高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題第⑧季解三角形解三角形

第5節(jié)解三角形綜合應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c22bccos__A；b2＝c2＋a22cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常見(jiàn)變形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r.【規(guī)律技巧】注意角化邊和邊化角的應(yīng)用【典例講解】例1、在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2cos2eq\f(A－B,2)cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－eq\f(3,5).(1)求cosA的值；(2)若a＝4eq\r(2)，b＝5，求向量eq\o(BA,\s\up10(→))在eq\o(BC,\s\up10(→))方向上的投影．【提分秘籍】正弦定理、余弦定理及其在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，主要利用正弦定理、余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形的度量問(wèn)題以及幾何計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題，常與三角變換、三角函數(shù)的性質(zhì)交匯命題、多以解答題形式出現(xiàn)．【針對(duì)訓(xùn)練】1.在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，則c等于()A．5eq\r(2)B．10eq\r(2)\f(10\r(6),3)D．5eq\r(6)【答案】C2.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知的面積為，則的值為.【答案】3.在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若，則B=()A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】A【解析】∵，∴a=c，∵，∴cosB=，∴B=30°，故選A.4.設(shè)的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若，則的形狀為（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不確定【答案】A5.在中，若，三角形的面積，則三角形外接圓的半徑為 【答案】B【練習(xí)鞏固】1．在△ABC中，A，B，C為內(nèi)角，且sinAcosA＝sinBcosB，則△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【解析】由sinAcosA＝sinBcosB得sin2A＝sin2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以△ABC為等腰或直角三角形，選D.【答案】D2．在斜三角形ABC中，sinA＝－eq\r(2)cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－eq\r(2)，則角A的值為()\f(π,4) \f(π,3)\f(π,2) \f(3π,4)【答案】A3．在銳角△ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b.若2asinB＝eq\r(3)b，則角A等于()\f(π,12) \f(π,6)\f(π,4) \f(π,3)【解析】由已知及正弦定理得2sinAsinB＝eq\r(3)sinB，因?yàn)閟inB>0，所以sinA＝eq\f(\r(3),2).又A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以A＝eq\f(π,3).【答案】D4．在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，則B的值為()\f(π,6) B.eq\f(π,3)\f(2π,3) \f(5π,6)【解析】由題意得acosC＋ccosA＝2bcosB，又a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，得sin(A＋C)＝2sinBcosB，即sinB＝2sinBcosB，在△ABC中，0<B<π，∴sinB≠0，∴cosB＝eq\f(1,2)，∴B＝eq\f(π,3).【答案】B5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，ac＝3，且a＝3bsinA，則△ABC的面積等于()\f(1,2) \f(3,2)C．1 \f(3,4)【答案】A6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，且c＝2a，則cosB\f(1,4) \f(3,4)\f(\r(2),4) \f(\r(2),3)【解析】因?yàn)閟inA，sinB，sinC成等比數(shù)列，所以sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得，b2＝ac，又c＝2a，故cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(4a2＋a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4)，故選B.【答案】B7．△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若a2－c2＝2b，且sinB＝6cosA·sinC，則b的值為_(kāi)_______．【解析】由正弦定理與余弦定理可知，sinB＝6cosAsinC可化為b＝6·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)·c，化簡(jiǎn)可得b2＝3(b2＋c2－a2)，又a2－c2＝2b且b≠0，得b＝3.【答案】38．在銳角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的對(duì)邊，且eq\r(3)a＝2csinA.(1)求角C的度數(shù)；(2)若c＝eq\r(7)，且△ABC的面積為eq\f(3\r(3),2)，求a＋b的值．9．已知函數(shù)f(x)＝2sinxcosx＋2eq\r(3)cos2x－eq\r(3)，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)在銳角△ABC中，若f(A)＝1，eq\