局部等差數(shù)列與全局等差數(shù)列

局等數(shù)與局差列兼2011江省考學(xué)第等差數(shù)列有一個(gè)常見的性質(zhì)，那就是其下標(biāo)成等差數(shù)列的子數(shù)列仍構(gòu)成等差數(shù)列，比如說，若數(shù)列{}n

成等差數(shù)列，則子數(shù){a

2

}

，{

3

}

等仍成等差數(shù)列；但反過來，一個(gè)數(shù)列的某些下標(biāo)成等差數(shù)列的子數(shù)列為等差數(shù)列蘊(yùn)整個(gè)數(shù)列成等差數(shù)列呢？這樣一個(gè)有趣問題的特例，恰被選作2011年蘇省高考數(shù)學(xué)卷的壓軸題下面我們來研究這個(gè)有趣的問題．為行文方便，先給出一個(gè)定義：定：窮數(shù)列

{}n

中，若以前p(2)

項(xiàng)的任意一項(xiàng)作為首項(xiàng)，每隔p項(xiàng)構(gòu)成的子數(shù)列

{

kp

:kN}其

,

為常數(shù)，

s,

）均為等差數(shù)列，即下面的

個(gè)子數(shù)列⑴

a,a1

p

,a

2p

,a

3p

,

kp

,

，⑵

a,a2

p

,

2

,

3p

,

kp

,

，(

)

a,ap

2p

,a,a,,a34

,

，均為等差數(shù)列，則稱數(shù)列

{}n

為

局部等差數(shù)列，相對(duì)地，若數(shù){a}n

為等差數(shù)列，則稱數(shù)列

{}n

為全局等差數(shù)列．注

局部等差數(shù)列的定義等價(jià)于：數(shù){a}n

中，

a

n

n

n

n

對(duì)任意的n

成立．下面我們將證明在滿足一定的條件下，局部等差數(shù)列蘊(yùn)含全局等差數(shù)列．定設(shè)p,兩個(gè)互素的正整數(shù)p

數(shù)

{}是部差數(shù)列又是n

局部等差數(shù)列，則數(shù)列

{}n

必為全局等差數(shù)列．證：因

,

為兩個(gè)互素的正整數(shù)，由初等數(shù)論中不定方程的理論可知，不定方程lZ

必有正整數(shù)解對(duì)

(,)

則對(duì)滿足條件

q

的任意兩個(gè)正整數(shù)s和t程(mn對(duì)．

必有正整數(shù)解對(duì)

(mn即qn

必有正整數(shù)解而數(shù)列

{}n

既是

局部等差數(shù)列又是

局部等差數(shù)列即：數(shù)列

{}n

中，子數(shù)列

⑴

a,a1

p

,a

2p

,a

3p

,

kp

,，⑵

a,a2

p

,

2

,

3p

,

kp

,，

a,p

2p

,a,a,,a34

,都成等差數(shù)列；并且，子數(shù)列,a1

q

,

2

,

3

,

,，

a,a2

q

,

2

,

3

,a

,，(q

,a,,,aq2q

kq

,

，也都成等差數(shù)列．設(shè)等差數(shù)列⑴、⑵、的公差依次為x,x,x，差數(shù)列12p

、

、q

的公差依次為

y,1

q

．對(duì)任意的正整數(shù)r，若r

，則令x,1p，其中srm；若rq，則令srtr(m．

ytr

，其中先證

且yy1p1

q

．事實(shí)上，對(duì)滿足條的任意兩個(gè)正整數(shù)s和，

qn

必有正整數(shù)解對(duì)

(m)

，此時(shí)有a

pqpm

a

，

a

qn

，則：a

qx，a

pq

qn

py

t

，所以qxpys

t

，⑴由

,t

的任意性可知，

xx12

p

且

y12

q

成立．設(shè)

xx，yy12q

，由式⑴py；再設(shè)方程qv

的組整解為

v0

，有a

npu

n

，

a

n

n

，

a

n

n

0

，所

n

x數(shù)n0

，

（：

v0

為程

qv

的組解則通為pl

,lZ

，uxvy(ql)xv)yux)(pyxy00000

常）故數(shù)列

{}n

為全局等差數(shù)列，證畢．注定理中的條件“,q則：

為兩個(gè)互素的正整數(shù)”既是充分的，也是必要的．不妨設(shè)p

，⑴若q

是

的倍數(shù)時(shí)顯

局部等差數(shù)列蘊(yùn)含了q

局部等差數(shù)列而僅是p

局部等差數(shù)列并不能保證該數(shù)列為全局等差數(shù)列，反例只要使

,a12

3

不成等差數(shù)列即可，而這是可以做到的當(dāng)p可取a

2k

a

2

2，k當(dāng)p時(shí),a12

3

分別是三個(gè)無公共項(xiàng)的等差數(shù)列的首項(xiàng)，可取任意值；⑵若

pqp

時(shí)，可以構(gòu)造數(shù)列

{}n

為：

j

mk

j

,j,m，kN，容易驗(yàn)證，數(shù)列

{}p部差數(shù)列和q部等差數(shù)列但不是全局等差數(shù)列．n下面我們來看一下上面定理的一個(gè)應(yīng)用，即當(dāng)

時(shí)的特例，它被作為年江蘇省高考數(shù)學(xué)卷的第20題解答這個(gè)問題頗有一難度．題：M為分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列

{}首項(xiàng)a，n項(xiàng)的和為．知nn對(duì)任意的整數(shù)

kM

，當(dāng)整數(shù)

時(shí)，

n

n

2(S)n

都成立．⑴略；⑵設(shè)

M

，求數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)公式．解：略；⑵由題意知：①當(dāng)整數(shù)

3

時(shí)

n

n

S)n

都成立

S

n

n

n

),n3

，兩式相減，得：

a

2

3

，即：

n

n

a

n

n

,n

，也即數(shù)列

{:n為3部等差數(shù)列；n②當(dāng)整數(shù)

時(shí)

n

n

S)n

都成立

S

n

n

S

n

),n4

，兩式相減，得：

n

n

2

n

,4

，即：

n

n

n

n

,

，也即數(shù)列

{:nn

為

局部等差數(shù)列；③由①②及上面的定理可知，數(shù){a:n2}n

為等差數(shù)列，并設(shè)其公差為，此可知：S而2時(shí)a)12

(2)2

d

，而在①的

n

n

2(S)n3

中令

，有：即：

2()，7(1a)a))]22

，故：a

，⑴④由①②中的

3

時(shí)，

n

n

2(Sn3

和

時(shí)，