曲線擬合的最小二乘法

第三章曲線擬合的最小二乘法曲線擬合的最小二乘法共13頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!3.1.最小二乘法的提法需要從一組給定的數(shù)據(jù)中，尋找自變量X與變量y之間的關系例：60年代世界人口增長情況如下：年19601961196319641965196619671968人口30.6131.5132.1332.3432.8533.5634.2034.83有人根據(jù)以上數(shù)據(jù)預測2000人口會超過60億，現(xiàn)在已經(jīng)成為現(xiàn)實曲線擬合的最小二乘法共13頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!給出一組離散點，確定一個函數(shù)逼近原函數(shù)，插值是這樣的一種手段。在實際中，數(shù)據(jù)不可避免的會有誤差，插值函數(shù)會將這些誤差也包括在內。問題：因此，我們需要一種新的逼近原函數(shù)的手段：①不要求過所有的點（可以消除誤差影響）；②盡可能表現(xiàn)數(shù)據(jù)的趨勢，靠近這些點。設近似函數(shù)為：函數(shù)值與觀測值之差稱為殘差可以用殘差來衡量近似函數(shù)的好壞曲線擬合的最小二乘法共13頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!3.2.1多項式擬合設已知點求m次多項式來擬合函數(shù)需要求出多項式的m+1個待定系數(shù)即可，且使得以下函數(shù)值達到最小F（a0，a1，…，am）==

擬合問題的幾何背景是尋求一條近似通過給定離散點的曲線，故稱曲線擬合問題。曲線擬合的最小二乘法共13頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!例1：求數(shù)據(jù)xi

－1－0.75－0.5－0.2500.250.50.751yi

－0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.76014.2836

解得最小二乘二次擬合多項式為P2（x）=2.0034＋2.2625x＋0.0378x2的最小二乘二次擬合多項式。解：設二次擬合多項式為P2（x）=a0＋a1x＋a2x2，

將數(shù)據(jù)代入得線性方程組曲線擬合的最小二乘法共13頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!3.2.2指數(shù)擬合對已知點在坐標上描點，這些點若近似一條指數(shù)曲線，來擬合由，可以先做可以先做出的一次線性擬合則考慮用指數(shù)函數(shù)例2設一發(fā)射源強度公式為觀測數(shù)據(jù)如下ti0.20.30.40.50.60.70.8Ii3.162.381.751.341.000.740.56

試用最小二乘法確定I與t的關系式。曲線擬合的最小二乘法共13頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!3.2.3最小二乘法一般形式j，k=0，1，2，…，m

j=0，1，2，…，m

為線性無關的基函數(shù)求駐點，令即令曲線擬合的最小二乘法共13頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!解：函數(shù)空間的基，然后列出法方程例3曲線擬合的最小二乘法共13頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!要是函數(shù)值達到最小，由高等數(shù)學知識有：

j=0，1，2，…，m于是得到法方程即可以證明該方程組有唯一解曲線擬合的最小二乘法共13頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!法方程組的一般形式：法方程組可寫成以下形式令則法方程系數(shù)矩陣為：常數(shù)項為：曲線擬合的最小二乘法共13頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!解：將觀測數(shù)據(jù)化為ti0.20.30.40.50.60.70.8lnIi1.15060.86710.55960.28270.0000－0.3011－0.5798求最小二乘擬合直線，代入法方程公式得：解得所以I0==5.64a=－2.89則I=5.64e－2.89t曲線擬合的最小二乘法共13頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!則法方程組可寫成以下形