高中數(shù)學(xué)必修二專題-線面角-教學(xué)參考

高中數(shù)學(xué)必修二專題----線面角教學(xué)參考高中數(shù)學(xué)必修二專題----線面角教學(xué)參考高中數(shù)學(xué)必修二專題----線面角教學(xué)參考高中數(shù)學(xué)必修二專題----線面角教學(xué)參考20210803線面角在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2AD=1，則SC與平面ABCD所成角的余弦值為(????)A.63 B.12 C.33在三棱錐O?ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，M是邊AB的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成角的正切值是(????)A.22 B.12 C.2 正方體ABCD?A1B1C1D1中，則C正三棱錐底面邊長(zhǎng)為23，側(cè)棱長(zhǎng)為7，則斜高和底面所成角大小為________________．如圖，若正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則異面直線AC與A1B所成的角的大小是已知圓錐AO的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為210，點(diǎn)C為圓錐底面圓周上的一點(diǎn)，O為圓心，D是AB的中點(diǎn)，且∠BOC=π2．

(1)求圓錐的全面積；

(2)求直線CD與平面AOB所成角的余弦值

如圖所示的多面體是由一個(gè)直平行六面體被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．(1)求證：平面BDG⊥平面ADG；

(2)求直線GB與平面AEFG所成角的正弦值．

1.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了求線與面的夾角問題，考查向量的加法運(yùn)算和數(shù)量積，屬于中檔題．

AS是平面ABCD的法向量，用CB，BA，AS表示CS，然后直接求解AS?CS以及AS和CS的模長(zhǎng)，然后代入向量夾角計(jì)算公式解出AS和CS的夾角即可得解．

【解答】

解：由題意知AS是平面ABCD的法向量，設(shè)CS，AS的夾角為∵CS=CB+BA+AS，∴∴cosφ=AS?CS|AS|?|CS|=3

2.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查直線與平面所成角的求法，屬于中檔題．

利用線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)、線面角的定義即可得出．

【解答】

解：∵三條棱OA，OB，OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，

OA∩OB=O，OA，OB?平面OAB，

∴AC=BC，OC⊥平面OAB．

又M是AB邊的中點(diǎn)，∴OM⊥AB，CM⊥AB．

又OM∩CM=M，AB⊥平面OCM，

∵AB?平面ABC，∴平面OCM⊥平面ABC．

∴∠OMC即為OM與平面ABC所成角．

不妨設(shè)OM=1，則OA=OC=2．

在Rt△OCM中，tan∠OMC=OCOM=23.【答案】33【解析】解：設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，

以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

A(1,0，0)，C1(0,1，1)，

AC1=(?1,1，1)，平面ABCD的法向量n=(0,0，1)，

設(shè)C1A與平面ABCD所成角為θ，

則sinθ=|cos<AC1,n>|=13=34.【答案】60°

【解析】解：設(shè)正三棱錐為P?ABC，頂點(diǎn)P在底面的射影為O，則O為△ABC的中心，∠PDO為斜高和底面所成角，

∵正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為23，

∴DO=13×32×23=1，

∵側(cè)棱長(zhǎng)為7，PD=7?3=2，

∴則斜高和底面所成角大小的余弦函數(shù)值為：12，

則斜高和底面所成角大小為：60°．

故答案為：60°．

設(shè)正三棱錐為P?ABC，頂點(diǎn)P在底面的射影為O，則O為5.【答案】60°45°

【解析】解：如圖，

連接A1C1，∵AA1//CC1，AA1=CC1，

∴四邊形AA1C1C為平行四邊形，可得A1C1//AC，

∴異面直線AC與A1B所成的角即為∠BA1C1，連接BC1，

則△BA1C1

為等邊三角形，∴異面直線AC與A1B所成的角的大小是60°；

∵正方體ABCD?A1B1C1D1的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，

6.【答案】解：(1)∵圓錐AO的底面半徑為r=2，母線長(zhǎng)為l=210，

∴圓錐的全面積S=πrl+πr2

=π×2×210+π×22

=(410+4)π．

(2)∵圓錐AO的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為210，點(diǎn)C為圓錐底面圓周上的一點(diǎn)，O為圓心，

D是AB的中點(diǎn)，且∠BOC=π2．

∴以O(shè)為圓心，OC為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

OA=(210)2?22=6，

C(2,0，0)，A(0,0，6)，B(0,2，0)，D(0,1，3)，

DC=(2,?1,?3)，平面ABO的法向量n=(1,0，0)，

設(shè)直線CD與平面【解析】(1)由圓錐AO的底面半徑為r=2，母線長(zhǎng)為l=210能求出圓錐的全面積．

(2)以O(shè)為圓心，OC為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線CD與平面AOB所成角．

本題考查圓錐的全面積的求法，考查線面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．7.【答案】(1)證明：在△BAD中，因?yàn)锳B=2AD=2，∠BAD=60°．

由余弦定理得，BD2=AD2+AB2?2AB?ADcos60°，

解得BD=3，

∴AB2=AD2+DB2，

∴AD⊥DB，

在直平行六面體中，GD⊥平面ABCD，DB?平面ABCD，

∴GD⊥DB

又AD∩GD=D，

∴BD⊥平面ADG，

∴平面BDG⊥平面ADG．

(2)解：如圖以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，

因?yàn)椤螧AE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，

所以A(1,0，0)，B(0,3,0)，E(0,3,2)，G(0,0，1)，AE=(?1,3,2)，AG=(?1,0,1)，GB=(0,3,?1)．

設(shè)平面AEFG的法向量．n=(x,y，z)，n?AE=?x+3【解析】【試題解析】

(1)證明AD⊥DB，GD⊥DB，推出BD⊥平面ADG，得到平面BDG⊥平面ADG．

(2)如圖以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，求出平面AEFG的法向量，直線GB和平面AEFG的夾角為θ，推出直線GB與平面AEFG所成角的正弦值．

本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查計(jì)算能力．

8.【答案】證明：(1)連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，

∵ABCD是正方形，∴O是AC中點(diǎn)，

∵E是PC的中點(diǎn)，∴OE//PA，

∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，

∴直線PA//平面EDB．

解：(2)∵直線PD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，PD=DC，

∴∠PBD是直線PB與平面ABCD所成角，

設(shè)PD=DC=a，則BD=a2+a2=2a，

∴tan∠PBD=ADBD【解析】【試題解析】

(1)連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，推導(dǎo)出O是AC中點(diǎn)，OE//PA，由此能證明直線PA//平面EDB