀當(dāng)成雙腳

——張景中

雞的數(shù)量是35×4-94÷2

=23(只)

兔子的數(shù)量是35-23=12

(只)折半法去足法增頭法推算法翅膀當(dāng)足

公式二元一次方程組公式法一元一次方程面積法圖像法折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當(dāng)足面積法圖像法一元一次方程

設(shè)雞的數(shù)量為x，則兔子的數(shù)量為35-x

2x+4(35一x)=94折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當(dāng)足面積法圖像法二元一次方程

設(shè)雞的數(shù)量為x，兔子的數(shù)量為y

折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當(dāng)足面積法圖像法圖像法

(1)先畫(huà)頭和身；

(2)再按雞生足；

(3)補(bǔ)足差數(shù)；

(4)雞兔見(jiàn)分曉，兔12只，雞23只。折半法去足法增頭法二元一次方程組公式法推算法一元一次方程翅膀當(dāng)足面積法圖像法長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表雞（兔）的數(shù)量，寬表示每只雞（兔）腿的數(shù)量，面積則分別表示雞（兔）腿的總數(shù)。雞？兔？4條2條94只化歸思想枚舉思想數(shù)形結(jié)合思想假設(shè)思想方程思想建模思想

“雞兔同籠”中的數(shù)學(xué)思想方法100名師生綠化校內(nèi)，老師每人栽3棵樹(shù)，學(xué)生每?jī)扇嗽?棵樹(shù)，總共栽樹(shù)100棵，求老師和學(xué)生各栽樹(shù)多少棵？某小學(xué)實(shí)行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共15道題，每做對(duì)一題得8分，每做錯(cuò)一題倒扣4分，小明共得72分，他做對(duì)了多少道題？小明運(yùn)輸25個(gè)花瓶,規(guī)定運(yùn)輸一個(gè)運(yùn)費(fèi)4元,損傷一個(gè),不但不得運(yùn)費(fèi),還得倒賠10元。假如小明共獲運(yùn)費(fèi)44元,那么在運(yùn)輸途中他損傷了幾只花瓶?有2角、5角和1元的人民幣20張，共計(jì)12元，三種票子各多少?gòu)垼?/p>

“雞兔同籠”問(wèn)題變形問(wèn)題4：七橋問(wèn)題在18世紀(jì)的哥尼斯堡（當(dāng)時(shí)屬德國(guó)東普魯士）的省會(huì)，1944年后變成前蘇聯(lián)的加里寧格勒，有一條普雷格爾（Pregel）河橫穿哥尼斯堡城，河里有兩個(gè)小島，島與島之間有7座橋．當(dāng)?shù)鼐用駸嶂杂谝粋€(gè)流傳很廣的難題：一個(gè)人能否設(shè)計(jì)一次閑逛，從兩岸或兩個(gè)小島的某處動(dòng)身，經(jīng)過(guò)每座橋一次且僅一次，再回到動(dòng)身點(diǎn)。一筆畫(huà)問(wèn)題小島A小島B1736年，年僅29歲的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉解決了哥尼斯堡七橋問(wèn)題，開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)探討的新領(lǐng)域——圖論。1736年被數(shù)學(xué)界公認(rèn)為“圖論元年”。歐拉創(chuàng)立了一門新的幾何學(xué)，即拓?fù)鋵W(xué)——數(shù)學(xué)的一個(gè)特別奇妙的分支。不抬筆，不重復(fù)形不似神似基本學(xué)問(wèn)偶（奇）頂點(diǎn)：從頂點(diǎn)動(dòng)身的邊的條數(shù)為偶（奇）數(shù)的頂點(diǎn)。這里的邊可以是曲線。歐拉圖：不重復(fù)地走遍每一邊再返回原點(diǎn)，構(gòu)成一條歐拉回路，有歐拉回路的圖稱為歐拉圖。一筆畫(huà)：下筆后，筆不理紙，一次可以重復(fù)地走遍每一邊。連通圖：若圖中隨意兩點(diǎn)都有連接它們的邊存在，則這個(gè)圖稱為連通圖，否則稱為不連通圖。推斷下列圖形能否一筆畫(huà)圖1圖5圖4圖3圖2不連通的圖形不能一筆畫(huà)

連通的圖形有可能一筆畫(huà)不連通的圖形不能一筆畫(huà)

連通的圖形有可能一筆畫(huà)全都是偶點(diǎn)的連通圖可以一筆畫(huà)

奇點(diǎn)個(gè)數(shù)超過(guò)兩個(gè)的連通圖形不能一筆畫(huà)畫(huà)時(shí)以任一點(diǎn)為起點(diǎn)，最終仍回到該點(diǎn)畫(huà)時(shí)以一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn)有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖可以一筆畫(huà)

歐拉解決“七橋問(wèn)題”的方法在數(shù)學(xué)上叫做數(shù)學(xué)模型方法哥尼斯堡七橋問(wèn)題反映七橋問(wèn)題的一筆畫(huà)問(wèn)題無(wú)解一次不重復(fù)地通過(guò)七橋不行能與七橋問(wèn)題相應(yīng)的圖不行能一筆畫(huà)出數(shù)學(xué)抽象一筆畫(huà)的特征分析返回原型現(xiàn)實(shí)原型數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)原型的解數(shù)學(xué)模型的解數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)處理返回原型推斷下列圖形能否一筆畫(huà)a圖3圖2圖6圖1圖5下圖是某展館的平面圖，那么一個(gè)參觀者能否不重復(fù)地穿過(guò)每一扇門呢?

“一筆畫(huà)”問(wèn)題變形下圖是某地區(qū)街道的平面圖，圖上的數(shù)字表示那條街道的長(zhǎng)度早晨，清潔隊(duì)用一輛灑水車從A動(dòng)身，要灑遍全部的街道最終再回到A，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)灑水路途最合理?全程要走多少千米?(單位:千米)如何把1、2、3、4、5、6、7、8、9這9個(gè)不重復(fù)的數(shù)字填入下圖，使每一橫行、豎列、對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字的和都相等？問(wèn)題5：三階幻方如何把1、2、3、4、5、6、7、8、9這9個(gè)不重復(fù)的數(shù)字填入下圖，使每一橫行、豎列、對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字的和都相等？492357816“四二為肩，八六為足，左三右七，五居中心”。問(wèn)題5：三階幻方九宮圖三階幻方據(jù)傳聞最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書(shū)”，我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝將它命名為“縱橫圖”，又名“九宮圖”，并在《續(xù)古摘奇算法》中，總結(jié)出了洛書(shū)幻方構(gòu)造的方法.國(guó)外最早的幻方，是印度加泰蘇立神廟碑文上的四階縱橫圖。歐洲人直到14世紀(jì)才起先探討幻方，比我國(guó)遲了將近2000年。幻方出現(xiàn)之后，曾使不少人為之入迷，古今中外很多大數(shù)學(xué)家、高校者如歐拉、富蘭克林等對(duì)幻方都很感愛(ài)好，并且逐步探討出了不少獨(dú)特的構(gòu)造方法.幻方和=中間數(shù)×3；與中間數(shù)對(duì)應(yīng)的上下、左右、對(duì)角兩個(gè)數(shù)字的和=中間數(shù)×2；角上的數(shù)字=對(duì)角相鄰的兩數(shù)字和的一半；三階幻方規(guī)律492357816三階幻方基本解法計(jì)算法楊輝法142753869九子排列942753861上下對(duì)易942357861左右相更492357816四維挺出492357816三階幻方練習(xí)6，7，8，9，10，11，12，13，143，6，9，12，15，18，21，24，27圖中的六個(gè)圓圈內(nèi)分別填寫上1～6這六個(gè)數(shù)字，每個(gè)數(shù)字用且僅用一次，使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和都相等。三角形問(wèn)題6：填圖問(wèn)題156432圖中的六個(gè)圓圈內(nèi)分別填寫上1～6這六個(gè)數(shù)字，每個(gè)數(shù)字用且僅用一次，使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和都相等。三角形問(wèn)題6：填圖問(wèn)題

三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和可以有多少種不同的取值？對(duì)應(yīng)每一種取值的填法分別是什么樣的？146253235164423165每邊之和10每邊之和11每邊之和12解決問(wèn)題的方法：利用求和找到每條邊上三個(gè)數(shù)之和與三個(gè)頂點(diǎn)上數(shù)字之和的關(guān)系；發(fā)覺(jué)三個(gè)頂點(diǎn)上數(shù)字之和應(yīng)滿足的條件；依據(jù)三個(gè)頂點(diǎn)上數(shù)字之和確定每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和。四邊形圖中的八個(gè)圓圈內(nèi)分別填寫上1～8這八個(gè)數(shù)字，每個(gè)數(shù)字用且僅用一次，使得四邊形每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和都相等。四邊形圖中的八個(gè)圓圈內(nèi)分別填寫上1～8這八個(gè)數(shù)字，每個(gè)數(shù)字用且僅用一次，使得四邊形每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和都相等。18354726

四邊形每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和可以有多少種不同的取值？對(duì)應(yīng)每一種取值的填法分別是什么樣的？每邊之和13每邊之和14每邊之和15184723653746128534852167因數(shù):素?cái)?shù):完備數(shù)：完備數(shù)n的因數(shù)之和恰為n+1，即n=n×1問(wèn)題7：對(duì)數(shù)的諦視一、對(duì)整數(shù)的諦視1～100的自然數(shù)中，因數(shù)個(gè)數(shù)最多（最少）的自然數(shù)有多少個(gè)？1～100的自然數(shù)中恰有3個(gè)因數(shù)的自然數(shù)是哪些？1～100的自然數(shù)中是否存在具有11個(gè)因數(shù)的自然數(shù)？1.

因數(shù)的個(gè)數(shù)因數(shù)個(gè)數(shù)自然數(shù)自然數(shù)的個(gè)數(shù)自然數(shù)的特征1122、、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、5961、67、71、73、79、83、89、9725質(zhì)數(shù)34、9、25、494質(zhì)數(shù)的平方46、8、10、14、22、26、27、34、38、46、58、62、74、82、86、94、15、21、33、39、51、57、69、77、87、93、35、55、65、85、91、95、32516、812平方數(shù)612、20、28、32、44、52、68、76、92、18、50、98、45、63、99、75167641平方數(shù)824、30、40、42、54、56、66、70、78、88109361平方數(shù)1048、80、1003111260、72、84、90、965表中可以看出，1～100的自然數(shù)中，因數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)都是平方數(shù)。從而提出問(wèn)題，全部因數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)確定是平方數(shù)；平方數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)必為奇數(shù)。

計(jì)算因數(shù)個(gè)數(shù)先把數(shù)分解質(zhì)因數(shù)

則因數(shù)的個(gè)數(shù)=

正因數(shù)的總和=例如則60的因數(shù)有(2+1)·(1+1)·(1+1)=12個(gè)

因數(shù)之和為168因數(shù)個(gè)數(shù)的練習(xí)題72的全部因數(shù)有多少個(gè)？4500共有多少個(gè)因數(shù)？已知自然數(shù)A只有兩個(gè)因數(shù)，那么5A有多少個(gè)因數(shù)？自然數(shù)A的全部因數(shù)兩兩求和，又得到若干個(gè)自然數(shù)，在這些自然數(shù)中，最小的是4，最大的是900，那么數(shù)A是多少？144的全部因數(shù)之和是多少？360的全部因數(shù)之和是多少？A、B兩數(shù)都只含有質(zhì)因數(shù)3和5，它們的最大公因數(shù)是75，已知A數(shù)有12個(gè)因數(shù)，B數(shù)有10個(gè)因數(shù)，那么，A、B兩數(shù)的和等于多少？第一個(gè)完備數(shù)是6其次個(gè)完備數(shù)是28第三個(gè)完備數(shù)是496僅發(fā)現(xiàn)20多個(gè)2.完備數(shù)第四個(gè)完備數(shù)是8128(1000多年前)第五個(gè)完備數(shù)是33,5550,336(1538年)第六個(gè)完備數(shù)是8,589,869,056(1588年)完備數(shù)有很多好玩的性質(zhì)：它們都能寫成連續(xù)自然數(shù)之和：6=1+2+328=1+2+3+4+5+6+7496=1+2+3+4+......+318128=1+2+3+4+......+127它們的尾數(shù)都是6或8它們的全部因數(shù)的倒數(shù)之和都是2

物以稀為貴。雖然未找到實(shí)際中的特殊用途，但完備數(shù)的奇異和美麗吸引了很多人如：2位數(shù)的回文素?cái)?shù)有4對(duì):13、17、37、97

三位數(shù)的回文素?cái)?shù)共13對(duì)；如113、347、769

四位數(shù)的回文素?cái)?shù)共102對(duì)；五位數(shù)共684對(duì)…………

=3.1415926……

前兩位數(shù)：31-13

前六位數(shù)：314159-951413

1+4+1=6；1+4+1+5+9+2+6=28試著找一對(duì)3.回文素?cái)?shù)相連出現(xiàn)的一對(duì)素?cái)?shù)為孿生素?cái)?shù)。當(dāng)p與p+2同為素?cái)?shù)時(shí)，稱p與p+2為一對(duì)孿生素?cái)?shù)。

4.孿生素?cái)?shù)例如3,5；5,7；11,13；17,19；29,31；41,43；59,61；71,73；三位數(shù)101,103；107,109；137,139；……

四位數(shù)

3389,3391；4967,4969；……十位數(shù)99999999959,99999999961；1000000009649,1000000009651十萬(wàn)以內(nèi)的孿生素?cái)?shù)有一千多對(duì)，一億以內(nèi)的孿生素?cái)?shù)有十萬(wàn)對(duì)以上。德國(guó)數(shù)學(xué)家蘭道猜想有無(wú)窮多對(duì)。四生素?cái)?shù)，在n×10與(n+1)×10之間，四個(gè)素?cái)?shù)的尾數(shù)為1，3，7，9。

11,13,17,19；

101,103,107,109；

191,193,197,199；

821,823,827,829；

1481,1483,1487,1489；……,區(qū)間素?cái)?shù)個(gè)數(shù)1～10025100～20021200～30016300～40016400～50017500～60014600～70016700～80014800～90015900～1000145.素?cái)?shù)的分布區(qū)間素?cái)?shù)個(gè)數(shù)比例1～100251/41～10001681/61～1000012291/81～10000095291/10素?cái)?shù)漸漸稀疏2～4之間有素?cái)?shù)3；3～6之間有素?cái)?shù)5；4～8之間有素?cái)?shù)7；5～10之間有素?cái)?shù)7,9；6～12之間有素?cái)?shù)7,11；7～14之間有素?cái)?shù)11,13；8～16之間有素?cái)?shù)11,13……有位先生始終視察到600000，發(fā)覺(jué)正整數(shù)n和它的兩倍2n之間至少有一個(gè)素?cái)?shù)，此猜想證明白素?cái)?shù)的分布是越來(lái)越稀疏。提出此猜想9年后，被俄國(guó)數(shù)學(xué)家證明揣測(cè)是對(duì)的。自已和自己相乘以后得到的數(shù)，尾數(shù)不變。自然數(shù)中凡末尾數(shù)是1、5和6的數(shù)，不論自乘多少次，尾數(shù)仍舊是1、5、6。例如：21×21=42121×21×21=9261325×325=1056256×6×6×6=1296末尾是25和76的數(shù)也是自守?cái)?shù)，三位數(shù)以上也有。6.自守?cái)?shù)奇數(shù)：偶數(shù)：2=1×22+4=6=2×32+4+6=12=3×42+4+6+8=20=4×5

……2+4+6+8+…+n=n(n+1)

7.自然數(shù)中的奇數(shù)和偶數(shù)對(duì)全部的自然數(shù)1.黃金分割是正五邊形對(duì)角線與邊之比代數(shù)無(wú)理數(shù)二、對(duì)無(wú)理數(shù)的諦視2.e與π超越無(wú)理數(shù)

e

與π產(chǎn)生的背景不同：

π與幾何相聯(lián)系，e與某種數(shù)量增減相聯(lián)系。

e與π都是無(wú)理數(shù)，但可以用有理數(shù)表示

e與π小數(shù)表示不同

π=3.141592653589793238462643383279502884197……

e=2.718281828459045235360287471352662497757……e與π的小數(shù)表示中，第13位數(shù)字都是9，第17位都是2，第18位都是3，第21位都是6，第34位都是2。有人揣測(cè)每隔10位數(shù)就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)相同的數(shù)。還有人揣測(cè)在π的數(shù)字中必有e的前n位數(shù)，在e的數(shù)字中必有π的前n位數(shù)。

e與π的聯(lián)系1是實(shí)數(shù)的基本單位，i是虛數(shù)的基本單位，0是唯一的中性數(shù)；或者說(shuō)i來(lái)源于代數(shù)，π來(lái)源于幾何，e來(lái)源于分析，5個(gè)看似不相干的數(shù)，和諧的統(tǒng)一在一個(gè)式子中。對(duì)無(wú)限的最早感受是正整數(shù)區(qū)分有限與無(wú)限的方法:數(shù)數(shù)把握無(wú)限的方法:反證法三、在無(wú)限的世界里多少的比較方法之一：數(shù)數(shù)66方法之二：比較少多映射自然數(shù)集是無(wú)限集，正偶數(shù)集是無(wú)限集，這兩個(gè)無(wú)限集的個(gè)數(shù)誰(shuí)多？一個(gè)集合比它的真子集元素的個(gè)數(shù)多？自然數(shù)的比較122436n2n正整數(shù)與偶數(shù)一樣多！1f(1)2f(2)3f(3)nf(n)把表明兩集合元素個(gè)數(shù)相等與否的關(guān)系稱為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。一個(gè)集合比它的真子集元素的個(gè)數(shù)多？在有限集的情形下是正確的，但在無(wú)限集的情形下，就不確定。平方數(shù)集與正整數(shù)集的元素個(gè)數(shù)哪個(gè)多？正整數(shù)集與有理數(shù)集的元素個(gè)數(shù)哪個(gè)多？對(duì)每個(gè)有理數(shù)（既約），稱P+Q為它的高。高為3的有理數(shù)有2個(gè)，即正整數(shù)集的元素可以一個(gè)一個(gè)排列出來(lái)——可排性或可數(shù)性，但是有理數(shù)集的元素?zé)o法排列，如何找對(duì)應(yīng)關(guān)系？高為2的有理數(shù)有1個(gè)，即高為5的有理數(shù)有4個(gè)，即高為4的有理數(shù)有2個(gè)，即依據(jù)高，從小到大無(wú)遺漏、無(wú)重復(fù)地排列有理數(shù)密密麻麻的有理數(shù)集的元素個(gè)數(shù)與稀稀疏疏的正整數(shù)集的元素個(gè)數(shù)一樣多。

推廣推廣我們先來(lái)做一個(gè)游戲！問(wèn)題8：斐波那契數(shù)列“十秒鐘”加數(shù)請(qǐng)計(jì)算出左邊一列數(shù)的和。

1

2

3

5

8

13

21

34

55

+ 89 ??時(shí)間到！答案是231?！笆腌姟奔訑?shù)再來(lái)一次！

34

55

89

144

233

377

610

987

1597

+ 2584 ????時(shí)間到！答案是6710。

（一）兔子問(wèn)題和斐波那契數(shù)列

1．兔子問(wèn)題

1）問(wèn)題

——取自意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算盤書(shū)》（1202年）

(L.Fibonacci,1170-1250）

兔子問(wèn)題假設(shè)一對(duì)初生兔子要一個(gè)月才到成熟期，而一對(duì)成熟兔子每月會(huì)生一對(duì)兔子，那么，由一對(duì)初生兔子起先，12個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子呢？解答

1月

1對(duì)解答

1月 1對(duì)

2月 1對(duì)解答

1月 1對(duì)

2月 1對(duì)

3月 2對(duì)解答

1月 1對(duì)

2月 1對(duì)

3月 2對(duì)

4月 3對(duì)解答

1月 1對(duì)

2月 1對(duì)

3月 2對(duì)

4月 3對(duì)

5月 5對(duì)解答

1月 1對(duì)

2月 1對(duì)

3月 2對(duì)

4月 3對(duì)

5月 5對(duì)

6月 8對(duì)解答

1月 1對(duì)

2月 1對(duì)

3月 2對(duì)

4月 3對(duì)

5月 5對(duì)

6月 8對(duì)

7月 13對(duì)解答可以將結(jié)果以列表形式給出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月1123581321345589144因此，斐波那契問(wèn)題的答案是144對(duì)。以上數(shù)列，即“斐波那契數(shù)列”

兔子問(wèn)題的另外一種提法：第一個(gè)月是一對(duì)大兔子，類似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對(duì)兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對(duì)數(shù)

小兔對(duì)數(shù)

規(guī)律

兔子問(wèn)題的另外一種提法：第一個(gè)月是一對(duì)大兔子，類似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對(duì)兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對(duì)數(shù)

1

小兔對(duì)數(shù)

0

規(guī)律

兔子問(wèn)題的另外一種提法：第一個(gè)月是一對(duì)大兔子，類似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對(duì)兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對(duì)數(shù)

1

1小兔對(duì)數(shù)

01

規(guī)律

兔子問(wèn)題的另外一種提法：第一個(gè)月是一對(duì)大兔子，類似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對(duì)兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對(duì)數(shù)

1

12小兔對(duì)數(shù)

011

規(guī)律

兔子問(wèn)題的另外一種提法：第一個(gè)月是一對(duì)大兔子，類似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對(duì)兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對(duì)數(shù)

1

123小兔對(duì)數(shù)

0112

規(guī)律

兔子問(wèn)題的另外一種提法：第一個(gè)月是一對(duì)大兔子，類似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對(duì)兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對(duì)數(shù)

1

1235小兔對(duì)數(shù)

01123

規(guī)律

兔子問(wèn)題的另外一種提法：第一個(gè)月是一對(duì)大兔子，類似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對(duì)兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對(duì)數(shù)

1

12358小兔對(duì)數(shù)

011235

規(guī)律

兔子問(wèn)題的另外一種提法：第一個(gè)月是一對(duì)大兔子，類似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對(duì)兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對(duì)數(shù)

1

1235813小兔對(duì)數(shù)

0112358

規(guī)律

兔子問(wèn)題的另外一種提法：第一個(gè)月是一對(duì)大兔子，類似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對(duì)兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對(duì)數(shù)

1

123581321小兔對(duì)數(shù)

011235813

規(guī)律

兔子問(wèn)題的另外一種提法：第一個(gè)月是一對(duì)大兔子，類似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對(duì)兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對(duì)數(shù)

1

12358132134小兔對(duì)數(shù)

01123581321

規(guī)律

兔子問(wèn)題的另外一種提法：第一個(gè)月是一對(duì)大兔子，類似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對(duì)兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對(duì)數(shù)

1

1235813213455小兔對(duì)數(shù)

0112358132134

規(guī)律

兔子問(wèn)題的另外一種提法：第一個(gè)月是一對(duì)大兔子，類似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對(duì)兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對(duì)數(shù)

1

123581321345589小兔對(duì)數(shù)

011235813213455

規(guī)律

兔子問(wèn)題的另外一種提法：第一個(gè)月是一對(duì)大兔子，類似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對(duì)兔子？

月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ

ⅧⅨ

Ⅹ

Ⅺ

Ⅻ大兔對(duì)數(shù)

1

123581321345589144小兔對(duì)數(shù)

01123581321345589

到十二月時(shí)有大兔子144對(duì)，小兔子89對(duì)，共有兔子144+89=233對(duì)。

規(guī)律

2．斐波那契數(shù)列

1）公式用表示第個(gè)月大兔子的對(duì)數(shù)，則有二階遞推公式

2）斐波那契數(shù)列令n=1,2,3,…依次寫出數(shù)列，就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…

這就是斐波那契數(shù)列。其中的任一個(gè)數(shù)，都叫斐波那契數(shù)。

3）用斐波那契數(shù)列及其推廣變魔術(shù)

從寫出的斐波那契數(shù)列中隨意選定連續(xù)的十個(gè)數(shù)，你能很快說(shuō)出這些數(shù)的和。其實(shí)有公式：這個(gè)和，就是所選出的十個(gè)數(shù)中第七個(gè)數(shù)的11倍。

1123581321345589144233377610987…“十秒鐘加數(shù)”的隱私數(shù)學(xué)家發(fā)覺(jué)：連續(xù)10個(gè)斐波那契數(shù)之和，必定等于第7個(gè)數(shù)的11倍！

1

2

3

5

8

13

21

34

55

+ 89 ??所以右式的答案是：

2111=231“十秒鐘加數(shù)”的隱私右式的答案是：

34

55

89

144

233

377

610

987

1597

+ 2584 ????

61011=6710

（二）斐波那契數(shù)列應(yīng)用

斐波那契數(shù)列是從兔子問(wèn)題中抽象出來(lái)的，假如它在其它方面沒(méi)有應(yīng)用，它就不會(huì)有強(qiáng)大的生命力。發(fā)人深省的是，斐波那契數(shù)列的確在很多問(wèn)題中出現(xiàn)。有人比方說(shuō)，“有關(guān)斐波那契數(shù)列的論文，甚至比斐波那契的兔子增長(zhǎng)得還快”，以致1963年成立了斐波那契協(xié)會(huì)，還出版了《斐波那契季刊》。自然界中的斐波那契數(shù)斐波那契數(shù)列中的任一個(gè)數(shù)，都叫斐波那契數(shù)。斐波那契數(shù)是大自然的一個(gè)基本模式，它出現(xiàn)在很多場(chǎng)合。

1）花瓣數(shù)中的斐波那契數(shù)

大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰是斐波那契數(shù)。例如，蘭花、茉利花、百合花有3個(gè)花瓣，毛茛屬的植物有5個(gè)花瓣，翠雀屬植物有8個(gè)花瓣，萬(wàn)壽菊屬植物有13個(gè)花瓣，紫菀屬植物有21個(gè)花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個(gè)花瓣?；ò曛械撵巢瞧鯏?shù)花瓣的數(shù)目海棠（2）鐵蘭（3）洋紫荊（5）蝴蝶蘭（5）黃蟬（5）花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目雛菊（13）雛菊（13）2）樹(shù)杈的數(shù)目138532113）向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)向日葵花盤內(nèi)，種子是按對(duì)數(shù)螺線