2022高考立體幾何易錯題集

2022高考立體幾何易錯題集立體幾何易做易錯題選一、選擇題：在正方體ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD1、D1C1的中點，則直線0M（）A是AC和MN的公垂線B垂直于AC但不垂直于MNC垂直于MN，但不垂直于ACD與AC、MN都不垂直正確答案：A錯因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影。已知平面〃平面，直線L平面，點P直線L,平面、間的距離為8，則在內(nèi)到點P的距離為10，且到L的距離為9的點的軌跡是（）A一個圓B四個點C兩條直線D兩個點正確答案：B錯因：學(xué)生對點線距離、線線距離、面面距離的關(guān)系不能靈活掌握。3.正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且總保持APIBD1,則動點P的軌跡（）A線段B1CBBB1的中點與CC1中點連成的線段C線段BC1DCB中點與B1C1中點連成的線段正確答案：A錯因：學(xué)生觀察能力較差，對三垂線定理逆定理不能靈活應(yīng)用。4.給出下列命題：①分別和兩條異面直線AB、CD同時相交的兩條直線AC、BD一定是異面直線②同時與兩條異面直線垂直的兩直線不一定平行③斜線b在面a內(nèi)的射影為c,直線a丄c,則a丄b④有三個角為直角的四邊形是矩形，其中真命題是()正確答案：①錯誤原因：空間觀念不明確,三垂線定理概念不清5．已知一個正四面體和一個正八面體的棱長相等,把它們拼接起來使一個表面重合,所得多面體的面數(shù)有()A、7B、8C、9D、10正確答案：A錯誤原因：4+8—2=10下列正方體或正四面體中，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的一個圖是OSQRQPSQSDCBA正確答案：D錯誤原因：空間觀點不強a和b為異面直線，則過a與b垂直的平面()A、有且只有一個B、一個面或無數(shù)個C、可能不存在D、可能有無數(shù)個正確答案：C錯誤原因：過a與b垂直的夾平面條件不清給出下列四個命題：各側(cè)面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.若一個簡單多面體的各頂點都有3條棱，則其頂點數(shù)V、面數(shù)F滿足的關(guān)系式為2F－V=4.若直線l丄平面a，l〃平面B，則a丄B.（4）命題“異面直線a、b不垂直，則過a的任一平面與b都不垂直”的否定.其中，正確的命題是A．（2）（3）B．（1）（4）C．（1）（2）（3）（）D．（2）（3（4）正確答案：A如圖，AABC是簡易遮陽棚，A,B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40。角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角應(yīng)為（）A．75°B．60°C．50°D．45°正確答案：C—直線與直二面角的兩個面所成的角分別為a，B，則a+B滿足（）A、a+B〈900B、a+BW900C、a+B〉900D、a+B$900答案：B點評：易誤選A,錯因：忽視直線與二面角棱垂直的情況。在正方體AC1中，過它的任意兩條棱作平面，則能作得與A1B成300角的平面的個數(shù)為（）A、2個B、4個C、6個D、8個答案：B點評：易瞎猜，6個面不合，6個對角面中有4個面適合條件。AABC的BC邊上的高線為AD,BD=a,CD=b，將△ABC沿AD折成大小為&的二面角B-AD-C，若a,則三棱錐A-BCD的側(cè)面三角形ABC是()bA、銳角三角形B、鈍角三角形C、直角三角形D、形狀與a、b的值有關(guān)的三角形答案：C點評：將平面圖形折成空間圖形后線面位置關(guān)系理不清，易瞎猜。co13．設(shè)a，b，c表示三條直線，,表示兩個平面，則下列命題中逆命題不成立的是()。(a)c，若c,則//(b)b,c,若c//,則b//c(c)b,若b,貝lj(d)b,c是在內(nèi)的射影，若bc，則b正解：CC的逆命題是b,若，則ba顯然不成立。誤解：選Bo源于對C是在內(nèi)的射影理不清。14．和是兩個不重合的平面,在下列條件中可判定平面和平行的是(a和都垂直于平面b內(nèi)不共線的三點到的距離相等cl,m是平面內(nèi)的直線且l//,m//dl,m是兩條異面直線且l//,m//,m//,l//正解：D對于A,，可平行也可相交；對于B三個點可在平面同側(cè)或異側(cè)；對于l,m在平面內(nèi)可平行，可相交。對于D正確證明如下：過直線l,m分別作平面與平面，相交，設(shè)交線分別為l1,m1與lm2，由已知l//,l//得l//ll,l//l2，從而ll//l2，則11//，同理ml//,//誤解：B往往只考慮距離相等，不考慮兩側(cè)。15.已知AB是異面直線的公垂線段，AB=2，且a與b成30角，在直線a上取AP=4，則點P到直線b的距離是（）。A.22B.4C.2b22或2正解：A。過B作BB‘〃a，在BB'上截取BP'=AP，連結(jié)PP'，過P'作P'Qb連結(jié)PQ，PP'由BB'和b所確定的平面，PP'bPQ即為所求。在RtPQP'中,PP'=AB=2,P'Q=BP',inP'BQ=APin30=2,PQ=2。誤解：D。認為點P可以在點A的兩側(cè)。本題應(yīng)是由圖解題。16．若平面外的直線a與平面所成的角為，則的取值范圍是（）（A）（0,2）（B）［0,2）（C）（0,2］（D）［0,2］錯解：C錯因：直線在平面外應(yīng)包括直線與平面平行的情況，此時直線a與平面所成的角為0正解：D如果a,b是異面直線，P是不在a,b上的任意一點，下列四個結(jié)論：（1）過P—定可作直線L與a,b都相交；（2）過P—定可作直線L與a,b都垂直；（3）過P—定可作平面與a,b都平行；（4）過P一定可作直線L與a,b都平行，其中正確的結(jié)論有（）A、0個B、1個C、2個D、3個答案：B錯解：C認為（1）（3）對D認為（1）（2）（3）對錯因：認為（2）錯誤的同學(xué)，對空間兩條直線垂直理解不深刻，認為作的直線應(yīng)該與a,b都垂直相交；而認為（1）（3）對的同學(xué)，是因為設(shè)能借助于兩個平行平面襯托從而對問題的分析欠嚴(yán)密?？臻g四邊形中，互相垂直的邊最多有（）A、1對B、2對C、3對D、4對答案：C錯解：D錯因：誤將空間四邊形理解成四面體，對“空間四邊形”理解不深刻。19．底面是正三角形，且每個側(cè)面是等腰三角形的三棱錐是A、一定是正三棱錐B、一定是正四面體C、不是斜三棱錐D、可能是斜三棱錐正確答案：(D)錯誤原因：此是正三棱錐的性質(zhì)，但很多學(xué)生憑感覺認為如果側(cè)面是等腰三角形，則側(cè)棱長相等，所以一定是正三棱錐，事實上，只須考察一個正三角形繞其一邊抬起后所構(gòu)成的三棱錐就知道應(yīng)選D20．給出下列四個命題：各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱若一個簡單多面體的各頂點都有三條棱，則其頂點數(shù)V,面數(shù)F滿足的關(guān)系式為2F-V=4若直線L丄平面a,L〃平面B,貝Ija丄B命題“異面直線a,b不垂直，則過a的任一平面和b都不垂直”的否定，其中，正確的命題是()A、(2)(3)B、(1)(4)C、(1)(2)(3)D、(2)(3)(4)正確答案：(A)錯誤原因：易認為命題(1)正確二填空題：有一棱長為a的正方體骨架，其內(nèi)放置一氣球，使其充氣且盡可能地大（仍保持為球的形狀），則氣球表面積的最大值為.錯解：學(xué)生認為球最大時為正方體的內(nèi)切球，所以球的直徑為a,球的表面積為a。這里學(xué)生未能弄，所以正確答案為：2a。已知正三棱柱ABCABC底面邊長是10,高是12,過底面一邊AB,作與底面ABC成60角的截面面積是。錯解：。學(xué)生用面積射影公式求解：S底111022S100S截=底0錯誤原因是4co60沒有弄清截面的形狀不是三角形而是等腰梯形。正確答案是：過球面上兩已知點可以作的大圓個數(shù)是個。錯解：1個。錯誤原因是沒有注意球面上兩已知點與球心共線的特殊情況,可作無數(shù)個。正確答案是不能確定。判斷題：若兩個平面互相垂直,過其中一個平面內(nèi)一點作它們的交線的垂線,則此直線垂直于另一個平面。正確。錯誤原因是未能認真審題或空間想象力不夠，忽略過該點向平面外作垂線的情況。正確答案是本題不對。平面外有兩點A,B,它們與平面的距離分別為a,b，線段AB上有一點P,且AP:PB=m:n，則點P到平面的距離為.namb。錯誤原因是只考慮AB在平面同側(cè)的情形，忽略AB在平面兩測的情況。正確答案mnnambmbna是：?；騶mnmn錯解為：點AB到平面距離距離分別為12，20，若斜線AB與成30的角，貝UAB的長等于.錯解:16.錯誤原因是只考慮AB在平面同側(cè)的情形，忽略AB在平面兩測的情況。正確答案是：16或64。判斷若a,b是兩條異面直線，p為空間任意一點，則過P點有且僅有一個平面與a,b都平行。錯解：認為正確。錯誤原因是空間想像力不行。忽略P在其中一條線上，或a與P確定平面時恰好與b平行，此時就不能過P作平面與a平行。與空間四邊形ABCD四個頂點距離相等的平面共有個。正確答案：7個錯誤原因：不會分類討論

9．在棱長為1的正方體ABCD——A1B1C1D1中，若G、E分別為BB1，C1D1的中點，點F是正方形ADD1A1的中心，則四邊形BGEF在正方體六個面上的射影圖形面積的最大值為。0正確答案：12錯誤原因：不會找射影圖形□.△ABC是簡易遮陽板，A、B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40。角，為使遮陰的陰影面ABD面積最大，遮陽板ABC與地面所成角應(yīng)為。正確答案：50°錯誤原因：不會作圖11■平面a與平面p相交成銳角e,面a內(nèi)一個圓在面B上的射影是離心率為1的橢是離心率為1的橢，則角e等于正確答案：30°錯誤原因：分析不出哪些線段射影長不變，哪些線段射影長改變把半徑為r的四只小球全部放入一個大球內(nèi)，則大球半徑的最小值為。正確答案：⑹）r錯誤原因：錯誤認為四個小球球心在同一平面上2AB垂直于BCD所在的平面，AC,AD,BC:BD3:4,當(dāng)BCD的面積最大時，點A到直線CD的距離為。正確答案：在平面角為600的二面角l內(nèi)有一點P,P到a、B的距離分別為PC=2cm，PD=3cm，則P到棱I的距離為1352cm3點評：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題利用正弦定理求解，轉(zhuǎn)化能力較弱已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，D是底面三角形內(nèi)一點，且ZDPA=450,ZDPB=600,則ZDPC=答案：600點評：以PD為對角線構(gòu)造長方體，問題轉(zhuǎn)化為對角線PD與棱PC的夾角利用co2450+co2600+co2a=1得a=600，構(gòu)造模型問題能力弱。正方體AC1中，過點A作截面，使正方體的12條棱所在直線與截面所成的角都相等，試寫出滿足條件的一個截面答案：面AD1C點評：本題答案不唯一，可得12條棱分成三類：平行、相交、異面考慮正三棱錐D-AD1C，易瞎猜。答案：自半徑為R的球面上一點P引球的兩兩垂直的弦PA、PB、PC，則PAPBPC=。正解：4R,可將PA,PB,PC看成是球內(nèi)接矩形的三度，則PAPBPC應(yīng)是矩形對角線的平方，即球直徑的平方。誤解：沒有考慮到球內(nèi)接矩形，直接運算，易造成計算錯誤。18.直二面角a—l—p的棱l上有一點A,在平面a、B內(nèi)各有一條射線AB,AC與l成450,AB,AC，則Z2222222錯解：600錯因：畫圖時只考慮一種情況正解：600或120019.直線l與平面a成角為300,lA,m,Am則m與l所成角的取值范圍是錯解：[300,1200]錯因：忽視兩條直線所成的角范圍是[0,90]正解：[300,900]20■若AB的中點M到平面的距離為4cm,點A到平面的距離為6cm,則點B到平面的距離cm。錯解：2錯因：沒有注意到點A、B在平面異側(cè)的情況。正解：2、14已知直線LQ平面=0,A、BWL,OA=4,AB8；點A到平面距離為1,則點B到平面的距離為答案：1或3錯解：3錯因：考慮問題不全面，點A,B可能在點0的同側(cè)，也可能在0點兩側(cè)。異面直線a,b所成的角為60,過空間一定點P,作直線L,使L與a,b所成的角均為60,這樣的直線L有條。答案：三條錯解：一條錯因：沒有能借助于平面襯托,思考問題欠嚴(yán)謹。過P作a//a,b//b,由a,b確定一平面，畫a,b相交所成角的平分線m、g,過m,g分別作平面的垂面,,則在,中易找到所求直線共有3條。點P是ABC所在平面外一點，且P在ABC三邊距離相等，則P點在平面ABC上的射影是ABC的心。答案：內(nèi)心或旁心錯解：內(nèi)心錯因：P在平面ABC內(nèi)的正射影可能在ABC內(nèi)部，也可能在ABC外部。四面體的一條棱長為某，其它各棱長為1,若把四面體的體積V表示成某的函數(shù)f（某），則班某）的增區(qū)間為，減區(qū)間為006正確答案：（0，23，2錯誤原因：不能正確寫出目標(biāo)函數(shù)，亦或者得到目標(biāo)函數(shù)以后，不能注意某的隱藏范圍。25■在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是AB和AD的中點，則點A1到平面為EF的距離為正確答案：23錯誤原因：不少學(xué)生能想到用等積法解，但運算存在嚴(yán)重問題。26.點P在直徑為2的球面上，過P作兩兩垂直的三條弦，若其中一條弦長是另一條弦長的2倍，則這三條弦長之和為最大值是正確答案：25錯誤原因：找不到解題思路三、解答題：由平面外一點P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為ABC,O為/ABC的外心，求證：0P錯解：因為0為/ABC的外心，所以O(shè)A=OB=OC，又因為PA=PB=PC，P0公用，所以/POA，/POB，/POC都全等，所以POA=POB=POC=RT，所以O(shè)P錯解分析：上述解法中POA=POB=POC=RT，是對的，但它們?yōu)槭裁词侵苯悄?？這里缺少必要的證明。正解：取BC的中點D，連PD，OD，PBPC,OBOC,BCPD,BCOD,BC面POD,BCPO,同理ABPO，PO.一個棱長為6cm的密圭寸正方體盒子中放一個半徑為1cm的小球，無論怎樣搖動盒子，求小球在盒子不能到達的空間的體積。錯解：認為是正方體的內(nèi)切球。用正方體的體積減去內(nèi)切球的體積。錯誤原因是空間想像力不夠。正解：在正方體的8個頂點處的單位立方體空間內(nèi)，小球不能到達的空間為：8[1(314341)]8，833除此之外，在以正方體的棱為一條棱的12個114的正四棱柱空間內(nèi)，小球不能到達的空間共為1[114(12)4]4812其他空間小球均能到達。故小球不能到達的空間體積為4440(8)481256(cm3)。333?斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱長等于b,—條側(cè)棱AA1與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角，求這個三棱柱的側(cè)面積。解：過點B作BM丄AA1于M,連結(jié)CM,在厶ABM和厶ACM中，；?AB二AC,ZMAB=ZMAC=450,MA為公用邊'???△ABM9AACM,???ZAMC二ZAMB=900,???AA1丄面BHC,即平面BMC為直截面,又BM=CM=ABin450==(1+2)ab點評：本題易錯點一是不給出任何證明,直接計算得結(jié)果；二是作直截面的方法不當(dāng)，即“過BC作平面與AA1垂直于M”；三是由條件“ZA1AB=ZA1ACZAA1在底面ABC上的射影是ZBAC的平分線”不給出論證。如圖在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知底面ABC是底角等于30，底邊AC=4的等腰三角形，且22a,?BMC周長為2某a+a=(1+2)a,且棱長為b,???S22側(cè)B'CAC,B'C22,面B'AC與面ABC成45,A'B與AB'交于點E。1）求證:ACBA'；2）求異面直線AC與BA'的距離；3）求三棱錐B'BEC的體積。正解：①證：取AC中點D,連ED,E是AB'的中點，‘C2B'CAC,DEAC又ABC是底角等于30的等腰,BDAC,BNDEDAC面BDE,ACBE,即ACBA'②解：由①知EDB是二面角B'ACB的一個平面角，EDB=45,ED2,BDADtan3023在323DBE中：EB2ED2BD