西南大學(xué)《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》作業(yè)及答案()

西南大學(xué)《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》作業(yè)及答案()_文檔視界數(shù)

理統(tǒng)計(jì)第一次

1、設(shè)總體

X服從正態(tài)分布),(2σμN(yùn)，其中μ已知，2σ未知，nXXX,,,21為其樣本，

2≥n,則下列說法中正確的是（）。

（A）

∑=-n

ii

X

n

12

2

)(μσ是統(tǒng)計(jì)量（B）

∑=n

ii

X

n

1

22

σ是統(tǒng)計(jì)量

（C）

∑=--n

ii

Xn1

2

2

)(1

μσ是統(tǒng)計(jì)量（D）

∑=n

iiXn

1

2

μ

是統(tǒng)計(jì)量

2、設(shè)兩獨(dú)立隨機(jī)變量)1,0(~NX，)9(~

2χY，則

Y

X3服從（）。

3、設(shè)兩獨(dú)立隨機(jī)變量)1,0(~NX，2~

(16)Yχ

）。4、設(shè)nXX,,1是來自總體X的樣本，且μ=EX，則下列是μ的無偏估計(jì)的是（）.5、設(shè)4321,,,XXXX是總體2

(0,)Nσ的樣本，2

σ未知，則下列隨機(jī)變量是統(tǒng)計(jì)量的是（）.

（A）3/Xσ；（B）

4

1

4

i

iX

=∑；（C）σ-1X；（D）

4

221

/i

iX

σ=∑

6、設(shè)總體),(~2

σμN(yùn)X，1,,nXXL為樣本，SX,分別為樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差，則

下列正確的是（）.

7、設(shè)總體X服從兩點(diǎn)分布B（1，p），其中p是未知參數(shù)，15,,XX???是來自總體的簡單隨機(jī)樣本，則下列隨機(jī)變量不是統(tǒng)計(jì)量為（）

(A).12XX+

(B)

{}max,15iXi≤≤

(C)52Xp+

(D)

()

2

51XX-

8、設(shè)1,,nXX???為來自正態(tài)總體2(,)Nμσ的一個(gè)樣本，μ，2σ未知。則2

σ的最大似然估計(jì)量為（）。

（A）∑=-niiXn12)(1μ（B）()2

1

1∑=-niiXXn（C）∑=--niiXn12

)(11μ（D）()∑=--nii

XXn12111、（D）；2、)(C；3、)(C；4、)(A；5、（B）；6、();C7、(C)；8、（B）。

第二次

1、設(shè)總體),(~2

σμN(yùn)X，1,,nXX???為樣本，SX,分別為樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差，

則

服從（）分布.

2、設(shè)1,,nXX???為來自正態(tài)總體2

(,)Nμσ的一個(gè)樣本，μ，2σ未知。則2

σ的置信度為

1α-的區(qū)間估計(jì)的樞軸量為（）。

(A)

()

2

1

2

n

iiXμσ

=-∑(B)

()

2

1

20

n

i

iX

μσ

=-∑(C)

()∑=-n

ii

XX

1

2

2

1

σ

(D)

()

2

1

20

n

i

iX

Xσ

=-∑

3、在假設(shè)檢驗(yàn)中，下列說法正確的是（）。

(A)如果原假設(shè)是正確的，但作出的決策是接受備擇假設(shè)，則犯了第一類錯(cuò)誤；(B)如果備擇假設(shè)是正確的，但作出的決策是拒絕備擇假設(shè)，則犯了第一類錯(cuò)誤；(C)第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤同時(shí)都要犯；

(D)如果原假設(shè)是錯(cuò)誤的，但作出的決策是接受備擇假設(shè)，則犯了第二類錯(cuò)誤。

4、對總體2

~(,)XNμσ的均值μ和作區(qū)間估計(jì)，得到置信度為95%的置信區(qū)間，意義是指這個(gè)區(qū)間（）。

(A)平均含總體95%的值(B)平均含樣本95%的值

(C)有95%的機(jī)會(huì)含樣本的值(D)有95%的機(jī)會(huì)的機(jī)會(huì)含μ的值5、設(shè)?θ是未知參數(shù)θ的一個(gè)估計(jì)量，若?Eθθ≠，則?

θ是θ的（）。(A)極大似然估計(jì)(B)有偏估計(jì)(C)相合估計(jì)(D)矩法估計(jì)6、設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望為12,,,,nXXXμ為來自X的樣本，則下列結(jié)論中

正確的是().

（A）1X是μ的無偏估計(jì)量.（B）1X是μ的極大似然估計(jì)量.（C）1X是μ的相合（一致）估計(jì)量.（D）1X不是μ的估計(jì)量.7、設(shè)總體2~(,)XNμσ，2σ未知，12,,,nXXX為樣本，2S為修正樣本方差，則檢驗(yàn)問

題：00:Hμμ=，10:Hμμ≠（0μ已知）的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為（）.（A

）

)0XS

μ-（B

）

)

0Xμσ

-（C

）

)

0Xμσ

-（D

）

)0XS

μ-.

1、()D；2(C)；3、(A)；4、(D)；5、(B)；6、（A）；7、（D）.第三次

1、設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布()Pλ，nXXX,,,21是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則=X

D．

2、設(shè)321,,XXX為來自正態(tài)總體),(~2

σμN(yùn)X的樣本，若321cXbXaX++為μ的一個(gè)無偏估計(jì)，則=++cba_____。

3、設(shè)),(~2

σμN(yùn)X，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是從總體X中抽取的樣本，則μ的矩

估計(jì)值為。

4、設(shè)總體X服從正態(tài)分布),(2σμN(yùn)，μ未知。nXXX,,,

21為來自總體的樣本，則對

假設(shè)202

0σσ

=：H；2021σσ≠：H進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，通常采用的統(tǒng)計(jì)量是____________，

它服從____________分布，自由度為____________。5、設(shè)總體)4,1(~NX,1210

,,

,XXX為來自該總體的樣本，10

1

110iiXX==∑,則()DX=______.

6、我們通常所說的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本，它具有的特點(diǎn)是．

7、已知0.9(8,20)2F=，則0.1(20,8)F=．

8、設(shè)]1,[~aUX，nXX,,1是從總體X中抽取的樣本，求a的矩估計(jì)為．9、檢驗(yàn)問題：()()00:HF

xFx=，()()00:HFxFx≠（()0Fx含有l(wèi)個(gè)未知參數(shù)）的皮

爾遜2

χ檢驗(yàn)拒絕域?yàn)椋?/p>

10、設(shè)621,,,XXX為來自正態(tài)總體)1,0(N的簡單隨機(jī)樣本，設(shè)若使隨機(jī)變量CY服從2χ分布，則常數(shù)=C．

11、設(shè)由來自總體2

(,0.9)Nμ的容量為9的簡單隨機(jī)樣本其樣本均值為5x=，則μ的置信

度為0.95的置信區(qū)間是

（0.9751.96μ=）.

12、若線性模型為()2

0,,nYXECovIβεεεεσ=+?

?==?

，則最小二乘估計(jì)量為．1、/nλ，2、1，3、1.71，4、

2

2

(1)nSσ-，2

χ，1n-,5、2/5，6、獨(dú)立性，代表性；

7、1/2；8、21X-；9、()()2

2

11?1?riiiinnpnlnpαχ-=??-??>--??????

∑；10、1/3；11、(4.412,5.588)；12、()1?XXXYβ

-''=。.第四次

1、設(shè)總體X服從兩點(diǎn)分布B（1，p），其中p是未知參數(shù)，15,,XXL是來自總體的簡單隨機(jī)樣本。指出

{}()2

12551,max,15,2,iXXXiXpXX+≤≤+-之中哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是

統(tǒng)計(jì)量，為什么？

2、設(shè)總體X服從參數(shù)為（N，p）的二項(xiàng)分布，其中（N，p）為未知參數(shù)，12,,,nXXXL為來自總體X的一個(gè)樣本，求（N，p）的矩法估計(jì)。

3、設(shè)12,,,nXXXL是取自正態(tài)總體()2,Nμσ的一個(gè)樣本，試問()22

1

11n

i

iSXXn==--∑是2

σ的相合估計(jì)嗎？

4、設(shè)連續(xù)型總體X的概率密度為()()2

2,0

,00,0x

xexpxxθθθθ-??>=>??≤?

,12,,,nXXXL來自總

體X的一個(gè)樣本，求未知參數(shù)θ的極大似然估計(jì)量?θ

，并討論?θ的無偏性。5、隨機(jī)地從一批釘子中抽取16枚，測得其長度（以厘米計(jì)）為2.142.102.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11設(shè)釘長服從正態(tài)分布。若已知σ=0.01（厘米），試求總體均值μ的0.9的置信區(qū)間。（0.951.65u=）6、甲、乙兩臺機(jī)床分別加工某種軸，軸的直徑分別服從正態(tài)分布

()211,Nμσ與

()222,Nμσ，為比較兩臺機(jī)床的加工精度有無顯著差異。從各自加工的軸中分別抽取若干根

軸測其直徑，結(jié)果如下：

（()()0.975

0.9756,75.12,7,65.70.FF==）

7、為了檢驗(yàn)?zāi)乘幬锸欠駮?huì)改變?nèi)说难獕?，挑選10名試驗(yàn)者，測量他們服藥前后的血壓，如下表所列：

假設(shè)服藥后與服藥前血壓差值服從正態(tài)分布，取檢驗(yàn)水平為0.05，從這些資料中是否能得出該藥物會(huì)改變血壓的結(jié)論？

1、解：

{}()2

1251,max,15,iXXXiXX+≤≤-都是統(tǒng)計(jì)量，52Xp+不是統(tǒng)計(jì)量，因p

是未知參數(shù)。2、解：因?yàn)?)

()()2

2

2

,1EX

NpEXDXEXNppNp==+=-+，只需以2

1

1,niiXXn=∑分

別代2

,EXEX解方程組得22

2

??,1nnSXNpXSX

==--。3、解：由于

()2

2

1nSσ-服從自由度為

n-1的2

χ-分布，故

()

()()4

4

2

2

2

2

2,2111ESDSnnnσσσ==?-=--，從而根據(jù)車貝曉夫不等式有

(

)

()2

422

2

2

2001nDSPSnσσεεε

→∞

≤-≥≤

=???→-，所以()22111niiSXXn==--∑是2σ的相合估計(jì)。

4解：似然函數(shù)為

()()2

2

1

2

1

1

221

1

,lnlnln,

2n

iiin

n

xxi

i

n

n

i

iiin

iix

x

xLe

e

Lnxθ

θ

θθθθ

θ

θ

=--

====∑==

=-+-

∏∑∏

∏()2

1

2

ln2n

i

ix

dLndθθθθ

==-+∑，令()ln0dLdθθ=，得21

?2n

i

iX

n

θ==∑.由于

()2

2

222

2

21

220011?222222n

xxi

iEX

xxxEEXxedxedn

θθθ

θθθθθθ

--∞∞======Γ=∑??，

因此θ的極大似然估計(jì)量?θ

是θ的無偏估計(jì)量。5、解：()2

21

0.01,2.142.102.112.12516

xσ

==

+++=L，置信度0.9，即α=0.1，查正態(tài)分布數(shù)值表，知()()1/21.650.95uα-Φ

=Φ=,即()1.6510.90PU

α≤=-=,從而

1/20.951.65uuα-==

1/21.650.004α-=

=，所以總體均值μ的0.9的置信區(qū)

間為

[][]1/21/2

,2.1250.004,2.1250.0042.121,2.129

xx

αα

--

??

+=-+=

??

??

.

6、解：首先建立假設(shè)：

在n=8，m=7,α=0.05時(shí),

故拒絕域?yàn)閧}

0.195,5.70

ForF

,現(xiàn)由樣本求得2

1

s=0.2164，2

2

s=0.2729，從而F=0.793，未落入拒絕域，因而在α=0.05水平上可認(rèn)為兩臺機(jī)床加工精度一致。

7、、解：以X記服藥后與服藥前血壓的差值，則X服從()2,

Nμσ，其中2

,μσ均未知，這些資料中可以得出X的一個(gè)樣本觀察值：683-46-26-172

待檢驗(yàn)的假設(shè)為

01

:0,:0

HH

μμ

=≠

這是一個(gè)方差未知時(shí)，對正態(tài)總體的均值作檢驗(yàn)的問題，因此用t檢驗(yàn)法

當(dāng)

()

1/2

1

Ttn

α

-

=≤-時(shí)，接受原假設(shè)，反之，拒絕原假設(shè)。依次計(jì)算有

()()()

()

22

2

11

68723.1,63.123.117.6556

101

xs

=++++==-++-=

-

LL，

2.3228

t==，

由于()()

1/20.975

192.2622

tnt

α

-

-==，T的觀察值的絕對值2.32282.2622

t=>.所以拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為服藥前后人的血壓有顯著變化。

1、設(shè)某商店100天銷售電視機(jī)的情況有如下統(tǒng)計(jì)資料：

求樣本容量n，樣本均值和樣本方差。

2、設(shè)

17

,,

XX

L為總體X服從()

0,0.25

N的一個(gè)樣本，求

7

2

1

4

i

i

PX

=

??

>

?

??

∑.（()

2

0.975

716.0128

χ=）

3、設(shè)總體X具有分布律

其中θ(0???

∑.

（()2

0.975716.0128χ=）

3、設(shè)總體X具有分布律

其中θ(0=>=-≤?????????∑∑∑，

查表可知()2

0.975716.0128χ=,故72140.025.iiPX=??

>=???

∑

3、解：似然函數(shù)}1{}2{}1{}{)(3213

1

======

∏=XPXPXPxX

PθLiii

lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1－θ)求導(dǎo)

011

65)(ln=--=θ

θdθLd

得到唯一解為6

5

?=θ

4、解：由X服從[a，b]上的均勻分布，易知

()()2

2

22

,2122baababEXEXDXEX-++??==+=+???

求a，b的矩法估計(jì)量只需解方程

(

)

2

2????,2

12

nbaa

bXS-+==

,

得??,nn

a

XbX==5、解：根據(jù)兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)論，均值差BAμμ-的置信水平為0.95的置信區(qū)間為

6、解：n=m=10,1-α=0.95，α=0.05,

()()()()

1/20.975/21/21

1,19,94.03,1,10.24181,1FnmFFnmFmnααα----==--=

=--,

從而

(

)()22221/2/211

0.541910.54191,,1,11,10.60654.030.60650.241[0.2223.601]8AABBSSSFnmSFnmαα-????==????----????，故方差比22

/ABσσ的0.95的置信區(qū)間為[0.222，3.601]。

7、這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問題，屬于雙邊檢驗(yàn)問題。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

2

2

2

66

.1)1(Sn-=χ。代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到2

2

(101)12

39.1931.66-?χ=

=。

檢驗(yàn)的臨界值為022.19)9(2

975.0=χ。

因?yàn)?

39.19319.022χ=>，所以樣本值落入拒絕域，因此拒絕原假設(shè)0H，即認(rèn)為電池容量的標(biāo)準(zhǔn)差發(fā)生了顯著的變化，不再為1.66。

8、解：這是列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題。在本題中r=2，c=4，在α=0.05下，

()()()()220.950.95

1137.815rcχχ--==,因而拒絕域?yàn)椋簕}27.815Wχ=≥.為了計(jì)算統(tǒng)計(jì)量(3.4)，可列成如下表格計(jì)算../ijnnn?：

()()()2

2

2

24036.82023.2625644.47.23636.8

23.2

644.4

χ---=

+

++

=L

,

由于2

χ=7.326=-0

,00,);(xxexpxλλλ

求XDXE,和2

ES.

解：由于，所以

；

；

。

5設(shè)總體X服從()0,1N，樣本16,,XXL來自總體X,令

()()22

123456YXXXXXX=+++++,求常數(shù)C，使CY服從2χ-分布。

解：因?yàn)闃颖?/p>

?獨(dú)立同分布，所以服從，

服從，同理服從,因此服從

，

服從

，且兩者相互獨(dú)立，由-分布的可加性，知Y/3服從，所以

取C=1/3。

6設(shè)總體X服從()2

,N

μσ，1

,,n

XX

L是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本，X為樣本均值，

22,n

SS

分別是樣本方差和樣本修正方差，問下列統(tǒng)計(jì)量()2

2

1

22

n

iniXnSXμσσ=-∑各服從

什么分布。

答：由定理知

服從自由度為n-1的

-分布，由定理的系得

服從自由度為

n-1的t-分布，由

服從

，可得

服從

，

服從

，由于

相互獨(dú)立因此由

-分布的可加性，得

服從自由度為n的

-分布。

7設(shè)總體X服從()2

,N

μσ，X和2

S

為樣本均值和樣本修正方差，又有1nX+服從

()2

,Nμσ，且與1,,nXXL

()2

12/1nXXXnSn+-+服從什么分布。

答：由X服從，服從，服從，

服從，又由服從自由度為n-1的-分布，注意t分布的定義

服從自由度為n-1的t-分布。由服從