新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：三角函數(shù)與解三角形

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：三角函數(shù)與解三角形

§4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念

【考試要求】

1.了解任意角的概念和弧度制.

2.能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.

3.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

【知識梳理】

1.角的概念的推廣

(1)定義:角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著蜀底從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.

［按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角.

⑵分粕----------------

I按終邊位置不同分為象限魚和軸線角.

(3)終邊相同的角：所有與角。終邊相同的角，連同角。在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S={2|￡

=a+k?360°,ASZ}.

2.弧度制的定義和公式

(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.

(2)公式

1。|=夕弧長用/表示)

角。的弧度數(shù)公式

角度與弧度的換算1°—]80館山1rad一

弧長公式弧長7=|o\r

1,11I2

扇形面積公式S=-lr=-\a\r

3.任意角的三角函數(shù)

(1)定義：設(shè)a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點尸(x,。，那么sina—y_,cosa

y

=x,tana=-(B0).

-x

(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點都在x軸上，余

弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1,0).如圖中有向線段""0M,47分別叫做角a

的正弦線，余弦線和正切線.

J^4(1,0)

WV

工思考］

1.總結(jié)一下三角函數(shù)值在各象限符號為正的規(guī)律.

提示一全正、二正弦、三正切、四余弦.

2.三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點尸（*,。是角。終邊上異于頂點的任一點，怎樣定義角

a的三角函數(shù)？

VXV

提示設(shè)點?到原點。的距離為r,則sina=;,cosa=;,tan?=-(^0).

【基礎(chǔ)自測】

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打”「或“X”）

（1）銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角.（X）

JI

（2）角+/'（AWZ）是第一象限角.（X）

M

⑶若sina=sin-y,則。=右（X）

（4）-300°角與60°角的終邊相同.（J）

題組二教材改編

2.終邊落在第一象限角平分線上的角的集合是.（用角度表示）

答案｛。|。=衣?360°+45°,AeZ）

3.一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角大小為一弧度.

」幾

答案T

4.若角a的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點尸（-1,2）,則sin

a—cosa+tana=.

3乖一10

口5

題組三易錯自糾

5.（多選）已知角2a的終邊在x軸的上方，那么角?？赡苁牵ǎ?/p>

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案AC

解析因為角2。的終邊在x軸的上方，所以4?360°<2cz<A?360°+180°,A￡Z,

貝ij有％?180°<a<k>180°+90°,k^l.

故當(dāng)k=2n,時，n-360°<a<n-360°+90°,〃6Z,。為第一象限角；

當(dāng)衣=2〃+1,時，〃?360°+180°<<?</??360°+270°,〃eZ,。為第三象限角.故

選AC.

6.已知角。的頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，若4(—1,力是角9終邊上

的一點，且sin0=一4華，則y=.

答案一3

解析因為sin。=一噂〈0,加一1,。是角。終邊上一點，所以八0,

由三角函數(shù)的定義，得號［=一噌.

io

解得y=-3.

題型一角及其表示

9n

1.下列與角丁的終邊相同的角的表達式中正確的是()

9n

A.2/CJI+45°(AeZ)B.A-360°+—(A^Z)

5n

C.A-360°-315°(A-GZ)D.4”+〒(/wZ)

答案C

9ji9JI

解析與角丁的終邊相同的角可以寫成24n+-二々GZ)或A?360°+45°(衣口)，但是

角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.

JIJI

2.集合,aAn+彳WaWA"+57,AeZ中的角所表示的范圍(陰影部分)是()

答案C

解析當(dāng)A=2〃(〃WZ)時，2〃n。h+"|~，此時a表示的范圍與寧?。表

示的范圍一樣；當(dāng)a=2〃+1(〃WZ)時，2〃五+n。W2〃n+n+彳，此時。表示

的范圍與五aWn+；表示的范圍一樣，故選C.

3.設(shè)集合x—^?180°+45°,keZ;A—x=1?180°+45°,k^Z?,那

么()

A.M=NB..IC/V

C?AU"D.J/n/^0

答案B

k

解析由于"中，x=--180°+45°=A?90°+45°=(2A+1)?45°,24+1是奇數(shù)；

k

而,V中，x=“180°+45°=公45°+45°=(4+1)?45°,4+1是整數(shù)，因此必有四「V,

故選B.

a

4.若角a是第二象限角，則萬是第象限角.

答案一或三

解析是第二象限角，

71

.,.~+2k^t<a<n+2An,AEZ,

.?號+%“吟吟+h，％6Z.當(dāng)％為偶數(shù)時，］是第一象限角；當(dāng)在為奇數(shù)時，］是第三

象限角.

綜上，?是第一或第三象限角.

思維升華(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角

的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)4(AGZ)賦值來求得所需的角.

(2)確定：(%GN”)的終邊位置的方法

K

aa

先寫出A。或丁的范圍，然后根據(jù)次的可能取值確定左。或7的終邊所在位置.

KK

題型二弧度制及其應(yīng)用

n

例1一扇形的圓心角。=7，半徑〃=10cm,求該扇形的面積.

解由已知得。=辛夕=10cm,

c1o1n50n

；?S扇形=/a?/r=2?—?102-=-(cm2x).

【引申探究】

1.若本例條件不變，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積.

,n10n

解1=a?/?=—X10=-(cm),

O?J

S弓形=s畫形—S三角形

50n1on

=丁一5?八sing

=50nj_2,^3

322

50n—75，§,八

=-----j---(cm).

2.若將本例已知條件改為：“扇形周長為20cm”，當(dāng)扇形的圓心角。為多少弧度時，這

個扇形的面積最大？

解由已知得，7+27?=20,則/=20—27?(0＜欣10).

所以S=；/"=；(20—2必/?=107?-〃=一("一5尸+25,

所以當(dāng)k5cm時，S取得最大值25cm2,此時1=10cm,a=2rad.

思維升華應(yīng)用弧度制解決問題的方法

(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.

(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.

跟蹤訓(xùn)練1(1)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一個問題:

“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？”其意思為：“有一塊扇形的田，弧長

為30步，其所在圓的直徑為16步，問這塊田的面積是多少平方步？”該問題的答案為()

A.120B.240

C.360D.480

答案A

解析?.?圓的直徑為16步，

...圓的半徑為8步，

又??,弧長為又步,

???扇形面積S=；-8?30=120（平方步）,

9R

（2）一扇形是從一個圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的個面積等于圓面積的六，則扇形

LiI

的弧長與圓周長之比為.

弓

答案7?

io

解析設(shè)圓的半徑為r,則扇形的半徑為苧，

記扇形的圓心角為。，由扇形面積等于圓面積的行，

可得[n[rJ：券27解得6。=等?

5n2r

15

所以扇形的弧長與圓周長之比為-=玄.

C2兀r18

rl題型三三角函數(shù)的概念師生洪研

例2⑴已知角。的終邊與單位圓的交點為/（—|，，，則sina?tan。等于（）

A--乎B-土乎c-D-i1

答案c

解析設(shè)。為坐標(biāo)原點，

由爐=1+/=1,

得/=*尸土坐

方法一當(dāng)尸當(dāng)時，sin。=乎，tana=一木,

3

此時，sina?tan。=一

當(dāng)尸一平時，sin。=一坐，tana=/，

此時,sino?tana=--

3

所以sino?tana=--

方法二由三角函數(shù)定義知，cos。=—；，sin

o=y,

3

▼」sinasi.n2ay243

所以sinotana=sina---

cosacosa1

22

a一中，其值必為正的有()

(2)若a為第二象限角，則cos20,cos-

A.0個B.1個

C.2個D.3個

答案A

解析由題意知，24兀+5<4<24兀+hUez),則4攵冗+元<2。〈4女冗+2元(Aez),所以

2。的終邊在第三、第四象限或y軸的負半軸上，所以sin2。<0,COS2a可正可負也可

JInaa

為零.因為“"+彳〈萬〈4頁+5(4ez),所以萬的終邊在第一或第三象限，所以cos5可

正可負.故選A.

(3)己知角。的終邊上一點〃(一，5,勿)(/〃W0),且sin則cosa=

tana—

依a乖

答案一號一

'3

解析設(shè)P(x,y),由題設(shè)知x=-4,y=m,所以？|(一小/+卬“。為原點)，即

r=、3+Z,所以sino=7=^^=^^'所以「=)3+/7：=2蛆,即3+/=8,解得必=

士乖,當(dāng)勿=小時，r=2小,x=-y=木,所以cosa=&市=-牛,tana=—

豐邛tan。

當(dāng)勿=一季時，r=2y/2tx=_小,y=一#,所以cosa

2y[24

V15

3,

思維升華(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角。終邊上一點一的坐標(biāo)可求。的三角函數(shù)值;

已知角。的三角函數(shù)值，也可以求出角a終邊的位置.

(2)判斷三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象

限的符號確定所求三角函數(shù)值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知角。的終邊經(jīng)過點(3,-4),則sin。+」^等于()

COSa

137八3713

A--R-r——n—

5152015

答案D

43

解析因為角a的終邊經(jīng)過點(3,-4),所以sina=--cosa=-,所以sina+

595

14,513、

=故選D.

-co-s-7o+Q5773-15

4

(2)己知角。的終邊過點戶(一8%，—6sin30°),且cosa=--則/〃的值為()

0f

11平

V23C

-一-_

A.2B.2D.

答案c

解析由題意得點戶(一8/〃，—3),r=yl&4m+9,

廣一8m4

所以a、而齊

所以

000

⑶設(shè)0是第三象限角，且cos—=—cos—,則于是()

乙乙乙

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案B

0

解析由，是第三象限角知，萬為第二或第四象限角，

000

cos-=—cos-,.,.cos-<0,

乙乙乙

0

綜上可知，可為第二象限角.

課時精練

【基礎(chǔ)保分練】

1.給出下列四個命題:

①一斗是第二象限角;

?是第三象限角；③一400°是第四象限角；④一315°是第一象

限角.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析①中一早是第三象限角，從而①錯.

②…中4冗=口+冗則4冗是第三象限角，從而②_正確.

OOO

③中一400°=—360°—40°,從而③正確.

④中一315°=-360°+45°,從而④正確.

2.已知點〃tancos。）在第三象限，則角。的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

解析由題意知tan^<0,cos。<0,根據(jù)三角函數(shù)值的符號規(guī)律可知，角。的終邊在第

二象限.故選B.

3.若角a的終邊在直線y=-x上，則角a的取值集合為（）

JI

A.ioa=k?2n—―,4￡Z>

,3元

B.1aa=k?2nAGZ

4

f3Ji1

C.\aQ=k?n--,kQZj

\n

D.\aa=k?n~~9kEZ

答案D

解析由圖知，

3nJl

角。的取值集合為，。。=2〃兀+丁，lUjaa=2nn―7，〃WZ

JTJI

aa—2〃+ln——,〃WZUaa=2/7n——,

4

n

aa=A五——,

4

3JI

4.若扇形的面積為彳-、半徑為1,則扇形的圓心角為（）

O

3n3n3n3五

K~B-C-D.亮

答案B

解析設(shè)扇形的圓心角為明

,3兀

??,扇形的面積為寸、半徑為1,

O

3n1.1-2.3n

5.（多選）已知扇形的周長是6cm,面積是2cm?,下列選項可能正確的有（）

A.圓的半徑為2

B.圓的半徑為1

C.圓心角的弧度數(shù)是1

D.圓心角的弧度數(shù)是2

答案ABC

解析設(shè)扇形的半徑為r,圓心角的弧度數(shù)為。，

2r+ar=6,

則由題意得＜1解得‘或‘

-ar—2,［。=4［。=1,

可得圓心角的弧度數(shù)是4或1.

6.（多選）關(guān)于角度，下列說法正確的是（）

A.時鐘經(jīng)過兩個小時轉(zhuǎn)過的角度是60°

B.鈍角大于銳角

C.三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角

D.若。是第二象限角，則匚?是第一或第三象限角

答案BD

解析對于A,時鐘經(jīng)過兩個小時轉(zhuǎn)過的角度是一60°,故錯誤；

對于B,鈍角一定大于銳角，顯然正確；

對于C,若三角形的內(nèi)角為90°,則是終邊在y軸正半軸上的角，故錯誤；

對于D,:角。的終邊在第二象限，

.??24口+:<。<24人+兀，k?Z,

JIaJI

AeZ.

當(dāng)4=2/7,〃￡Z時，2〃兀+亍＜《＜2〃五+彳~,〃￡Z,得■是第一象限角;

naJIa

當(dāng)〃=2〃+L〃￡Z時，(2/?+l)n+—<-r-<(2/?+1)n+—,〃WZ,得不-是第三象限角,

R乙乙乙

故正確.

7.己知a是第二象限角，P(x,m)為其終邊上一點，且cos。=乎X，則x=

答案一事

x

解析依題意，得cosa%<0,

+54

由此解得x=—y[i.

8.若圓弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是

答案事

解析設(shè)圓半徑為r,則圓內(nèi)接正方形的對角線長為2r,所以正方形邊長為gr,所以圓心

角的弧度數(shù)是華

9.已知點Hsin9,cos。)是角。終邊上的一點，其中。=等，則與角。終邊相同的

最小正角為

11JI

答案—

解析因為6=等，故娉，一3,故。為第四象限角且COSa=坐，所以a=2kn

+￥，kUL,所以與角a終邊相同的最小正角為譬.

10.給出下列命題：

①第二象限角大于第一象限角；

②不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關(guān);

③若sina=sinB,則。與￡的終邊相同；

④若cos?〈0,則。是第二或第三象限的角.

其中正確命題的序號是.

答案②

解析舉反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①錯；②正確；由于sin

n5兀冗5n.…..

—=sin—,但7■與二一的終邊不相同，故③錯；當(dāng)cosJ=-1,，=冗時，其既不是第

6666

二象限角，也不是第三象限角，故④錯.綜上可知，只有②正確.

已知而彳=一品"‘且也“'。)有意義.

(D試判斷角a所在的象限；

⑵若角a的終邊上一點M償且|0川=1(0為坐標(biāo)原點)，求卬的值及sin。的值.

解⑴由?---r'―,得sin。＜0,

IsmoIsmo

由lg(cos。)有意義，可知cos。＞0,

所以。是第四象限角.

(2)因為|。獷|=1,所以(1?)+病=1,解得加=±g.

4

又。為第四象限角，故欣0,從而加=一口

□

4

-

-54

y勿

■4-

sn-而-

115

r1

12.若角。的終邊過點P(-4a,3a)(aW0).

(1)求sin0+cos。的值；

(2)試判斷cos(sin。)?sin(cos。)的符號.

解(1)因為角0的終邊過點以一4&3a)QW0),

所以x=-4a,y=3a,r=5|a|,

34i

當(dāng)a>0時，_r=5d,sin0+cos0=-——=-

555

341

當(dāng)a<(m，r=-5a,sin?+cos。=一5+丁反

綜上，sin8+cos^=±|.

(2)當(dāng)a>0時，sin

則cos(sin。)sin(cos

當(dāng)水0時，sin<9=-0

則cos（sin。）?sin（cos。）=cos（-1）?sin->0.

綜上,當(dāng)d>0時,cos（sin0）?sin（cos。）的符號為負；

當(dāng)水0時，cos（sinl）?sin（cos。）的符號為正.

【技能提分練】

aaa

sin-cos-tan—

13.（多選）角。的終邊在第一象限，則------+-------——1的值為（）

sin-cos-tan-

A.-1B.1C.—3D.3

答案AD

解析???角a的終邊在第一象限，

.?.角1的終邊在第一象限或第三象限.

a

???當(dāng)角萬的終邊在第一象限時，

aaa

sin-cos-tan-

-------=1+1+1=3,

aaa

sin-cos-tan萬

a

當(dāng)角萬的終邊在第三象限時,

aaa

sin-cos-tan-

aaa

sin—cos-tan-

14.在平面直角坐標(biāo)系中，AB,CD,EF,G"是圓/+/二1上的四段弧（如圖），點尸

在其中一段上，角。以公為始邊，為終邊，若tan^<cos^<sina、則P所在的圓

弧是（）

A.ABB.CDC.EFD.GH

答案C

解析由題意知，四段弧是單位圓上的第一、二、三象限的弧，在48上，tana〉sina,

不滿足；

在上，tana〉sina,不滿足；

在EF上，sina>0,cosa<0,tan。〈0,且cosaMana,滿足：

在GH上，tana>0,sina〈0,cosa<0,不滿足.

故選C.

【拓展沖刺練】

15.若角a的終邊落在直線y=/x上，角￡的終邊與單位圓交于點七，，，且sina-cos

￡<0，貝Ucosa?sin￡=________.

答案士平

解析由角尸的終邊與單位圓交于點&，，得cos￡=3，又由sina?cos知,

sin因為角。的終邊落在直線尸4x上，所以角a只能是第三象限角.記尸為角

a的終邊與單位圓的交點，設(shè)P（x,力（水0,X0）.貝為坐標(biāo)原點），即/+/=

1.又由尸/x得才=一；，y=一坐，所以COSa=x=一因為點（；，〃，在單位圓上，

所以解得加=±乎，所以sin￡=±乎，所以cosa?sin￡=±9.

16.在一塊頂角為120°、腰長為2的等腰三角形厚鋼板廢料。18中，用電焊切割成扇形，

現(xiàn)有如圖所示兩種方案，既要充分利用廢料，又要切割時間最短，問哪一種方案最優(yōu)？

ADBA.B

方案一方案二

解因為仍是頂角為120。、腰長為2的等腰三角形，

Ji

所以力=8=30°=—,AM=BN=3AD=2,

6

所以方案一中扇形的弧長=2X0=k；方案二中扇形的弧長=1*4-=勺-

6333

方案一中扇形的面積=<義2乂2義工=彳，方案二中扇形的面積=：XIX1=—

乙oj乙JJ

由此可見：兩種方案中可利用廢料的面積相等，方案一中切割時間短.因此方案一最優(yōu).

§4.2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式

工考試要求3

1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin'a+cos,。=1,-.=tana.

cosa

2.借助單位圓的對稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式±子，。土n的正弦、余弦、正切)

知識梳理

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

⑴平方關(guān)系：sin2。+cos，。=L

sina(n

(2)商數(shù)關(guān)系：------=tanoa^--\-kn,k^Z

cosaI2,

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式—?二三四五六

2A冗+nn

角n+a一aJI-a~a5+°

。(AeZ)

—sin—sin

正弦sinQsisacosacosa

aa

—cos

余弦cosacosa—cosasinQ—sina

a

—tan

正切tanotana—tana

a

口訣奇變偶不變，符號看象限

工思考1

1.誘導(dǎo)公式記憶口訣"奇變偶不變，符號看象限”中的奇、偶是何意義？

提示所有誘導(dǎo)公式均可看作〃a(AGZ)和。的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，口訣中的

奇、偶指的是此處的A是奇數(shù)還是偶數(shù).

2.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形有哪些？

提示同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形(sina±cosa)"=l±2sinacosa；sina=

tano?cosa等.

基礎(chǔ)自測

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“，”或“義”）

⑴若。，￡為銳角，則sir?2a+cos'￡=l.(*)

sin—/、

⑵若a￡R,則tana益7萬怛成”.（x）

(3)sin(n+a)=—sin。成立的條件是。為銳角.（X）

(4)右si(n3gn—aj、=~1,1

貝！Jcosa=--)

題組二教材改編

2.若sina=。＜兀，則tana等于（)

□Z

1

A.-2B.2D--2

答案D

JI

解析.\cosa=-yJl-sina

sinQ1

/.tana=------

cosa2,

3sina-cosa

3.已知tan4=2,人」sina+2cosa"」,)

5__55

ACD

-4B.一彳-3-4

答案A

3tana—13X2—15

解析原式=

tan〃+22+24'

cos

4.化簡一-?sin(〃-n)?cos(2n—a)的結(jié)果為

sinl5Ji

答案一sin“。

.力r~rr_Sil"!。/.2

解析原式=------?(—sina)?cosa=-sina.

coso

題組三易錯自糾

sink,Ji+acos4冗+a

5.（多選）已知力=（Aez）,則力的值是（）

sinaCOSa

A.2B.1C.-2D.0

答案AC

解析當(dāng)在為偶數(shù)時，/=出si、naeos=a=2；

smacosa

6.已知sin0+cos"rL則sin0—cos夕的值為.

4

解析Vsin0+cos9=個

2

又,.,（sin夕一cos8）2=1—2sin?cos0=-0e

y

Asincos9

題型一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用

3

1.已知。W（0,冗），cosa=一三,則tan。等于（）

5

3344

A-4B-FC-3D--3

答案D

3

解析因為COSa=一￡且ClG（0,H,

□

所以sina=yjl—cos2a=-,

sina43>

所以tana=-----=--故選D.

cosa3

2.已知。是三角形的內(nèi)角，且tan。=一〈，則sina+cos〃的值為

心g

答案一七J一io

解析由tana=--f得sina=--cosa,

將其代入sin2a+cos2。=1,得當(dāng)cos?。=1,

y

9

所以cos2q=77；,易知cos。＜0,

所以c°s.=_嗜,Sina=平

故sina+cosa=—

□

3.若角。的終邊落在第三象限，則/文"一十『任"\?的值為______

'I-sinQ'I-cosa

答案一3

解析由角。的終邊落在第三象限，

得sin。<0,cosa<0,

a2sinQcosQJ2sina

故原式=一絲l-2=-3.

IcosIsino|—cosa-sina

7

4.已知sin夕+cos^=—,0G（0,n）,貝ljtan0=.

12

答案~5

760

解析方法一由sin0+cos〃=百，得sinOcos”-同

因為0e（0,冗），所以sin夕＞0,cos夕＜0,

________________17

所以sin0—cos0=^1—2sin夕cos^=—,

1o

（7f12

sin0+cos＜?=~,sin?=市

聯(lián)立《解得＜_

]75

sin0-cos0=~fcos,

、JLJ、?I.J

12

所以tan8=一~~.

5

7

方法二因為sin夕+cos。=西，

所以sinecos^=-^7,

169

?76012

由根與系數(shù)的關(guān)系，知sin。，cos夕是方程x一二/一7^=0的兩根，所以小=丁，垃=

1316913

5

13,

60

又sin9cos'=一通＜0,夕￡（0,n）,

所以sin。＞0,cos夕＜0.

c125

所以sincos0=-T?

z?_sine12

所以tan

cos9~5.

760

方法三由sin夕+cos0=—,得sin夕cos^=-777,

13169

smecose60

所以~~r

sin^+cos20W

w勿tan060

齊次化切’得tan??+l=-而

BP60tan2夕+169tan夕+60=0,

io5

解得tan8=--三或tan8=一大.

o1Z

760

又。e(0,n),sin〃+cos0=—>0,sin0cos〃=—

13169

所以。6仔，斗B，所以tan，=一￡.

思維升華(1)利用sir?a+cos2a=1可實現(xiàn)正弦、余弦的互化，開方時要根據(jù)角。所在

象限確定符號；利用列—=tana可以實現(xiàn)角a的弦切互化.

cosa

(2)應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sina+cosa,sinacosa,sina-cos

。這三個式子，利用(sino±cosa)2=l±2sintcosa,可以知一求二.

(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：l=sir?a+COS?。，sin2a=1—cos2a,cos2a=1—sin2a.

題型二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

(2021nA

例1⑴在平面直角坐標(biāo)系x分中，角。的終邊經(jīng)過點月(3,4),則sin(。一一--J等于

4334

氏C

A.-5--5-5一5-

答案B

43

解析由題意知sina=-,cosa

□o

(2021

/.sinl—J=sin

25n

的值為.

3

解析因為〃。)=

cos—a—atan兀一

—sina一cosa

a，

(sina)

-cosaIcosa)

(25吟(25吟n__J_

l―~~)=C0S[~^^J

所以F=cosn

思維升華(1)誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用

①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.

②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.

(2)含2n整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計算含有23r的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2n的整

數(shù)倍去掉后再進行運算.如cos(5n—a)=cos(n—a)=-cosa.

跟蹤訓(xùn)練1⑴已知sin(a+"1')=^|,則cos6■一等于()

答案B

,.(哈12

解析因為sin(a+旬=而,

sin(]+a)?tan(n+a)等于()

(2)已知aC(0,n),且cos=-jy,則

151588

A------R—r-----------n—

八,17]7”.17

答案D

解析sin(萬+?tan(TI+a)=coso

tana=sina,因為aG(0,"),且cos

a=一工，所以sina=y11-cos2a=\—,BPsinl-+aI?tan(兀+〃)

o

=jy.故選D.

題型三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

例2（1）已知。為銳角，且2tan（兀-a）—3cos（7+￡）+5=0,tan（兀+。）+6sin（n

+￡）—1=0,則sin。的值是（）