數(shù)學物理方式概述講義

數(shù)學物理方式概述講義2023/3/32第五章積分方程積分方程是研究數(shù)學其它學科和各種物理問題的一個重要數(shù)學工具。它在彈性介質(zhì)理論和流體力學中應用很廣，也常見于電磁場理論物理中。本節(jié)將介紹求解積分方程的理論和一般方法。

2023/3/331、基本概念；2、迭代法；3、算子的范數(shù)；4、巴拿赫空間中的迭代法；5、非線性方程的迭代法；6、可分核；7、普遍的有限秩；8、全連續(xù)算子；9、全連續(xù)厄米算子；10、全連續(xù)算子的弗雷德霍姆擇一定理；11、積分方程的數(shù)值計算；第五章積分方程2023/3/34§5積分方程法§5.1基本概念一、積分方程的定義在方程中，若未知函數(shù)在積分號下出現(xiàn)，則稱這種方程為積分方程。一般的線性積分方程，可寫為如下的形式其中，和已知。是未知函數(shù)，積分方程的核，也是已知函數(shù)。被稱為本征值的作用）是常數(shù)因子（經(jīng)常起一2023/3/35若未知函數(shù)僅出現(xiàn)在積分號內(nèi)，稱為第一類方程。若未知函數(shù)既出現(xiàn)在積分號內(nèi)，又出現(xiàn)在積分號外稱為第二類方程。積分限為常數(shù)的，稱為Fredholm弗雷德霍姆方程。積分限中有一個是變數(shù)的，稱為volterra伏特拉方程§5積分方程法§5.1基本概念積分方程的核，是的連續(xù)函數(shù)?；蚱椒娇煞e，稱核為非奇性核或fredholm核。此外，還有弱奇性核及Cauchy奇性核二、積分方程的分類1）按照積分上下限2）按照未知函數(shù)是否在積分內(nèi)第一類第二類3）按照積分的核進行分類2023/3/36§5.1基本概念三、積分方程的算子形式積分方程也可采用算符的形式來表示。即其中K為積分算子若算子方程的逆存在，則問題在形式上就解決了。此時§5積分方程法2023/3/37§5.2退化核的方程的解法如果積分方程的核具有如下的形式則被稱為是退化的，具有退化的核的積分方程，可用初等的方法來求解。以下通過具體的例子來說明如何求解退化核方程。例.求解積分方程解：令則式(1)可以變?yōu)?1)§5積分方程法(2)(3)2023/3/38§5積分方程法顯然，采用迭代的方法，將式(3)代入(2)，得這個方程組的解是代入式(3)就可以得到積分方程的解為注意有兩個的值可使上式的解變?yōu)闊o窮大。當取某些特殊值時，齊次積分方程有非零解，這樣的值稱為積分方程的本征值，而相應的非零解稱作本征函數(shù)?！?.2退化核的方程的解法2023/3/39定理1.如果§5積分方程法齊次方程有唯一解；若是本征值，則齊次方程從上例可以看到，如果核是退化的，則解一個積分方程的問題就簡化為解一個大家非常熟悉的代數(shù)方程組的問題。如果退化核有N項，顯然將有N個本征值，當然它們不一定都不同。既然退化核方程的解是與相應的線性代數(shù)方程組密切相關的，所以退化核方程的許多性質(zhì)可由相應的代數(shù)方程組的有關性質(zhì)導出。弗雷德霍姆將之簡化為一系列理論，這些理論被人們稱為弗雷德霍姆定理，在此我們不作證明。不是本征值，則對于任何的非齊次項,非至少有一個非平凡解即本征函數(shù)，且與一個本征值相對于的，線性獨立的本征函數(shù)只有一個?！?.2退化核的方程的解法2023/3/310定理3.如果是一個本征值，那么非齊次方程有解的充要條件是：與轉(zhuǎn)置齊次方程的一切解正交，即定理2.如果不是一個本征值，那么也不是轉(zhuǎn)置方程§5積分方程法至少有一個平凡解。的一個本征值；如果是一個本征值，則也是轉(zhuǎn)置方程的一個本征值，即其中滿足式§5.2退化核的方程的解法2023/3/311§5積分方程法并對x積分，便可得定理3的正交關系。事實上，定理2是這樣一個事實的模擬，即矩陣和它的轉(zhuǎn)置具有同樣的本征值。如果我們以乘以

需要指出的是弗雷德霍姆定理僅嚴格地適用于非奇異的積分方程。奇異積分方程的理論是一個不同的問題。對于具有退化核的伏特拉方程，常常能通過求微分變?yōu)槲⒎址匠?。我們?nèi)砸砸粋€具體的例子來說明?！?.2退化核的方程的解法2023/3/312§5積分方程法例2.求解積分方程解：令代入原式，有所以解此微分方程可得于是得把它再代入原方程可求得，因此§5.2退化核的方程的解法2023/3/313§5積分方程法到于是得§5.3具有位移核的方程的求解如果核僅僅是的一個函數(shù)，即所謂的位移核且積分范圍是，則可以應用傅立葉變換來求解?？紤]方程對此方程進行傅氏變換，并記則由卷積定理有2023/3/314§5積分方程法§5.3具有位移核的方程的求解因此如果我們能求上式的逆變換，就能得到方程的解。如果積分區(qū)間是從0到x，具有一位移核，且被積函數(shù)對于則可用拉氏變換來求解，因為在這種情況下也有相應的卷積積分定理。2023/3/315§5積分方程法§5.4迭代解法求解積分方程的另一個直接方法就是迭代法，我們首先取近似將此式代入原方程右邊的積分中，便得到一級近似再將一級近似代入原式的右邊，便得到二級近似零級近似2023/3/316§5積分方程法§5.4迭代解法重復迭代，得級數(shù)其中被稱為諾依曼級數(shù)或積分方程的諾依曼解。可以證明，如果核和在區(qū)間上連續(xù)，對于足夠小的，該級數(shù)解將收斂。2023/3/317§5積分方程法§5.4迭代解法其中例3.求解描述粒子運動的薛定諤方程表示粒子的波函數(shù)，第一項表示粒子的動能，V(r)表示作用勢，E表示系統(tǒng)的總能量，它可表為解：方程又可寫為此方程具有邊界條件2023/3/318§5積分方程法§5.4迭代解法其中邊界條件,第一項表示入射粒子的平面波，第二項表示入射粒子與V(r)的作用而散射的粒子的球面波。于是，由格林函數(shù)法知亥姆霍茲方程的格林函數(shù)為這樣，我們可以將散射問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉e分方程2023/3/319§5積分方程法§5.4迭代解法其中,第一項是用來調(diào)整解使之滿足邊界條件的補充修正函數(shù)。解可以寫為諾依曼級數(shù)由第一代迭代，即取我們可得到一非常重要的結(jié)果，被稱作玻恩(Born)近似記2023/3/320§5積分方程法§5.4迭代解法繼續(xù)迭代得于是解可表示為級數(shù)這個級數(shù)解當較小時，便能很快收斂。2023/3/321§5積分方程法§5.4迭代解法通過迭代解法將g(x)作為f(x)的零級近似，代入得方程的一級近似，繼續(xù)下去，得到由第二類的弗雷德霍姆方程這個級數(shù)解是非收斂的條件可以利用算子的性質(zhì)進行討論2023/3/322§5積分方程法§5.4迭代解法將迭代解法表示為更為抽象的算子形式注意到雖然K是積分算子，但I不是。當K在某種意義下“小”，則我們可以將其展開為因為已經(jīng)要求當K作用在V中的任何元素上時產(chǎn)生V中的另一個元素，所以可把Kn簡單定義為K的連續(xù)作用：

若算子方程的逆存在，則問題在形式上就解決了。此時2023/3/323§5積分方程法§5.4迭代解法對于K的這個限制并不是無關緊要的，因為一些看上去合理的算子，當它作用在V上時，所產(chǎn)生的客體不在V中。例如：考慮在[0,1]上定義的單變量的平方可積函數(shù)空間L2[0,1]，將算子d/dx作用在這個空間上，顯然，是屬于L2[0,1]空間的，但不屬于L2[0,1]，因此d/dx不能把L2[0,1]空間中的每一個元素變換成同一空間中的另一個元素，所以對我們的要求來說，它不是可允許的算子。

2023/3/324§5積分方程法§5.4迭代解法收斂時，它就是方程的解。上述級數(shù)式，數(shù)學家稱為諾依曼級數(shù)，而物理學家稱為波恩級數(shù)，因為正是馬克思波恩首先在量子力學中運用了基本迭代的想法。

假設的右邊“收斂”(收斂上的引號是因為還沒對算子的收斂性仔細加以定義)因此它收斂所趨近的算子是(I-K)的逆算子，這是因為將(I-K)從任意一邊去乘都給出I，因此我們猜測，當級數(shù)2023/3/325則可以證明：當，那么由§5積分方程法§5.4迭代解法假設:a)級數(shù)解收斂的條件：b)在[a,b]內(nèi)，有界，即c)存在，且等于一個有限的常數(shù)C.表示的諾依曼級數(shù)就收斂。但這絕不意味著要使諾依曼級數(shù)收斂，M就必須小于。很容易構(gòu)造出一些核，對于M大于但它的諾依曼級數(shù)仍然收斂。即該條件是保障諾依曼級數(shù)收斂的充分非必要條件。2023/3/326§5積分方程法§5.5弗雷德霍姆解法求解積分方程用弗雷德霍姆方法，可以得到上述方程一個更完善的級數(shù)解。通過細分積分區(qū)間，用求和代替積分，解得到的代數(shù)方程，然后討論無限多的細分的極限，結(jié)果得到積分方程的解為其中被稱為解核，是兩個無窮級數(shù)的比2023/3/327§5積分方