無窮積分專題培訓市公開課金獎市賽課一等獎課件

§12.1無窮積分第十二章反常積分與含參量積分第1頁第1頁第2頁第2頁第3頁第3頁例1計算廣義積分解第4頁第4頁例2計算廣義積分解第5頁第5頁證第6頁第6頁證第7頁第7頁§12.2瑕積分第8頁第8頁第9頁第9頁定義中C為瑕點，以上積分稱為瑕積分.第10頁第10頁例5計算廣義積分解第11頁第11頁證第12頁第12頁例7計算廣義積分解故原廣義積分發(fā)散.第13頁第13頁例8計算廣義積分解瑕點第14頁第14頁無界函數(shù)廣義積分（瑕積分）無窮限廣義積分（注意：不能忽略內(nèi)部瑕點）小結(jié)第15頁第15頁思考題積分瑕點是哪幾點？第16頁第16頁思考題解答積分也許瑕點是不是瑕點,瑕點是第17頁第17頁練習題第18頁第18頁第19頁第19頁第20頁第20頁練習題答案第21頁第21頁§12.3無窮限廣義積分審斂法不通過被積函數(shù)原函數(shù)鑒定廣義積分收斂性鑒定辦法.由定理1，對于非負函數(shù)無窮限廣義積分有下列比較收斂原理．第22頁第22頁證第23頁第23頁由定理１知比如，第24頁第24頁第25頁第25頁例１解依據(jù)比較審斂法１，第26頁第26頁例２解所給廣義積分收斂．第27頁第27頁例３解依據(jù)極限審斂法１，所給廣義積分發(fā)散．例４解依據(jù)極限審斂法１，所給廣義積分發(fā)散．第28頁第28頁證即收斂.第29頁第29頁例5解因此所給廣義積分收斂.第30頁第30頁§12.4瑕積分審斂法第31頁第31頁第32頁第32頁例6解由洛必達法則知依據(jù)極限審斂法2,所給廣義積分發(fā)散.第33頁第33頁例7解依據(jù)比較審斂原理,第34頁第34頁特點:1.積分區(qū)間為無窮;第35頁第35頁§12.5歐拉積分

在本節(jié)中我們將討論由含參量反常積分

定義兩個很主要非初等函數(shù)——一、函數(shù)函數(shù)二、函數(shù)和

函數(shù).

三、函數(shù)與函數(shù)之間關系

第36頁第36頁一．

函數(shù)

含參量積分：稱為格馬函數(shù).

函數(shù)能夠?qū)懗上铝袃蓚€積分之和：

其中時是正常積分,當時是收斂

無界函數(shù)反常積分(可用柯西判別法推得);

第37頁第37頁時是收斂無窮限反常積分(也可用柯西

判別法推得).因此含參量積分(1)在時收斂,即函數(shù)定義域為.

1.在定義域內(nèi)連續(xù)且有任意階導數(shù)在任何閉區(qū)間上,對于函數(shù)當

時有由于收

斂,

從而在上也一致收斂,對于當

第38頁第38頁上連續(xù).用上述相同辦法考察積分它在任何區(qū)間上一致收斂.于是由定理

19.10得到

在

上可導,由a,b任意性,

時,有由于在收斂,從而在上也一致收斂,于是第39頁第39頁同理可證

2.遞推公式對下述積分應用分部積分法,有

在上可導,且第40頁第40頁讓就得到遞推公式:設應用遞推公式(3)n次

能夠得到

公式(3)還指出,假如已知在上值,那第41頁第41頁么在其它范圍內(nèi)函數(shù)值可由它計算出來.

若s為正整數(shù)n+1,則(4)式可寫成3.

函數(shù)圖象討論對一切,恒不小于0,因此圖形

位于軸上方,且是向下凸.由于因此在上存在唯一極小點第42頁第42頁故有由(5)式及在上嚴格增可推得在內(nèi)嚴格減;在內(nèi)嚴格增.

又由于第43頁第43頁總而言之,函數(shù)圖象如圖19-2中部分所表示.4.延拓改寫遞推公式(3)為

當時,(6)式右端故意義,于是可應用(6)式

來定義左端函數(shù)在內(nèi)值,并且可推知

這時第44頁第44頁用同樣辦法,利用式又可定義在內(nèi)值,并且這時依此下去可把延拓到整個數(shù)軸(除了

以外),其圖象如圖19-2所表示.

已在內(nèi)有定義這一事實,由(6)第45頁第45頁5.其它形式在應用上,也常以下列形式出現(xiàn),如令

則有

令就有第46頁第46頁二、B函數(shù)

含參量積分：

稱為貝塔(Beta)函數(shù)(或?qū)懽鰾函數(shù)).注與前討論單參變量含參數(shù)積分不同,B函數(shù)是含兩元含參量積分，但討論環(huán)節(jié)與辦法是完全類似.

B函數(shù)(2)當

時,是以為瑕點無界函數(shù)

第47頁第47頁反常積分;當

時,是以為瑕點無界函數(shù)

反常積分.應用柯西判別法可證得當時這兩個無界函數(shù)反常積分都收斂.因此函數(shù)定義域為1.在定義域內(nèi)連續(xù)由于對任何成立不等式而積分收斂,故由

M判別法知第48頁第48頁在上一致收斂.

因而推得在內(nèi)連續(xù).

2.對稱性作變換得3.遞推公式第49頁第49頁證下面只證公式(8),公式(9)可由對稱性及公式(8)推得,而最后一個公式則可由公式(8),(9)推得.第50頁第50頁當

時,有第51頁第51頁移項并整理就得(8).4.其它形式在應用中

B函數(shù)也經(jīng)常以下列形式出現(xiàn):如令

則有如令則有第52頁第52頁考察令則有因此第53頁第53頁三、函數(shù)與函數(shù)之間關系

當為正數(shù)時,重復應用

B函數(shù)遞推公式,可得又由于因此第54頁第54頁即對任何正實數(shù)p,q也有相同關系:

這個關系式將在第二十一章§8中加以證實.第55頁第55頁例1求證證令則第56頁第56頁再令則第57頁第57頁復習思考題1.若是定義在函數(shù),試定義含參量積分一致收斂性.2.若是定義在函數(shù),試推廣含參量積分一致收斂性

M判別法.

第58頁第58頁函數(shù),

若含參量積分為一致收斂,試證在

上連續(xù).

3.

若是定義在連續(xù)

第59頁第59頁小結(jié)絕對收斂第60頁第60頁§12.6含參量正常積分

對多元函數(shù)其中一個自變量進行積分形成函數(shù)稱為含參量積分,它可用來結(jié)構新非初等函數(shù).含參量積分包括正常積分和非正常積分兩種形式.

一、含參量正常積分定義

五、例題

四、含參量正常積分可積性

三、含參量正常積分可微性

二、含參量正常積分連續(xù)性

第61頁第61頁一、含參量正常積分定義設是定義在矩形區(qū)域上

定義在上以

y為自變量一元函數(shù).倘若這時

在上可積,則其積分值

是定義在上函數(shù).普通地,設為定義在區(qū)域二元函數(shù).當

x取上定值時,函數(shù)是第62頁第62頁上二元函數(shù),其中c(x),d(x)為定義在上連續(xù)函數(shù)(圖19-1),

若對于上每一固定

x值,

作為

y函

第63頁第63頁數(shù)在閉區(qū)間

上可積,則其積分值

是定義在上函數(shù).用積分形式(1)和(2)所定義這函數(shù)與通稱為定義在上含參量

x(正常)積分,

或簡稱為含參量積分.

第64頁第64頁二、含參量正常積分連續(xù)性定理12.1

()

若二元函數(shù)在矩

形區(qū)域上連續(xù),則函數(shù)在[a,b]上連續(xù).證

設對充足小(若

x為區(qū)間端點,

則僅考慮),于是

第65頁第65頁由于在有界閉區(qū)域

R上連續(xù),從而一致連續(xù),

即對任意總存在對R內(nèi)任意兩點

只要就有因此由(3),(4)可得,第66頁第66頁即I(x)在上連續(xù).同理可證:

若在矩形區(qū)域

R上連續(xù),則含參

量積分

在[c,d]上連續(xù).注1對于定理19.1結(jié)論也能夠?qū)懗上铝行问?第67頁第67頁若在矩形區(qū)域

R上連續(xù),則對任何

都有

這個結(jié)論表明,定義在矩形區(qū)域上連續(xù)函數(shù),其極限運算與積分運算順序是能夠互換.為任意區(qū)間.

注2由于連續(xù)性是局部性質(zhì),

定理19.1中條件第68頁第68頁定理12.2

()

若二元函數(shù)在區(qū)

域上連續(xù),其

中c(x),d(x)為

上連續(xù)函數(shù),則函數(shù)

在上連續(xù).證對積分(6)用換元積分法,令當y在c(x)與d(x)之間取值時,t在[0,1]上取值,且第69頁第69頁因此從(6)式可得由于被積函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù),

由定理19.1得積分

(6)所擬定函數(shù)F(x)在[a,b]連續(xù).

第70頁第70頁三、含參量正常積分可微性定理12.3

()若函數(shù)

與其偏導

數(shù)都在矩形區(qū)域

上連續(xù),

則函數(shù)

在上可微,且第71頁第71頁證對于內(nèi)任意一點x,設(若

x為區(qū)間端點,則討論單側(cè)函數(shù)),則由微分學拉格朗日中值定理及在有界閉

域

R上連續(xù)(從而一致連續(xù)),對只要

就有第72頁第72頁這就證實了對一切有第73頁第73頁上連續(xù),c(x),d(x)為定義在上

定理12.4

(可微性)設在

其值含于[p,q]內(nèi)可微函數(shù),則函數(shù)在上可微,且第74頁第74頁證把F(x)看作復合函數(shù):由復合函數(shù)求導法則及變動上限積分性質(zhì),有第75頁第75頁注由于可微性也是局部性質(zhì),定理12.3中條件

f與其中為任意區(qū)間.

第76頁第76頁四、含參量正常積分可積性由定理12.1與定理12.2推得:定理12.5

()

若在矩形區(qū)域

上連續(xù),則

I(x)與

J(x)分別在和上可積.

這就是說:在連續(xù)性假設下,同時存在兩個求積次序不同積分:與第77頁第77頁為書寫簡便起見,此后將上述兩個積分寫作與前者表示先對y求積然后對x求積,后者則表示求積順序相反.它們統(tǒng)稱為累次積分.在連續(xù)性假設下,累次積分與求積順序無關.定理12.6若在矩形區(qū)域上

連續(xù),則

第78頁第78頁證記其中對于則有由于與都在R上連續(xù),由

第79頁第79頁定理12.3,故得因此對一切有當

時,即得取

就得到所要證實(8)式.第80頁第80頁解記由于五、例題

例1求都是

a和

x連續(xù)函數(shù),由定理19.2已知I(a)在處連續(xù),

因此

第81頁第81頁例2討論函數(shù)連續(xù)性.解易見定義域為令上連續(xù),因此上連續(xù),從

而在上連續(xù).由任意性可得在上連續(xù).

第82頁第82頁例3計算積分解令上滿足定理19.3條件,于是

由于顯然且函數(shù)在第83頁第83頁因此第84頁第84頁因而第85頁第85頁另一方面因此分小時,函數(shù)(9)

各階導數(shù)存在，且例4設在某個鄰域內(nèi)連續(xù),驗證當|x|充第86頁第86頁解

由于(9)中被積函數(shù)以及其偏導數(shù)在原點某個方鄰域內(nèi)連續(xù),于

是由定理19.4可得

第87頁第87頁同理如此繼續(xù)下去，求得k階導數(shù)為尤其當時有第88頁第88頁于是

附帶闡明:當

x=0時,及其各導數(shù)為

例5求解由