初等數(shù)論的教學(xué)實(shí)踐與思考

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近年來(lái)，初等數(shù)論在計(jì)算機(jī)科學(xué)、組合數(shù)學(xué)、密碼學(xué)、代數(shù)編碼、計(jì)算方法等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，同時(shí)近代數(shù)學(xué)中大量重要的思想、概念、方法與技巧都是從對(duì)整數(shù)性質(zhì)的深入研究中不斷豐富和進(jìn)展起來(lái)的。因此，學(xué)習(xí)這門課程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)分外重要，與其它數(shù)學(xué)專業(yè)課程對(duì)比來(lái)看，初等數(shù)論貌似很簡(jiǎn)樸，但根據(jù)其涉及的題目卻形式多樣，解題時(shí)需要確定的技巧，所以真正教好、學(xué)好它并不輕易。如何調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，在教學(xué)過(guò)程中如何啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，提高初等數(shù)論的教學(xué)效果，對(duì)學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和畢業(yè)以后的教學(xué)研究和實(shí)踐有重要的意義。

一、挖掘教材中的隱性學(xué)識(shí)，拓寬學(xué)生學(xué)識(shí)面

教材中的學(xué)識(shí)可以分成兩類：一類是表述相對(duì)明顯，能被學(xué)生直接解讀、理解的學(xué)識(shí)；另一類是沒(méi)有直接表述出來(lái)的學(xué)識(shí)，需要經(jīng)過(guò)教師的點(diǎn)撥、講解才能彰顯出來(lái)，才能被學(xué)生理解，即我們通稱的隱性學(xué)識(shí)。在提防學(xué)識(shí)應(yīng)用才能培養(yǎng)的今天，教師很有必要在教學(xué)實(shí)踐中對(duì)教材中的隱性學(xué)識(shí)舉行充分的挖掘。

《初等數(shù)論》的內(nèi)容簡(jiǎn)明、語(yǔ)言精練，由此造成了不少的隱性學(xué)識(shí)。如在書(shū)本31頁(yè)有這樣一道習(xí)題：證明：二元一次不定方程ax+by=N，（a，b）=1，a＞1，b＞1，當(dāng)N＞ab-a-b時(shí)，有非負(fù)整數(shù)解。N=ab-a-b時(shí)那么不然。假設(shè)教師在教學(xué)中稍加引導(dǎo)，那么不難得到如下兩個(gè)結(jié)論：①不能表示成形如ax+by{（a，b）=1，a＞1，b＞1}的最大正整數(shù)為N=ab-a-b；②使ax+by=N無(wú)非負(fù)整數(shù)解的最大正整數(shù)N=ab-a-b。

教材中這樣的隱性學(xué)識(shí)好多，教師如能充分挖掘，便可拓寬學(xué)生的學(xué)識(shí)面，而且能增加學(xué)生對(duì)初等數(shù)論的學(xué)習(xí)興趣。

二、提防學(xué)識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，橫向輻射

任何學(xué)識(shí)點(diǎn)都不是孤立存在的，都與周邊其他學(xué)識(shí)點(diǎn)處于相互聯(lián)系中。同時(shí)，構(gòu)成某個(gè)學(xué)識(shí)點(diǎn)的各個(gè)要點(diǎn)也不是散亂的一團(tuán)，而是相互依存、有機(jī)聯(lián)系在一起的。老師在教學(xué)時(shí)確定要留神到學(xué)識(shí)點(diǎn)與學(xué)識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，以點(diǎn)帶動(dòng)面，以面帶動(dòng)板塊，以板塊舉行輻射，萬(wàn)不成把學(xué)識(shí)點(diǎn)舉行人為的孤立，無(wú)論對(duì)于學(xué)生的思維連貫性與廣度，都是分外不利的。

例如，《初等數(shù)論》第三章的第四節(jié)的后面片面介紹了一個(gè)既約分?jǐn)?shù){0＜a＜b，（a，b）=1}能夠化為純循環(huán)小數(shù)的充要條件以及化為混循環(huán)小數(shù)的充分條件。但是，書(shū)本報(bào)告我們的學(xué)識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些。

對(duì)于循環(huán)小數(shù)，小學(xué)數(shù)學(xué)中就有介紹，站在初等數(shù)論中的理論高度來(lái)說(shuō)，小學(xué)的內(nèi)容是缺乏確定的嚴(yán)謹(jǐn)性的，當(dāng)然也有確定的局限性。談到既約分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化，我們自然會(huì)斟酌下面的兩個(gè)問(wèn)題：任意給定一個(gè)分?jǐn)?shù)，它可以化成怎樣的小數(shù)？任意給定一個(gè)小數(shù)，它是否確定可以化成分?jǐn)?shù)？第一個(gè)問(wèn)題涉及到小數(shù)的分類，其次個(gè)問(wèn)題涉及到能夠表示成分?jǐn)?shù)的小數(shù)的特征。不難回復(fù)，我們可以把小數(shù)分成有限小數(shù)與無(wú)限小數(shù)，無(wú)限小數(shù)又可以分為循環(huán)小數(shù)與無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是不能表示成分?jǐn)?shù)的，也就是我們所說(shuō)的無(wú)理數(shù)。

在講授這片面內(nèi)容時(shí)，我們可以嘗試補(bǔ)充一下內(nèi)容，相信這樣的教學(xué)會(huì)比之前更精彩，內(nèi)容也更豐富，也更具吸引力。

三、把握學(xué)識(shí)的整體布局，縱向延遲

同一主題的學(xué)識(shí)點(diǎn)由于課程安置的需要，被放在不同的章節(jié)中。隨著學(xué)習(xí)的深入，有關(guān)這一主題的內(nèi)容不斷展現(xiàn)，雖然內(nèi)容有所不同，但其前后相繼的聯(lián)系分外緊密。假設(shè)細(xì)心分析，就會(huì)察覺(jué)它們是貫穿教材前后的一條線索。

教師在教學(xué)中假設(shè)能夠把相關(guān)內(nèi)容串聯(lián)起來(lái)，給學(xué)生一個(gè)明顯的脈絡(luò)，同時(shí)激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)去探索各個(gè)學(xué)識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，那么這將有助于學(xué)生從更高層次上把握教材的體系，構(gòu)建相應(yīng)的學(xué)識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使各學(xué)識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)化、專題化。

同余是數(shù)論中的重要概念，同余理論是研究整數(shù)問(wèn)題的重要工作之一。同余式性質(zhì)應(yīng)用分外廣泛，在處理某些整除性、進(jìn)位制、對(duì)整數(shù)分類、解不定方程等方面的問(wèn)題中有著不成替代的功能，與之緊密相關(guān)的的數(shù)論定理有歐拉定理、費(fèi)馬定理和中國(guó)剩余定理。

例如，在第四章§1根本概念及一次同余式中，教材給我們介紹了求解一次同余式的一般方法：將求解ax=b（modm）轉(zhuǎn)化為：求解二元一次不定方程ax-mt=b。在求解不定方程時(shí)，我們需要用到輾轉(zhuǎn)相除法，但是在不定方程的測(cè)驗(yàn)中，察覺(jué)學(xué)生用輾轉(zhuǎn)相除法時(shí)很輕易用過(guò)頭：往往“不提防”計(jì)算到了余數(shù)為0的結(jié)果一個(gè)商，這樣算出來(lái)的結(jié)果自然就不對(duì)了。所以在教學(xué)過(guò)程中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系各學(xué)識(shí)點(diǎn)，積極探索求解一次同余式更為簡(jiǎn)樸、易于操作的方法。

四、聯(lián)系生活，提防學(xué)識(shí)應(yīng)用

數(shù)學(xué)是一種工具，是一種將自然、社會(huì)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象法那么化、簡(jiǎn)約化的工具。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最重要成果就是學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型，用以解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)就是教人掌管這一工具并學(xué)會(huì)利用這一工具，對(duì)于初等數(shù)論教學(xué)當(dāng)然也不例外。

通過(guò)了解初等數(shù)論學(xué)識(shí)在實(shí)際中的廣泛運(yùn)用，可以培養(yǎng)學(xué)生濃重的學(xué)習(xí)興趣，自然學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性提高，教學(xué)也能收到良好的效果。

例如，將一根30米長(zhǎng)的鋼材，截割成規(guī)格分別為2米，3米和8米的較短的料，每種規(guī)格的料至少有1根，問(wèn)怎樣截才能使原來(lái)的鋼材恰好用完？

解：設(shè)2米，3米，8米的料分別截x，y，z根，根據(jù)題意有：2x+3y+8z=30由于每種規(guī)格的料至少1根，所以應(yīng)求方程的正整數(shù)解。

與解二元一次不定方程一樣，求三元一次不定方程的正整數(shù)解，可以先求它的通解，通過(guò)解一個(gè)二元一次不等式組，得到通解中兩個(gè)參數(shù)的取值范圍，從而找出原不定方程相應(yīng)的正整數(shù)解，但解二元一次不等式組對(duì)比麻煩，這里運(yùn)用逐次嘗試法，先確定其中一個(gè)未知數(shù)的取值范圍，然后對(duì)所取正整數(shù)值逐一試驗(yàn)求解。

在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)充分利用教材和習(xí)題，從教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)、教學(xué)對(duì)象的特點(diǎn)、教學(xué)資源等方面不斷探索、研究和改善，才能加強(qiáng)