山東省威海中考數(shù)學(xué)試題解析版-001

2019年山東省威海市中考數(shù)學(xué)試卷

一'選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一個(gè)是正確的.每小題選對(duì)得3分，選錯(cuò)、不選或多選，均不得分）

1.（3分）-3的相反數(shù)是（）

A.-3B.3C.1.D.

33

2.（3分）據(jù)央視網(wǎng)報(bào)道，2019年1?4月份我國(guó)社會(huì)物流總額為88.9萬(wàn)億元人民幣，“88.9

萬(wàn)億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.8.89X1013B.8.89X1012C.88.9X10,2D.8.89X101'

3.（3分）如圖，一個(gè)人從山腳下的4點(diǎn)出發(fā)，沿山坡小路48走到山頂5點(diǎn).已知坡角為

20°,山高口=2千米.用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算小路48的長(zhǎng)度，下列按鍵順序正確的是（）

A0EJH0ESB.

00EB00SD.0QB00H

4.（3分）如圖所示的幾何體是由幾個(gè)大小相同的小正方體搭成的，其俯視圖是（）

ZZ7I

5.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（a2）3=aB.3a+a=3a

C.a^a=a（a豐0）D.a（/1）=a+1

6.（3分）為配合全科大閱讀活動(dòng)，學(xué)校團(tuán)委對(duì)全校學(xué)生閱讀興趣調(diào)查的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理.欲

反映學(xué)生感興趣的各類(lèi)圖書(shū)所占百分比，最適合的統(tǒng)計(jì)圖是（）

A.條形統(tǒng)計(jì)圖B.頻數(shù)直方圖C.折線統(tǒng)計(jì)圖D.扇形統(tǒng)計(jì)圖

7.（3分）如圖，E是p4宓〃邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接維，CE,BD,BE交CD于&F.添加

以下條件，不能判定四邊形8的為平行四邊形的是（）

E

AB

A.Z.ABD=ADCEB.DF=CFC./AEB=Z.BCDD.NAEC=4CBD

8.（3分）計(jì)算（丘-3）°+V27-（-返）的結(jié)果是（）

3

A.1+金?B.1+273C.如D.1+473

3

3-x》4①

9.（3分）解不答式組22…時(shí)，不等式①②的解集在同一條數(shù)軸上表示正確的

冬+l〉x\?②

JJ

是（）

J_I_1_I_I_I_I_I_b-

A.?3?24012347

111j1ill

B.0I2345

C.?3?2-1012345

iiji」i」iJ.

D.-3-2-1012345

10.（3分）已知a,6是方程￥+*-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則--加2019的值是（）

A.2023B.2021C.2020D.2019

11.（3分）甲、乙施工隊(duì)分別從兩端修一段長(zhǎng)度為380米的公路.在施工過(guò)程中，乙隊(duì)曾

因技術(shù)改進(jìn)而停工一天，之后加快了施工進(jìn)度并與甲隊(duì)共同按期完成了修路任務(wù).下表

是根據(jù)每天工程進(jìn)度繪制而成的.

施工時(shí)間/天123456789

累計(jì)完成施工量/3570105140160215270325380

米

下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.甲隊(duì)每天修路20米

B.乙隊(duì)第一天修路15米

C.乙隊(duì)技術(shù)改進(jìn)后每天修路35米

D.前七天甲，乙兩隊(duì)修路長(zhǎng)度相等

12.（3分）如圖，。P與x軸交于點(diǎn)4（-5,0）,B（1,0）,與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.若

NACB=60；則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為（）

A.B.2揚(yáng)EC.4MD.2折2

二'填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.只要求填出最后結(jié)果）

13.（3分）把一塊含有45°角的直角三角板與兩條長(zhǎng)邊平行的直尺如圖放置（直角頂點(diǎn)在

直尺的一條長(zhǎng)邊上）.若N1=23°,則N2=°.

15.（3分）如圖，在四邊形483中，AB//DC,過(guò)點(diǎn)。作您，仇?，交力。于點(diǎn)￡,連接匹

/BEg/DEC、若則但.

16.（3分）一元二次方程3x?=4-2x的解是.

17.（3分）如圖，在四邊形48緲中，AB//CD,連接AC,BD.若NACB=90°,AC=BC,AB

18.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)48在反比例函數(shù)y=K（k*0）的圖象上運(yùn)

動(dòng)，且始終保持線段4y的長(zhǎng)度不變.”為線段48的中點(diǎn)，連接0〃則線段。/長(zhǎng)

度的最小值是（用含R的代數(shù)式表示）.

三'解答題（本大題共7小題，共66分）

19.（7分）列方程解應(yīng)用題：

小明和小剛約定周末到某體育公園打羽毛球.他們兩家到體育公園的距離分別是1200米，

3000米，小剛騎自行車(chē)的速度是小明步行速度的3倍，若二人同時(shí)到達(dá)，則小明需提前

4分鐘出發(fā)，求小明和小剛兩人的速度.

20.（8分）在一個(gè)箱內(nèi)裝入只有標(biāo)號(hào)不同的三顆小球，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3.每次隨機(jī)取出

一顆小球，記下標(biāo)號(hào)作為得分，再將小球放回箱內(nèi).小明現(xiàn)已取球三次，得分分別為1

分，3分，2分，小明又從箱內(nèi)取球兩次，若五次得分的平均數(shù)不小于2.2分，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)

狀圖或列表的方法，求發(fā)生“五次取球得分的平均數(shù)不小于2.2分”情況的概率.

21.（8分）（1）閱讀理解

如圖，點(diǎn)48在反比例函數(shù)y=L的圖象上，連接48,取線段48的中點(diǎn)C.分別過(guò)點(diǎn)4

X

C,8作X軸的垂線，垂足為￡F,G,小交反比例函數(shù)/=L的圖象于點(diǎn)。.點(diǎn)￡F,G

X

的橫坐標(biāo)分別為“-1,","1

小紅通過(guò)觀察反比例函數(shù)y=上的圖象，并運(yùn)用幾何知識(shí)得出結(jié)論：

X

A&BG=2CF,CF>DF

由此得出一個(gè)關(guān)于」2,之間數(shù)量關(guān)系的命題：

n-ln+1n

若〃>1,則.

（2）證明命題

小東認(rèn)為：可以通過(guò)“若a-6》0,則的思路證明上述命題.

小晴認(rèn)為：可以通過(guò)“若a>0,b>Q,且則的思路證明上述命題.

請(qǐng)你選擇一種方法證明（1）中的命題.

22.（9分）如圖是把一個(gè)裝有貨物的長(zhǎng)方體形狀的木箱沿著坡面裝進(jìn)汽車(chē)貨廂的示意圖.已

知汽車(chē)貨廂高度86=2米，貨廂底面距地面的高度仍=0.6米，坡面與地面的夾角N外〃

=a,木箱的長(zhǎng)（F6為2米，高（㈤和寬都是1.6米.通過(guò)計(jì)算判斷：當(dāng)sina=a,

5

木箱底部頂點(diǎn)C與坡面底部點(diǎn)4重合時(shí)，木箱上部頂點(diǎn)E會(huì)不會(huì)觸碰到汽車(chē)貨廂頂部.

23.（10分）在畫(huà)二次函數(shù)（a右。）的圖象時(shí)，甲寫(xiě)錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，列表

如下

X......-10123......

V甲......63236......

乙寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，列表如下:

X......-10123......

V乙-2-12714......

通過(guò)上述信息，解決以下問(wèn)題:

（1）求原二次函數(shù)y=a/+6肝c（a*Q）的表達(dá)式；

（2）對(duì)于二次函數(shù)y=a/+6/。%去0）,當(dāng)^時(shí)，y的值隨x的值增大而增大；

（3）若關(guān)于x的方程a/+6/c=A5豐0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求幺的取值范圍.

24.（12分）如圖，在正方形483中，48=10c叫￡為對(duì)角線劭上一動(dòng)點(diǎn)，連接〃；CE,

過(guò)￡點(diǎn)作爐_L/IE交直線外于點(diǎn)尸.￡點(diǎn)從8點(diǎn)出發(fā)，沿著被方向以每秒2cm的速度運(yùn)

動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)石與點(diǎn)。重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)△弼的面積為人步，&點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為X秒.

備用圖

(1)求證：CE=EF；

(2)求y與x之間關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

(3)求△比尸面積的最大值.

25.(12分)(1)方法選擇

如圖①，四邊形俶切是。。的內(nèi)接四邊形，連接妝BD,AB=BXAC.求證：BMAKCD.

小穎認(rèn)為可用截長(zhǎng)法證明：在加上截取加肥，連接

小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明：延長(zhǎng)必至點(diǎn)乂使得加

請(qǐng)你選擇一種方法證明.

(2)類(lèi)比探究

【探究1】

如圖②，四邊形四”?是。。的內(nèi)接四邊形，連接4C,BD,8c是。。的直徑，為8=4C.試

用等式表示線段加，BD,3之間的數(shù)量關(guān)系，井證明你的結(jié)論.

【探究2】

如圖③，四邊形形切是。。的內(nèi)接四邊形，連接他BD.若比是。。的直徑，NABC=

30°,則線段/〃，BD,切之間的等量關(guān)系式是.

(3)拓展猜想

如圖④，四邊形是。。的內(nèi)接四邊形，連接4C,BD.若8c是。。的直徑，BC-.ACz

2019年山東省威海市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一個(gè)是正確的.每小題選對(duì)得3分，選錯(cuò)、不選或多選，均不得分)

1.【解答】解：-3的相反數(shù)是3.

故選：B.

2.【解答】解:法一：88.9萬(wàn)億=88.9X1()4X1O8=88.9X1O'2

用科學(xué)記數(shù)法表示：88.9X10'2=8.89X10n

法二：科學(xué)記數(shù)法表示為：88.9萬(wàn)億=8890000000000=8.89X10”

故選：A.

3.【解答】解：在中，si"=sin20°=匹，

AB

-BC=2

"sin20°sin20°

按鍵順序?yàn)?2-?sin20=

故選：A.

4.【解答】解：從上面看，得到的視圖是：LJ,

故選：C.

5.【解答】解：A(a2)3=/,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、3a+a,不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、a-^a—a(a#=0),正確；

D、a(>1)=a+a,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

6.【解答】解：欲反映學(xué)生感興趣的各類(lèi)圖書(shū)所占百分比，最適合的統(tǒng)計(jì)圖是扇形統(tǒng)計(jì)圖.

故選：D.

7.【解答】解：?.?四邊形/成沙是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,

：.DE//BC,/ABX2CDB,

'：NABD=Z.DCE,

NDCE=/CDB、

C.BD//CE,

為平行四邊形，故4正確；

-：DE//BC,

NDEF=NCBF,

'/DEF二NCBF

在/\DEF與4CBF中,ZDFE=ZCFB,

DF=CF

???△，￡&△慚（A4S）,

:.EF=BF、

,:DF=CF,

.二四邊形仇卻為平行四邊形，故8正確；

-AE//BG,

4AEB=NCBF,

'//AEB=/BCD,

：?/CBF=/BCD、

:?CF=BF、

同理，EF=DF、

??.不能判定四邊形成順為平行四邊形；故C錯(cuò)誤;

'CAE//BC.

??./DE3/BCE=/ED卅/DBC=\8G,

*/NAEC=NCBD,

:NBDE=NBCE,

???四邊形仇即為平行四邊形，故〃正確，

8.【解答】解：原式=1+

故選：D.

9.【解答】解：解不等式①得：xW-1,

解不等式②得：%<5,

將兩不等式解集表示在數(shù)軸上如下：

11j11111A.

-3-2-1012345

故選：D.

10?【解答】解：a,6是方程『+x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

b=3-IJ,a^b--1,ab-3,

Aa-b+2019=a-3+h2+2019=（尹6）2-2aZ>+2016=1+6+2016=2023；

故選：A.

11.【解答】解：由題意可得，

甲隊(duì)每天修路：160-140=20（米），故選項(xiàng)4正確；

乙隊(duì)第一天修路：35-20=15（米），故選項(xiàng)8正確；

乙隊(duì)技術(shù)改進(jìn)后每天修路：215-160-20=35（米），故選項(xiàng)C正確；

前7天，甲隊(duì)修路：20X7=140米，乙隊(duì)修路：270-140=130米，故選項(xiàng)〃錯(cuò)誤;

故選：D.

12.【解答】解：連接版PB,PC,過(guò)。作戶九須于。，PE1BC于E,

,:N4CB=60°,

二.N4陽(yáng)=120°,

?：PA=PB,

；.NPAB=NPBA=3Q°,

■：A（-5,0）,B（1,0）,

；?AB=6,

；.AD=BD=3,

「?勿=遂，PA=PAPX2M,

'：PDLAB、PELBC,/A0C=q0°,

r.四邊形戶是矩形，

：.0E=PD=M，PE=OA2.

C￡='PC2_pE2=，12-4=2a,

0gC日0E=2^^氏,

..?點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2心M，

故選：8.

二'填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.只要求填出最后結(jié)果）

13.【解答】解：?二△/ISC是含有45°角的直角三角板，

，4=NG=45°,

VZ1=23°,

:.N4GB=NON1=68°,

?：EF//BD,

；.N2=NAGB=68°；

故答案為：68.

14?【解答】解：原式=2(%-A+1)

4

=2(x--)2.

2

故答案為：2(x-1)L

2

15.【解答］解：如圖，延長(zhǎng)8C、相交于點(diǎn)尸,

?：CELBC,

BCE=/FCE=9N,

YNBEC=/DEC,CE=CE,

：./\EBC^/\EFC{ASA),

:?BC=CF、

'：AB//DC,

：,AD=DF,

■,-z?6?=yAB=6Xy=3-

故答案為：3.

16.【解答]解：3，=4-2x

3/+2x-4=0,

貝lj6?-4ac=4-4X3*(-4)=52>0,

故片一2土屈,

6__

解得：必=*!S,X2=±fil

33_

故答案為：X1=―?413_,X2=-.

33

17.【解答】解：作巫，絲于￡CF'AB^F,如圖所示:

貝I]DE=CF,

,:CFLAB、ZACB=90°,AC=BC,

：.CF=AF=BF=LAB,

2

,:AB=BD,：.DE=CF=LAB=LBD,/BAD=NBDA、

22

；.N480=30°,

:./BAD=ZBDA=15°,

?：AB//CD,

：.AADC+^BAD=^,

二N4%=105°；

故答案為：105。.

D

18.【解答］解：如圖，當(dāng)時(shí)，線段0〃長(zhǎng)度的最小,

..力為線段的中點(diǎn)，

：.OA=OB,

???點(diǎn)48在反比例函數(shù)y=k(^0)的圖象上，

X

???點(diǎn)力與點(diǎn)8關(guān)于直線V=x對(duì)稱，

,?,34圾，

二可以假設(shè)/(m,X),則8(*4,X-4),

IDID

irrt-4ro-4

解得k—m+4/77,

.'.A(/77,m4),B(m4,ni),

(府2,m2),

-'-0M=72(irri-2)2=V2(m2+4in)+8=^k+8，

的最小值為｛2k+8?

故答案為j2k+8-

三'解答題(本大題共7小題，共66分)

19.【解答】解：設(shè)小明的速度是x米/分鐘，則小剛騎自行車(chē)的速度是3萬(wàn)米/分鐘,根據(jù)題

意可得：

1200_4=3000,

x3x

解得：x=50,

經(jīng)檢驗(yàn)得：x=50是原方程的根，故3x=150,

答：小明的速度是50米/分鐘，則小剛騎自行車(chē)的速度是150米/分鐘.

20?【解答】解：樹(shù)狀圖如下：

123

1731?31-)3

共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，

由于五次得分的平均數(shù)不小于2.2分，

???五次的總得分不小于11分，

二后2次的得分不小于5分，

而在這9種結(jié)果中，得出不小于5分的有3種結(jié)果，

..?發(fā)生“五次取球得分的平均數(shù)不小于2.2分”情況的概率為

93

21.【解答】解：(1).:A?BG=2CF、CF>DF,/86=^—,DF=L,

n~ln+1n

n-1n+1n

故答案為：

n~ln+1n

999

(2)方法??1)1_2=n+n+nf-2n+2=2

n-ln+1nn(n-l)(n+1)n(n-l)(n+1)

Vn>1,

:.n(n-1)(加1)>0,

_-2>o,

n-ln+1n

n-ln+1n

方法二：

一n-1

n

n-ln+1n

22.【解答】解：???8/U0.6米，sina=3,

5

?AR—BH_0.6一〔

..回sina--米,

5

??j/uo.8米,

"：AF=Fg2米、

：.BF=\米,

作FJL8G于點(diǎn)J,作EKI.￡/于點(diǎn)K,

■:EF=FB=AB=、米'NEKF=ZFJB=/AHB=9Q",NEFK=ZFBJ=NABH,

△EFKQ△FB擔(dān)叢ABH、

：.EK=FJ=AH,BJ=BH,

:.BKEK=O.6+0.8=1.4<2,

???木箱上部頂點(diǎn)E不會(huì)觸碰到汽車(chē)貨廂頂部.

23?【解答】解：(1)由甲同學(xué)的錯(cuò)誤可知c=3,

由乙同學(xué)提供的數(shù)據(jù)選x=-1,y=-2；x=1,y=2,

有［-2=a-b+3,

12=a+b+3

.(a=-3

lb=2'

y=-3X+2A+3；

(2)y=-3f+2/3的對(duì)稱軸為直線x=L,

3

,拋物線開(kāi)口向下，

.?.當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而增大；

3

故答案為《工；

3

(3)方程a，+6/c=%(a#0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

即-3『+2/3-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

.,.△=4+12(3-A)>0,

???Y獨(dú)；

3

24.【解答】(1)證明：過(guò)E忤MN〃AB、交AD于M,交.BC于N,

.?.四邊形是正方形，

：.AD//BC,ABLAD.

：,MNVAD,MNA.BC,

：.NAME=NFNE=9G=NNF84FEN,

?：AE1EF,

：?4AEF=4AE%/FEN=9N,

???NAEM=NNFE,

ZDBC=45°,NBNE=90°,

：,BN=EN=AM,

:.△AEM^XEFN(A4S),

:?AE=EF,

.?.四邊形彳仇力是正方形，

:?AD=CD、4ADE=4CDE,

,:DE=DE,

:.△ADEQXCDE(%S),

：.AE=CE=EF；

（2）解：在RtZk8緲中，由勾股定理得：BD=7102+102=1

.,?0Wx/5

由題意得：BE=2x、

：,BN=EN=MX、

由（1）知：XAE旭4EFN,

??.ME=FN,

YAB=MN=0

；,ME=FN=10-?x,

/.BF=FN-BN=10-血x-近x=10-2yx,

?"胸?EN=/(10-2圾x)?后x=-2￥+5&x(0W*W5病

X=-2

(3)解：y=-2x+5V22(x-5y>+,^?

44

V-2<0,

???當(dāng)x=E返時(shí)，y有最大值是空；即△而面積的最大值是空.

444

25.【解答】解：(1)方法選擇：宓=.

，ACB=/ABC=60°,

如圖①，在劭上截取則44連接他

VZADB=ZACB=6Q°,

???△力//是等邊三角形，

'：NABM=4ACD,

?：/AMB=4ADC='200,

：./\ABM^f\ACD(MS),

：.BM=CD、

，BD=B/^DM=C>AD；

(2)類(lèi)比探究：如圖②，

.?.8C是。。的直徑，

ZBAC=90°,

??Y8=4a

?,.NABC=/ACB=45°,

過(guò)力作4fL47交BD于M,

VZADB=ZACB=45°,

???△兒湖是等腰直角三角形,

，AAf=A。,N4仞=45°,

.\DM=\pZAD,

，N4M8=N4)C=135°,

YNABM=NACD,

{AAS}.

:.BM=CD,

BD=B聃DM=C>JiAD；

【探究2】如圖③，:若8c是。。的直徑，N力及=30°,

：?NBAC=9G,/ACB=60°,

過(guò)力作4a4?交劭于M

ZADB=ZACB=60°,

：.^AMD=3Q°,

，MD=2AD,

?：4ABD=4ACD、ZAMB=ZADC=]50°,

:?△ABM^XACD、

.??迪3=正，

CDAC

：.BD=B%DM=MCDRAD；

故答案為：BD=MCM2AD：

(3)拓展猜想：BgB%DM=±c2AD；

bb

理由：如圖④，?.?若8c是。。的直徑，

ZBAC=90a,

過(guò)/作他14?交BD于M,

；.N物〃=90°,

/BAM=/DAC、

：./\ABM^/\ACD,

.BM_AB_c

"CD^ACV

：.BM=^CD,

b

?:』ADB=NACB,4BAC=NNAgqG,

:?l\AD頻XACB、

■AD_AC_b

"DMBC7

：.DM=^-AD,

b

BD=B雌DM=2C>3AD.

bb

故答案為：BD=^C出立AD

bb

------

圖④

圖③

圖①

初中數(shù)學(xué)重要公式

1、幾何計(jì)數(shù)：

⑴當(dāng)一條直線上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，在這條直線上存在條線段.

⑵平面內(nèi)有"個(gè)點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)確定一條直線，在這個(gè)平面內(nèi)最多存在條直線.

⑶如果平面內(nèi)有n條直線，最多存在個(gè)交點(diǎn).

⑷如果平面內(nèi)有n條直線，最多可以將平面分成部分.

（5）、有公共端點(diǎn)的n條射線（兩條射線的最大夾角小于平角），則存在個(gè)角.

2、AB//CD,分別探討下面四個(gè)圖形中/仍?與/為6、的關(guān)系。

3、全等三角形的判定方法：

a.三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為）.

b.兩個(gè)角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為）.

c.兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為）.

d.兩條邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為）.

e.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)記為）.

4、坐標(biāo)系中的位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，位似

比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于.

5、”邊形的內(nèi)角和等于；多邊形的外角和都等于.

6、在四邊形的四個(gè)內(nèi)角中，最多能有—3一個(gè)鈍角，最多能有—3一個(gè)銳角.如果一個(gè)多邊

形的邊數(shù)增加1,那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和增加180—度.

4.n邊形有條對(duì)角線.

5、用、完全相同的一種或幾種進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙，

不重疊的鋪成一片，就是平面圖形的.

［注意］要實(shí)現(xiàn)平面圖形的鑲嵌，必須保證每個(gè)拼接點(diǎn)處的角恰好能拼成°.

［總結(jié)］平面圖形的鑲嵌的常見(jiàn)形式

⑴用同一種正多邊形可以鑲嵌的只有三種情況：個(gè)正三角形或個(gè)正四邊

形或個(gè)正六邊形.

⑵用兩種正多邊形鑲嵌

①用正三角形和正四邊形鑲嵌：個(gè)正三角形和個(gè)正四邊形；

②用正三角形和正六邊形鑲嵌：用個(gè)正三角形和個(gè)正六邊形或者用

個(gè)正三角形和個(gè)正六邊形；

③用正四邊形和正八邊形鑲嵌：用個(gè)正四邊形和個(gè)正八邊形可以鑲嵌.

⑶用三種不同的正多邊形鑲嵌

用正三角形、正四邊形和正六邊形進(jìn)行鑲嵌，設(shè)用m塊正三角形、n塊正方形、k塊正六邊

形，則有60m+90"+120k=360,整理得,因?yàn)閚?、n、k為整數(shù)，所

以m=,n-,k=,即用塊正方形，塊正三角

形和塊正六邊形可以鑲嵌.

6、梯形常用輔助線做法:

7、如圖：中，ZACB=90°,CD±ABTD,

則有:

(1)、ZACD=ZBZDCB=ZA

(2)由RtA4BCsRtA4CD得到AC1=ADAB

由MAABCsRtACBD得到BC2=BDAB

由RtZ\AC。sRtACBD得到CN=ADBI^

⑶,由等積法得到ABXCD=ACXBC

8、若將半圓換成正三角形、正方形或任意的相似形，S1+S2=S3都成立。

9、在解直角三角形時(shí)常用詞語(yǔ):

1.仰角和俯角

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做,視線在水平線下方的叫做

2.坡度和坡角

通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度I之比叫,用字母i表示，即i=,把

坡面與水平面的夾角叫做,記作a,于是i==tana,顯然，坡度越大,

a角越大，坡面就越陡.

10.正多邊形的有關(guān)計(jì)算

邊長(zhǎng)：a=2R?,sin----周長(zhǎng)：P?=n?a?

nn

180°面積：5,=1a-r'n

邊心距:；=R“"cosnn

n

n-2X180°360°360°

內(nèi)角:外角:中心角:

nnn

11、特殊銳角三角函數(shù)值

30"45°60°

J_V3

Sina

2~22

V3]_

Cosa

~T2

.73

tana1V312、某些數(shù)列前n項(xiàng)之和

3

1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+

n=n(n+l)/2

V3

Cota顯11+3+5+7+9+11+13+15+…

+(2n-l)=n2

2+4+6+8+10+12+14+...+(2

n)=n(n+l)

13、平行線段成比例定理

(1)平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比

例。

如圖：a〃b〃c,直線/i與匕分別與直線a、b、c相交與點(diǎn)八、8、C和E、F,

m±ABDEABDEBCEF

BCEFACDFACDF

(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)

應(yīng)線段成比例。如圖：△A8C中，DE〃BC,DE與八8、AC相交與點(diǎn)E,則有:

AD_AEAD_AE_DEDBEC

~DB~~EC'~AB~~AC~~BC'~AB~~AC

14、極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式:

①極差：

用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來(lái)反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差

稱為極差，即：極差=最大值-最小值；

②方差：

數(shù)據(jù)再、x2...,X“的方差為

③標(biāo)準(zhǔn)差：

數(shù)據(jù)匹、x2……,X”的標(biāo)準(zhǔn)差S,

一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大。

15、求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

①公式法：y-ax2+bx+c-(ix+-頂點(diǎn)是

V2a)4a

/bAac-b2、,h

(----,---------),對(duì)稱軸友e.直線vX=----o

2a4a2a

②配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=a(x-+Z的形式,

得到頂點(diǎn)為(心口，對(duì)稱軸是直線x=〃。

③運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與

拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。

若已知拋物線上兩點(diǎn)(苞》)、。2，>)(及y值相同)，則對(duì)稱軸方程可以表

示為：%=

2

16、直線與拋物線的交點(diǎn)

①y軸與拋物線y=ax2+bx+c得交點(diǎn)為(0,c)o

②拋物線與X軸的交點(diǎn)。

二次函數(shù)y=a/+8x+c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)X|、x2,是對(duì)應(yīng)一

元二次方程

ax1+〃x+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次

方程的根的判別式判定：

a有兩個(gè)交點(diǎn)o(A>0)o拋物線與x軸相交；

b有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)o(A=0)o拋物線與x軸相切；

c沒(méi)有交點(diǎn)。(△<0)。拋物線與》軸相離。

③平行于％軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同②一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)

的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為左，則橫坐標(biāo)是"2+bx+C=左的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

④一次函數(shù)y=kx+n(kH0)的圖像/與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a/0)的圖

y=kx+n

像G的交點(diǎn)，由方程組)的解的數(shù)目來(lái)確定：

y=ax+法+c

a方程組有兩組不同的解時(shí)<=>/與G有兩個(gè)交點(diǎn)；

b方程組只有一組解時(shí)=/與G只有一個(gè)交點(diǎn)；

c方程組無(wú)解時(shí)=/與G沒(méi)有交點(diǎn)。

⑤拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線y=ax2+〃x+c與x軸兩交點(diǎn)

為,0),B(X2,0),則AB=|jq一百

圖形的定義、性質(zhì)、判定

一、角平分線

性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的相等.

判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在上.

二、線段垂直平分線

1.性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離.

2.判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的巳

［點(diǎn)撥］線段的垂直平分線可以看作到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.

三、等腰三角形

定義、性質(zhì)：

1.定義：有兩相等的三角形是等腰三角形.

2.性質(zhì)：

⑴等腰三角形兩個(gè)腰.

⑵等腰三角形的兩個(gè)底角(簡(jiǎn)寫(xiě)成等邊對(duì)等角).

⑶等腰三角形的頂角，底邊上的,底邊上的_______互相重合.

⑷等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有條對(duì)稱軸.

［注意］(1)等腰三角形兩腰上的高相等.

⑵等腰三角形兩腰上的中線相等.

⑶等腰三角形兩底角的平分線相等.

⑷等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半.

⑸等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行.

⑹等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

⑺等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之差等于一腰上的高.

判定：

1.定義法.

2.如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫(xiě)為“等角對(duì)等邊”).

［注意］(1)一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形.

⑵一邊上的高與這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

⑶一邊上的中線與三角形中這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

四、等邊三角形

1.等邊三角形的性質(zhì)

⑴等邊三角形的三條邊都相等.

(2)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等并且每一個(gè)角都等于60°.

⑶等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有條對(duì)稱軸.

［注意］等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì).

2.等邊三角形的判定

⑴三條邊相等的三角形叫做等邊三角形.

⑵三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形.

⑶有一個(gè)角等于60°的三角形是等邊三角形

五、直角三角形

1.定義：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形.

2.直角三角形的性質(zhì)

⑴直角三角形的兩個(gè)銳角.

⑵直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的.

⑶在直角三角形中，30。的角所對(duì)的邊等于斜邊的.

(4)在直角三角形中，如果有一條直角邊是斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角是30

度。

(5)、勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c,那么/+按=

3.直角三角形的判定

(1)、判定：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角互余，那么這個(gè)三角形是三角形.

(2)、如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是三

角形.

(3)、如果一個(gè)三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

⑷、直徑所對(duì)的圓周角是90度。

(5)、如果一個(gè)三角形的外心在三角形的一條邊上，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

(6)、圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。

六、相似三角形

1.相似三角形的對(duì)應(yīng)角,對(duì)應(yīng)邊的比.相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊

的比.

相似多邊形周長(zhǎng)的比等于.相似多邊形面積的比等于的平方.

2.相似三角形的周長(zhǎng)比等于.

3.相似三角形的面積比等于相似比的.

［注意］相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

判定定理：

1.如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

2.如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

3.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相

似.

［注意］直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形都相似.

七、位似圖形

1.定義：兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，像這樣

的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)