2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布11.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理真題演練集訓(xùn)理新人教A版

PAGEPAGE32022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布11.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理真題演練集訓(xùn)理新人教A版1．[2022·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ]如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，那么小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24B．18C．12D．9答案：B解析：由題意可知E→F共有6種走法，F(xiàn)→G共有3種走法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×3＝18(種)走法，應(yīng)選B.2．[2022·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ]定義“標(biāo)準(zhǔn)01數(shù)列〞{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)．假設(shè)m＝4，那么不同的“標(biāo)準(zhǔn)01數(shù)列〞共有()A．18個(gè)B．16個(gè)C．14個(gè)D．12個(gè)答案：C解析：由題意可得，a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3個(gè)0、3個(gè)1，且滿足對(duì)任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，利用列舉法可得不同的“標(biāo)準(zhǔn)01數(shù)列〞有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14個(gè)．3．[2022·四川卷]用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．24B．48C．60D．72答案：D解析：由題意可知，個(gè)位可以從1,3,5中任選一個(gè)，有Aeq\o\al(1,3)種方法，其他數(shù)位上的數(shù)可以從剩下的4個(gè)數(shù)字中任選，進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，所以奇數(shù)的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝3×4×3×2×1＝72，應(yīng)選D.4．[2022·四川卷]用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A．144個(gè) B．120個(gè)C．96個(gè) D．72個(gè)答案：B解析：當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為4時(shí)，個(gè)位數(shù)字從0,2中任選一個(gè)，共有2Aeq\o\al(3,4)個(gè)偶數(shù)；當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為5時(shí)，個(gè)位數(shù)字從0,2,4中任選一個(gè)，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)個(gè)偶數(shù)．故符合條件的偶數(shù)共有2Aeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＝120(個(gè))．課外拓展閱讀應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解涂色問題[典例]如下圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數(shù)為________．[審題視角]染色問題是常見的計(jì)數(shù)應(yīng)用問題，可從選顏色、選頂點(diǎn)進(jìn)行分類、分步，從不同角度解決問題．[解析]解法一：可分為兩大步進(jìn)行，先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色，然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)論．由題設(shè)，四棱錐S－ABCD的頂點(diǎn)S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60(種)染色方法．當(dāng)S，A，B染好時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3.假設(shè)C染2，那么D可染3或4或5，有3種染法；假設(shè)C染4，那么D可染3或5，有2種染法；假設(shè)C染5，那么D可染3或4，有2種染法．可見，當(dāng)S，A，B已染好時(shí)，C，D還有7種染法，故不同的染色方法有60×7＝420(種)．解法二：以S，A，B，C，D順序分步染色．第一步，點(diǎn)S染色，有5種方法；第二步，點(diǎn)A染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步，點(diǎn)B染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步，點(diǎn)C染色，也有3種方法，但考慮到點(diǎn)D與S，A，C相鄰，需要針對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類：當(dāng)A與C同色時(shí)，點(diǎn)D有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時(shí)，因?yàn)镃與S，B也不同色，所以點(diǎn)C有2種染色方法，點(diǎn)D也有2種染色方法．所以不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種)．解法三：按所用顏色種數(shù)分類．第一類，5種顏色全用，共有Aeq\o\al(5,5)種不同的方法；第二類，只用4種顏色，那么必有某兩個(gè)頂點(diǎn)同色(A與C，或B與D)，共有2×Aeq\o\al(4,5)種不同的方法；第三類，只用3種顏色，那么A與C，B與D必定同色，共有Aeq\o\al(3,5)種不同的方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理，得不同的染色方法總數(shù)為Aeq\o\al(5,5)＋2×Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(3,5)＝420(種)．[答案]420方法點(diǎn)睛兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用的常見題型與求解策略題型求解策略組數(shù)問題一般按特殊位置(如末位和首位)由誰(shuí)占領(lǐng)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的方法分步完成涂色問題一般有兩種方案：(1)